Teorema de Roth sobre progresiones aritméticas

Sobre la existencia de progresiones aritméticas en subconjuntos de los números naturales

El teorema de Roth sobre progresiones aritméticas es un resultado de la combinatoria aditiva que se refiere a la existencia de progresiones aritméticas en subconjuntos de los números naturales . Fue demostrado por primera vez por Klaus Roth en 1953. ^[1] El teorema de Roth es un caso especial del teorema de Szemerédi para el caso . ${\displaystyle k=3}$

Declaración

Se dice que un subconjunto A de los números naturales tiene densidad superior positiva si

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,2,3,\dotsc ,n\}|}{n}}>0}$.

Teorema de Roth sobre progresiones aritméticas (versión infinita) : Un subconjunto de los números naturales con densidad superior positiva contiene una progresión aritmética de 3 términos .

Una formulación alternativa, más cualitativa, del teorema se ocupa del tamaño máximo de un conjunto de Salem-Spencer que es un subconjunto de . Sea el tamaño del subconjunto más grande de que no contiene ninguna progresión aritmética de 3 términos . ${\displaystyle [N]=\{1,\dots ,N\}}$ ${\displaystyle r_{3}([N])}$ ${\displaystyle [N]}$

Teorema de Roth sobre progresiones aritméticas (versión finitaria) : . ${\displaystyle r_{3}([N])=o(N)}$

Mejorar los límites superior e inferior sigue siendo un problema de investigación abierto. ${\displaystyle r_{3}([N])}$

Historia

El primer resultado en esta dirección fue el teorema de Van der Waerden en 1927, que establece que para un número N suficientemente grande, colorear los números enteros con colores dará como resultado una progresión aritmética de términos. ^[2] ${\displaystyle 1,\dots ,n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle k}$

Más tarde, en 1936, Erdős y Turán conjeturaron un resultado mucho más sólido de que cualquier subconjunto de los números enteros con densidad positiva contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas. En 1942, Raphaël Salem y Donald C. Spencer proporcionaron una construcción de un conjunto 3-AP-free (es decir, un conjunto sin progresiones aritméticas de 3 términos ) de tamaño , ^[3] refutando una conjetura adicional de Erdős y Turán de que para algún . ^[4] ${\displaystyle {\frac {N}{e^{O(\log N/\log \log N)}}}}$ ${\displaystyle r_{3}([N])=N^{1-\delta }}$ ${\displaystyle \delta >0}$

En 1953, Roth resolvió parcialmente la conjetura inicial al demostrar que debían contener una progresión aritmética de longitud 3 utilizando métodos analíticos de Fourier. Finalmente, en 1975, Szemerédi demostró el teorema de Szemerédi utilizando técnicas combinatorias, resolviendo la conjetura original por completo.

Técnicas de prueba

La demostración original dada por Roth utilizó métodos analíticos de Fourier. Más tarde se presentó otra demostración utilizando el lema de regularidad de Szemerédi .

Esquema de prueba mediante análisis de Fourier

En 1953, Roth utilizó el análisis de Fourier para demostrar un límite superior de . A continuación se muestra un esquema de esta prueba. ${\displaystyle r_{3}([N])=O\left({\frac {N}{\log \log N}}\right)}$

Defina la transformada de Fourier de una función como la función que satisface ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(\theta )=\sum _{x\in \mathbb {Z} }f(x)e(-x\theta )}$,

dónde . ${\displaystyle e(t)=e^{2\pi it}}$

Sea un subconjunto libre de 3 AP de . La prueba se realiza en 3 pasos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,N\}}$

1. Demuestre que a admite un coeficiente de Fourier grande. ${\displaystyle A}$
2. Deducir que existe una subprogresión de tal que tiene un incremento de densidad cuando se restringe a esta subprogresión. ${\displaystyle \{1,\dots ,N\}}$ ${\displaystyle A}$
3. Itere el paso 2 para obtener un límite superior en . ${\displaystyle |A|}$

