primer poder

Potencia de un número primo

En matemáticas , una potencia prima es un número entero positivo que es una potencia entera positiva de un único número primo . Por ejemplo: 7 = 7 ¹ , 9 = 3 ² y 64 = 2 ⁶ son potencias primas, mientras que 6 = 2 × 3 , 12 = 2 ² × 3 y 36 = 6 ² = 2 ² × 3 ² no lo son.

Comienza la secuencia de poderes primarios:

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 243, 251,…

(secuencia A246655 en la OEIS ).

Las potencias primas son aquellos números enteros positivos que son divisibles exactamente por un número primo; en particular, el número 1 no es un poder primo. Las potencias primas también se llaman números primarios , como en la descomposición primaria .

Propiedades

Propiedades algebraicas

Las potencias primas son potencias de números primos. Cada potencia prima (excepto las potencias de 2) tiene una raíz primitiva ; así el grupo multiplicativo de números enteros módulo p ⁿ (es decir, el grupo de unidades del anillo Z / p ⁿ Z ) es cíclico . ^{[1] [ se necesita una mejor fuente ]}

El número de elementos de un campo finito es siempre una potencia prima y, a la inversa, cada potencia prima se presenta como el número de elementos en algún campo finito (que es único hasta el isomorfismo ). ^{[2] [ se necesita una mejor fuente ]}

Propiedades combinatorias

Una propiedad de las potencias primas utilizada frecuentemente en la teoría analítica de números es que el conjunto de potencias primas que no son primos es un conjunto pequeño en el sentido de que la suma infinita de sus recíprocos converge , aunque los primos sean un conjunto grande. ^[3]

Propiedades de divisibilidad

La función totiente ( φ ) y las funciones sigma ( σ ₀ ) y ( σ ₁ ) de una potencia prima se calculan mediante las fórmulas

${\displaystyle \varphi (p^{n})=p^{n-1}\varphi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,}$

${\displaystyle \sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.}$

Todos los poderes primos son números deficientes . Una potencia prima p ⁿ es una n - casi prima . No se sabe si un poder primario p ⁿ puede ser miembro de una pareja amistosa . Si existe tal número, entonces p ⁿ debe ser mayor que 10 ¹⁵⁰⁰ y n debe ser mayor que 1400.

Ver también

• Casi excelente
• Fermi-Dirac prima
• poder perfecto
• semiprime

Referencias

1. Daileda, Ryan C. (6 de abril de 2018). "La estructura de (Z/nZ)×" (PDF) . Matemáticas de la Universidad Trinity . Consultado el 25 de diciembre de 2022 .
2. Conrado, Keith. «Campos finitos» (PDF) . Kconrad.math.uconn.edu . Consultado el 25 de diciembre de 2022 .
3. Sin bahía, Jonathan; Klyve, Dominic (noviembre de 2013). "Sumas recíprocas como métrica del conocimiento: teoría, computación y números perfectos". El Mensual Matemático Estadounidense . 120 (9): 822–831 - vía JSTOR.

Otras lecturas

• Teoría de números elemental . Jones, Gareth A. y Jones, J. Mary. Springer-Verlag Londres Limitada. 1998.