Conjetura de Erdös sobre progresiones aritméticas

Propiedad de los conjuntos grandes

La conjetura de Erdős sobre progresiones aritméticas , a menudo denominada conjetura de Erdős-Turán , es una conjetura en combinatoria aritmética (que no debe confundirse con la conjetura de Erdős-Turán sobre bases aditivas ). Establece que si la suma de los recíprocos de los miembros de un conjunto A de números enteros positivos diverge, entonces A contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas .

Formalmente, la conjetura establece que si A es un conjunto grande en el sentido de que

$${\displaystyle \sum _{n\in A}{\frac {1}{n}}\ =\ \infty ,}$$

entonces A contiene progresiones aritméticas de cualquier longitud dada, lo que significa que para cada entero positivo k hay un entero a y un entero distinto de cero c tales que . ${\displaystyle \{a,a{+}c,a{+}2c,\ldots ,a{+}kc\}\subset A}$

Historia

En 1936, Erdős y Turán formularon la conjetura más débil de que cualquier conjunto de números enteros con densidad natural positiva contiene infinitas progresiones aritméticas de 3 términos. ^[1] Esto fue demostrado por Klaus Roth en 1952 y generalizado a progresiones aritméticas arbitrariamente largas por Szemerédi en 1975 en lo que ahora se conoce como el teorema de Szemerédi .

En una charla de 1976 titulada "A la memoria de mi amigo y colaborador de toda la vida Paul Turán", Paul Erdős ofreció un premio de 3000 dólares estadounidenses por una prueba de esta conjetura. ^[2] En 2008 el problema vale 5000 dólares estadounidenses. ^[3]

Progreso y resultados relacionados

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Todo conjunto grande de números naturales contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

La conjetura de Erdős sobre progresiones aritméticas puede considerarse una versión más fuerte del teorema de Szemerédi. Como la suma de los recíprocos de los primos diverge, el teorema de Green-Tao sobre progresiones aritméticas es un caso especial de la conjetura.

La afirmación más débil de que A debe contener infinitas progresiones aritméticas de longitud 3 es una consecuencia de un límite mejorado en el teorema de Roth . Un artículo de 2016 de Bloom ^[4] demostró que si no contiene progresiones aritméticas no triviales de tres términos, entonces . ${\displaystyle A\subset \{1,..,N\}}$ ${\displaystyle |A|\ll N(\log {\log {N}})/\log {N}}$

En 2020, una preimpresión de Bloom y Sisask ^[5] mejoró el límite para alguna constante absoluta . ${\displaystyle |A|\ll N/(\log {N})^{1+c}}$ ${\displaystyle c>0}$

En 2023, el científico informático Kelley an Meka encontró un nuevo límite de ^{[6] [7] [8] y, poco después,} Bloom y Sisask dieron una exposición en términos matemáticos más familiares ^{[9] [10],} quienes desde entonces también mejoraron el exponente del límite de Kelly-Meka a (y conjeturaron ) en una preimpresión. ^[11] ${\displaystyle \exp(-c(\log N)^{1/12})N}$ ${\displaystyle \beta =1/9}$ ${\displaystyle \beta =5/41}$

Véase también

• Problemas que involucran progresiones aritméticas
• Lista de sumas de recíprocos
• Lista de conjeturas de Paul Erdős
• Teorema de Müntz-Szász

Referencias

1. Erdős, Paul ; Turán, Paul (1936), "Sobre algunas secuencias de números enteros" (PDF) , Journal of the London Mathematical Society , 11 (4): 261–264, doi :10.1112/jlms/s1-11.4.261.
2. Problemas en teoría de números y combinatoria , en Actas de la Sexta Conferencia de Manitoba sobre Matemáticas Numéricas (Universidad de Manitoba, Winnipeg, Manitoba, 1976), Congreso. Número XVIII, 35–58, Utilitas Math., Winnipeg, Manitoba, 1977
3. p. 354, Soifer, Alexander (2008); El libro de colorear matemático: matemáticas del coloreado y la vida colorida de sus creadores ; Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-74640-1 
4. Bloom, Thomas F. (2016). "Una mejora cuantitativa del teorema de Roth sobre progresiones aritméticas". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . Segunda serie. 93 (3): 643–663. arXiv : 1405.5800 . doi :10.1112/jlms/jdw010. MR  3509957. S2CID  27536138.
5. Bloom, Thomas F.; Sisask, Olof (2020). "Rompiendo la barrera logarítmica en el teorema de Roth sobre progresiones aritméticas". arXiv : 2007.03528 [math.NT].
6. Kelley, Zander; Meka, Raghu (6 de noviembre de 2023). "Límites fuertes para 3 progresiones". Actas de la conferencia del 64.º Simposio anual sobre fundamentos de la informática (FOCS) de la IEEE de 2023. IEEE: 933–973. arXiv : 2302.05537 . doi :10.1109/FOCS57990.2023.00059. ISBN 979-8-3503-1894-4.
7. Kelley, Zander; Meka, Raghu (10 de febrero de 2023). "Límites fuertes para progresiones de 3 dimensiones". arXiv : 2302.05537 [math.NT].
8. Sloman, Leila (21 de marzo de 2023). "Una prueba informática sorprendente sorprende a los matemáticos". Revista Quanta .
9. Bloom, Thomas F.; Sisask, Olof (31 de diciembre de 2023). "Los límites de Kelley-Meka para conjuntos libres de progresiones aritméticas de tres términos". Essential Number Theory . 2 (1): 15–44. arXiv : 2302.07211 . doi :10.2140/ent.2023.2.15. ISSN  2834-4634.
10. Bloom, Thomas F.; Sisask, Olof (14 de febrero de 2023). "Los límites de Kelley-Meka para conjuntos libres de progresiones aritméticas de tres términos". arXiv : 2302.07211 [math.NT].
11. Bloom, Thomas F.; Sisask, Olof (5 de septiembre de 2023). "Una mejora de los límites de Kelley-Meka en progresiones aritméticas de tres términos". arXiv : 2309.02353 [math.NT].

• P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres , Fasc 2., Exp. N° 24, págs. 7,
• P. Erdős y P. Turán, Sobre algunas secuencias de números enteros, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.
• P. Erdős: Problemas en teoría de números y combinatoria, Proc. Sexta Conferencia de Manitoba sobre Matemáticas Numeradas, Congreso Núm. XVIII (1977), 35–58.
• P. Erdős: Sobre los problemas combinatorios que más me gustaría ver resueltos, Combinatorica , 1 (1981), 28. doi :10.1007/BF02579174

Enlaces externos

• ¿La conjetura de Erdős-Turán o la conjetura de Erdős? en MathOverflow