Paso 1

Para funciones, definir ${\displaystyle f,g,h:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle \Lambda (f,g,h)=\sum _{x,y\in \mathbb {Z} }f(x)g(x+y)h(x+2y)}$

Lema de conteo Sea . Satisfacer . Definir . Entonces . ${\displaystyle f,g:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }|f(n)|^{2},\sum _{n\in \mathbb {Z} }|g(n)|^{2}\leq M}$ ${\displaystyle \Lambda _{3}(f)=\Lambda (f,f,f)}$ ${\displaystyle |\Lambda _{3}(f)-\Lambda _{3}(g)|\leq 3M\|{\widehat {f-g}}\|_{\infty }}$

El lema de conteo nos dice que si las transformadas de Fourier de y son "próximas", entonces el número de progresiones aritméticas de 3 términos entre las dos también debería ser "próximo". Sea la densidad de . Definamos las funciones (es decir, la función indicadora de ), y . El paso 1 se puede deducir entonces aplicando el lema de conteo a y , que nos dice que existe alguno tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \alpha =|A|/N}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f=\mathbf {1} _{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle g=\alpha \cdot \mathbf {1} _{[N]}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}(1_{A}-\alpha )(n)e(\theta n)\right|\geq {\frac {\alpha ^{2}}{10}}N}$.

Paso 2

Dado el paso 1, primero demostramos que es posible dividir en subprogresiones relativamente grandes de modo que el carácter sea aproximadamente constante en cada subprogresión. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [N]}$ ${\displaystyle x\mapsto e(x\theta )}$

Lema 1: Sea . Supongamos que para una constante universal . Entonces es posible realizar una partición en progresiones aritméticas con una longitud tal que para todo . ${\displaystyle 0<\eta <1,\theta \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N>C\eta ^{-6}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle [N]}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle N^{1/3}\leq |P_{i}|\leq 2N^{1/3}}$ ${\displaystyle \sup _{x,y\in P_{i}}|e(x\theta )-e(y\theta )|<\eta }$ ${\displaystyle i}$

A continuación, aplicamos el Lema 1 para obtener una partición en subprogresiones. Luego, utilizamos el hecho de que se produjo un coeficiente grande en el paso 1 para demostrar que una de estas subprogresiones debe tener un incremento de densidad: ${\displaystyle \theta }$

Lema 2: Sea un subconjunto 3-AP-libre de , con y . Entonces, existe una subprogresión tal que y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [N]}$ ${\displaystyle |A|=\alpha N}$ ${\displaystyle N>C\alpha ^{-12}}$ ${\displaystyle P\subset [N]}$ ${\displaystyle |P|\geq N^{1/3}}$ ${\displaystyle |A\cap P|\geq (\alpha +\alpha ^{2}/40)|P|}$

Paso 3

Ahora iteramos el paso 2. Sea la densidad de después de la iteración th. Tenemos que y Primero, veamos que se duplica (es decir, alcanza tal que ) después de como máximo pasos. Duplicamos nuevamente (es decir, alcanzamos ) después de como máximo pasos. Como , este proceso debe terminar después de como máximo pasos. ${\displaystyle a_{t}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \alpha _{0}=\alpha ,}$ ${\displaystyle \alpha _{t+1}\geq \alpha +\alpha ^{2}/40.}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \alpha _{T}\geq 2\alpha _{0}}$ ${\displaystyle 40/\alpha +1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{T}\geq 4\alpha _{0}}$ ${\displaystyle 20/\alpha +1}$ ${\displaystyle \alpha \leq 1}$ ${\displaystyle O(1/\alpha )}$

Sea el tamaño de nuestra progresión actual después de iteraciones. Por el Lema 2, siempre podemos continuar el proceso cuando sea y, por lo tanto, cuando el proceso termina, tenemos que Además, observe que cuando pasamos a una subprogresión, el tamaño de nuestro conjunto disminuye en una raíz cúbica. Por lo tanto ${\displaystyle N_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle N_{t}\geq C\alpha _{t}^{-12},}$ ${\displaystyle N_{t}\leq C\alpha _{t}^{-12}\leq C\alpha ^{-12}.}$

