Conjunto grande (combinatoria)

En matemáticas combinatorias , un gran conjunto de números enteros positivos.

${\displaystyle S=\{s_{0},s_{1},s_{2},s_{3},\dots \}}$

es tal que la suma infinita de los recíprocos

${\displaystyle {\frac {1}{s_{0}}}+{\frac {1}{s_{1}}}+{\frac {1}{s_{2}}}+{\frac {1}{s_{3}}}+\cdots }$

diverge . Un conjunto pequeño es cualquier subconjunto de números enteros positivos que no sea grande; es decir, aquel cuya suma de recíprocos converge.

Grandes conjuntos aparecen en el teorema de Müntz-Szász y en la conjetura de Erdős sobre progresiones aritméticas .

Ejemplos

• Todo subconjunto finito de números enteros positivos es pequeño.
• El conjunto de todos los números enteros positivos es un conjunto grande; esta afirmación equivale a la divergencia de la serie armónica . De manera más general, cualquier progresión aritmética (es decir, un conjunto de todos los números enteros de la forma an  +  b con a  ≥ 1, b  ≥ 1 y n  = 0, 1, 2, 3, ...) es un conjunto grande. ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,\dots \}}$
• El conjunto de números cuadrados es pequeño (ver problema de Basilea ). También lo es el conjunto de los números cúbicos , el conjunto de las 4tas potencias, etcétera. De manera más general, el conjunto de valores enteros positivos de cualquier polinomio de grado 2 o mayor forma un conjunto pequeño.
• El conjunto {1, 2, 4, 8, ...} de potencias de 2 es un conjunto pequeño, al igual que cualquier progresión geométrica (es decir, un conjunto de números de la forma ab ⁿ con a  ≥ 1, b  ≥ 2 y n  = 0, 1, 2, 3, ...).
• El conjunto de números primos es grande . El conjunto de primos gemelos es pequeño (ver constante de Brun ).
• El conjunto de potencias primas que no son primos (es decir, todos los números de la forma p ⁿ con n  ≥ 2 y p primos) es pequeño aunque los primos sean grandes. Esta propiedad se utiliza con frecuencia en la teoría analítica de números . En términos más generales, el conjunto de potencias perfectas es pequeño; Incluso el conjunto de números poderosos es pequeño.
• El conjunto de números cuyas expansiones en una base determinada excluyen un dígito determinado es pequeño. Por ejemplo, el conjunto

${\displaystyle \{1,2,\dots ,5,6,8,9,\dots ,15,16,18,19,\dots ,65,66,68,69,80,81,\dots \}}$

de números enteros cuya expansión decimal no incluye el dígito 7 es pequeña. Estas series se denominan series de Kempner .

• Cualquier conjunto cuya densidad asintótica superior sea distinta de cero es grande.

Propiedades

• Todo subconjunto de un conjunto pequeño es pequeño.
• La unión de un número finito de conjuntos pequeños es pequeña, porque la suma de dos series convergentes es una serie convergente. (En la terminología de la teoría de conjuntos, los conjuntos pequeños forman un ideal ).
• El complemento de todo conjunto pequeño es grande.
• El teorema de Müntz-Szász establece que un conjunto es grande si y sólo si el conjunto de polinomios abarcados por ${\displaystyle S=\{s_{1},s_{2},s_{3},\dots \}}$
  $${\displaystyle \{1,x^{s_{1}},x^{s_{2}},x^{s_{3}},\dots \}}$$
  es denso en la topología de norma uniforme de funciones continuas en un intervalo cerrado en los números reales positivos. Ésta es una generalización del teorema de Stone-Weierstrass .

Problemas abiertos que involucran conjuntos grandes.

Paul Erdős conjeturó que todos los conjuntos grandes contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas . Ofreció un premio de 3.000 dólares por una prueba, más que por cualquiera de sus otras conjeturas , y bromeó diciendo que esta oferta de premio violaba la ley de salario mínimo. ^[1] La cuestión sigue abierta.

No se sabe cómo identificar si un conjunto determinado es grande o pequeño en general. Como resultado, hay muchos conjuntos que no se sabe que sean ni grandes ni pequeños.

Ver también

• Lista de sumas de recíprocos

Notas

1. Carl Pomerance , Paul Erdős, extraordinario teórico de números. (Parte del artículo Las matemáticas de Paul Erdős ), en Avisos de la AMS , enero de 1998.

Referencias

• AD Wadhwa (1975). Una subserie interesante de la serie armónica. Mensual Matemático Estadounidense 82 (9) 931–933. JSTOR  2318503