En matemáticas , un producto de anillos o producto directo de anillos es un anillo que está formado por el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes de varios anillos (posiblemente un infinito), dotado de operaciones por componentes . Es un producto directo en la categoría de anillos .
Dado que los productos directos se definen hasta un isomorfismo , se dice coloquialmente que un anillo es producto de algunos anillos si es isomorfo al producto directo de estos anillos. Por ejemplo, el teorema del resto chino se puede expresar como: si m y n son enteros coprimos , el anillo cociente es el producto de y
Un ejemplo importante es Z / n Z , el anillo de números enteros módulo n . Si n se escribe como producto de potencias primas (ver Teorema fundamental de la aritmética ),
donde los p i son primos distintos , entonces Z / n Z es naturalmente isomorfo al producto
Esto se desprende del teorema del resto chino .
Si R = Π i ∈ I R i es un producto de anillos, entonces para cada i en I tenemos un homomorfismo de anillo sobreyectivo p i : R → R i que proyecta el producto en la iésima coordenada. El producto R junto con las proyecciones p i tiene la siguiente propiedad universal :
Esto muestra que el producto de anillos es un ejemplo de productos en el sentido de la teoría de categorías .
Cuando I es finito, el grupo aditivo subyacente de Π i ∈ I R i coincide con la suma directa de los grupos aditivos de R i . En este caso, algunos autores llaman a R la "suma directa de los anillos R i " y escriben ⊕ i ∈ I R i , pero esto es incorrecto desde el punto de vista de la teoría de categorías , ya que generalmente no es un coproducto en la categoría. de anillos (con identidad): por ejemplo, cuando dos o más de los R i no son triviales , el mapa de inclusión Ri → R no logra mapear 1 a 1 y, por lo tanto, no es un homomorfismo de anillo .
(Un coproducto finito en la categoría de álgebras conmutativas sobre un anillo conmutativo es un producto tensorial de álgebras . Un coproducto en la categoría de álgebras es un producto libre de álgebras ).
Los productos directos son conmutativos y asociativos hasta el isomorfismo natural, lo que significa que no importa en qué orden se forme el producto directo.
Si A i es un ideal de R i para cada i en I , entonces A = Π i ∈ I A i es un ideal de R . Si I es finito, entonces lo contrario es cierto, es decir, todo ideal de R es de esta forma. Sin embargo, si I es infinito y los anillos Ri no son triviales, entonces lo contrario es falso: el conjunto de elementos con todas menos un número finito de coordenadas distintas de cero forma un ideal que no es un producto directo de los ideales de Ri . El ideal A es un ideal primo en R si todos menos uno de los Ai son iguales a Ri y el restante Ai es un ideal primo en R i . Sin embargo, lo contrario no es cierto cuando I es infinito. Por ejemplo, la suma directa de R i forma un ideal no contenido en ningún A , pero el axioma de elección establece que está contenido en algún ideal máximo que es a fortiori primo.
Un elemento x en R es una unidad si y sólo si todos sus componentes son unidades, es decir, si y sólo si p i ( x ) es una unidad en R i para cada i en I . El grupo de unidades de R es el producto de los grupos de unidades de R i .
Un producto de dos o más anillos no triviales siempre tiene divisores cero distintos de cero : si x es un elemento del producto cuyas coordenadas son todas cero excepto p i ( x ) e y es un elemento del producto con todas las coordenadas cero excepto p j ( y ) donde i ≠ j , entonces xy = 0 en el anillo del producto.