${\displaystyle N\leq N_{t}^{3^{t}}\leq (C\alpha ^{-12})^{3^{O(1/\alpha )}}=e^{e^{O(1/\alpha )}}.}$

Por lo tanto, tal y como se desea. ${\displaystyle \alpha =O(1/\log \log N),}$ ${\displaystyle |A|=O\left({\frac {N}{\log \log N}}\right),}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Lamentablemente, esta técnica no se puede generalizar directamente a progresiones aritméticas mayores para demostrar el teorema de Szemerédi. Durante décadas, los matemáticos no pudieron ampliar esta prueba hasta 1998, cuando Timothy Gowers desarrolló el campo del análisis de Fourier de orden superior específicamente para generalizar la prueba anterior y demostrar el teorema de Szemerédi. ^[5]

Bosquejo de prueba mediante regularidad gráfica

A continuación se muestra un esquema de una prueba que utiliza el lema de regularidad de Szemerédi .

Sea un grafo y . Llamamos par -regular si para todo con , se tiene . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X,Y\subseteq V(G)}$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle A\subset X,B\subset Y}$ ${\displaystyle |A|\geq \epsilon |X|,|B|\geq \epsilon |Y|}$ ${\displaystyle |d(A,B)-d(X,Y)|\leq \epsilon }$

Una partición de es una partición regular si ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{V_{1},\ldots ,V_{k}\}}$ ${\displaystyle V(G)}$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \sum _{(i,j)\in [k]^{2},(V_{i},V_{j}){\text{ not }}\epsilon {\text{-regular}}}|V_{i}||V_{j}|\leq \epsilon |V(G)|^{2}}$.

Entonces, el lema de regularidad de Szemerédi dice que para cada , existe una constante tal que cada grafo tiene una partición -regular en como máximo partes. ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle M}$

También podemos demostrar que los triángulos entre conjuntos de vértices no regulares deben estar acompañados por muchos otros triángulos. Esto se conoce como el lema del conteo de triángulos. ${\displaystyle \epsilon }$

Lema de conteo de triángulos: Sea un grafo y sean subconjuntos de los vértices de tales que son todos pares -regulares para algún . Sea denotado por las densidades de aristas respectivamente. Si , entonces el número de triples tales que forman un triángulo en es al menos ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (X,Y),(Y,Z),(Z,X)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle d_{XY},d_{XZ},d_{YZ}}$ ${\displaystyle d(X,Y),d(X,Z),d(Y,Z)}$ ${\displaystyle d_{XY},d_{XZ},d_{YZ}\geq 2\epsilon }$ ${\displaystyle (x,y,z)\in X\times Y\times Z}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (1-2\epsilon )(d_{XY}-\epsilon )(d_{XZ}-\epsilon )(d_{YZ}-\epsilon )\cdot |X||Y||Z|}$.

Utilizando el lema de conteo de triángulos y el lema de regularidad de Szemerédi, podemos demostrar el lema de eliminación de triángulos, un caso especial del lema de eliminación de grafos . ^[6]

Lema de eliminación de triángulos: Para todo , existe tal que cualquier gráfico en vértices con menores o iguales a triángulos puede hacerse libre de triángulos eliminando como máximo las aristas. ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \delta n^{3}}$ ${\displaystyle \epsilon n^{2}}$

Esto tiene un corolario interesante en relación con los grafos con vértices en los que cada arista se encuentra en un único triángulo. En concreto, todos estos grafos deben tener aristas. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle o(N^{2})}$

Tome un conjunto sin progresiones aritméticas de 3 términos . Ahora, construya un gráfico tripartito cuyas partes sean todas copias de . Conecte un vértice con un vértice si . De manera similar, conecte con si . Finalmente, conecte con si . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /(2N+1)\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle y-x\in A}$ ${\displaystyle z\in Z}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle z-y\in A}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle z\in Z}$ ${\displaystyle (z-x)/2\in A}$

Esta construcción está configurada de modo que si forman un triángulo, entonces obtenemos elementos que pertenecen todos a . Estos números forman una progresión aritmética en el orden indicado. La suposición de entonces nos dice que esta progresión debe ser trivial: los elementos enumerados anteriormente son todos iguales. Pero esta condición es equivalente a la afirmación de que es una progresión aritmética en . En consecuencia, cada arista de se encuentra en exactamente un triángulo. La conclusión deseada se deduce de ello. ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle y-x,{\frac {z-x}{2}},z-y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /(2N+1)\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Extensiones y generalizaciones

El teorema de Szemerédi resolvió la conjetura original y generalizó el teorema de Roth a progresiones aritméticas de longitud arbitraria. Desde entonces, se ha ampliado de múltiples maneras para crear resultados nuevos e interesantes.

Furstenberg y Katznelson ^[7] utilizaron la teoría ergódica para demostrar una versión multidimensional y Leibman y Bergelson ^[8] la extendieron también a progresiones polinómicas. Más recientemente, Green y Tao demostraron el teorema de Green-Tao que dice que los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas. Dado que los números primos son un subconjunto de densidad 0, introdujeron un teorema de Szemerédi "relativo" que se aplica a subconjuntos con densidad 0 que satisfacen ciertas condiciones de pseudoaleatoriedad . Más tarde, Conlon , Fox y Zhao ^{[9] [10]} reforzaron este teorema debilitando la condición de pseudoaleatoriedad necesaria. En 2020, Bloom y Sisask ^[11] demostraron que cualquier conjunto tal que diverja debe contener progresiones aritméticas de longitud 3; Este es el primer caso no trivial de otra conjetura de Erdős que postula que cualquier conjunto de este tipo debe, de hecho, contener progresiones aritméticas arbitrariamente largas. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sum _{n\in A}{\frac {1}{n}}}$

Mejorando los límites

También se ha trabajado en la mejora del límite del teorema de Roth. El límite de la prueba original del teorema de Roth mostró que

${\displaystyle r_{3}([N])\leq c\cdot {\frac {N}{\log \log N}}}$

para alguna constante . A lo largo de los años, este límite ha sido continuamente reducido por Szemerédi, ^[12] Heath-Brown , ^[13] Bourgain , ^{[14] [15]} y Sanders . ^{[16] [17]} El mejor límite actual (julio de 2020) se debe a Bloom y Sisask ^[11] quienes han demostrado la existencia de una constante absoluta c>0 tal que ${\displaystyle c}$

${\displaystyle r_{3}([N])\leq {\frac {N}{(\log N)^{1+c}}}.}$

En febrero de 2023, una preimpresión ^{[18] [19]} (publicada posteriormente ^[20] ) de Kelley y Meka proporcionó un nuevo límite de:

${\displaystyle r_{3}([N])\leq 2^{-\Omega ((\log N)^{1/12})}\cdot N}$.

Cuatro días después, Bloom y Sisask publicaron una preimpresión que ofrecía una exposición del resultado ^[21] (publicada posteriormente ^[22] ), simplificando el argumento y dando lugar a algunas aplicaciones adicionales. Varios meses después, Bloom y Sisask obtuvieron una mejora adicional de , y afirmaron (sin pruebas) que sus técnicas se pueden utilizar para demostrar . ^[23] ${\displaystyle r_{3}([N])\leq \exp(-c(\log N)^{1/9})N}$ ${\displaystyle r_{3}([N])\leq \exp(-c(\log N)^{5/41})N}$

También se ha trabajado en el otro extremo, construyendo el conjunto más grande sin progresiones aritméticas de 3 términos . La mejor construcción apenas ha mejorado desde 1946, cuando Behrend ^[24] mejoró la construcción inicial de Salem y Spencer y demostró

${\displaystyle r_{3}([N])\geq N\exp(-c{\sqrt {\log N}})}$.

Debido a que no se han producido mejoras en más de 70 años, se conjetura que el conjunto de Behrend es asintóticamente muy cercano en tamaño al conjunto más grande posible sin progresiones de 3 términos . ^[11] Si es correcto, el límite de Kelley-Meka probará esta conjetura.

Teorema de Roth en cuerpos finitos

Como variación, podemos considerar el problema análogo sobre cuerpos finitos . Consideremos el cuerpo finito , y sea el tamaño del subconjunto más grande de que no contiene ninguna progresión aritmética de 3 términos . Este problema es en realidad equivalente al problema del conjunto de límites , que pide el subconjunto más grande de tal que no haya 3 puntos en una línea. El problema del conjunto de límites puede verse como una generalización del juego de cartas Set . ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{n}}$ ${\displaystyle r_{3}(\mathbb {F} _{3}^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{n}}$

En 1982, Brown y Buhler ^[25] fueron los primeros en demostrar que En 1995, Roy Mesuhlam ^[26] utilizó una técnica similar a la prueba analítica de Fourier del teorema de Roth para demostrar que Este límite fue mejorado en 2012 por Bateman y Katz. ^[27] ${\displaystyle r_{3}(\mathbb {F} _{3}^{n})=o(3^{n}).}$ ${\displaystyle r_{3}(\mathbb {F} _{3}^{n})=O\left({\frac {3^{n}}{n}}\right).}$ ${\displaystyle O(3^{n}/n^{1+\epsilon })}$

En 2016, Ernie Croot , Vsevolod Lev, Péter Pál Pach, Jordan Ellenberg y Dion Gijswijt desarrollaron una nueva técnica basada en el método polinomial para demostrar que . ^{[28] [29] [30]} ${\displaystyle r_{3}(\mathbb {F} _{3}^{n})=O(2.756^{n})}$

El límite inferior más conocido es , descubierto en diciembre de 2023 por investigadores de Google DeepMind utilizando un modelo de lenguaje grande (LLM). ^[31] ${\displaystyle 2.2202^{n}}$

Teorema de Roth con diferencias populares

Otra generalización del teorema de Roth muestra que para subconjuntos de densidad positiva, no sólo existe una progresión aritmética de 3 términos , sino que existen muchos 3-PA, todos con la misma diferencia común.

Teorema de Roth con diferencias populares: Para todo , existe alguno tal que para todo y con existe alguno tal que ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle n_{0}=n_{0}(\epsilon )}$ ${\displaystyle n>n_{0}}$ ${\displaystyle A\subset \mathbb {F} _{3}^{n}}$ ${\displaystyle |A|=\alpha 3^{n},}$ ${\displaystyle y\neq 0}$ ${\displaystyle |\{x:x,x+y,x+2y\in A\}|\geq (\alpha ^{3}-\epsilon )3^{n}.}$

Si se elige aleatoriamente de entonces esperaríamos que hubiera progresiones para cada valor de . El teorema de diferencias populares establece que para cada uno con densidad positiva, hay algunos tales que la cantidad de 3-PA con diferencia común es cercana a lo que esperaríamos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{n},}$ ${\displaystyle \alpha ^{3}3^{n}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$

Este teorema fue demostrado por primera vez por Green en 2005, ^[32] quien dio un límite de donde es la función de la torre. En 2019, Fox y Pham mejoraron recientemente el límite a ^[33] ${\displaystyle n_{0}={\text{tow}}((1/\epsilon )^{O(1)}),}$ ${\displaystyle {\text{tow}}}$ ${\displaystyle n_{0}={\text{tow}}(O(\log {\frac {1}{\epsilon }})).}$

Una afirmación correspondiente también es cierta tanto para los 3-PA como para los 4-PA. ^[34] Sin embargo, se ha demostrado que la afirmación es falsa para los 5-PA. ^[35] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Referencias

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Enlaces externos

• Edmonds, Chelsea; Koutsoukou-Argyraki, Angeliki; Paulson, Lawrence C. Teorema de progresiones aritméticas de Roth (Desarrollo de pruebas formales en Isabelle/HOL, Archive of Formal Proofs)