Teorema de la sizigia de Hilbert

Teorema sobre relaciones lineales en ideales y módulos sobre anillos polinomiales

En matemáticas , el teorema de sizigia de Hilbert es uno de los tres teoremas fundamentales sobre anillos polinómicos sobre campos , demostrado por primera vez por David Hilbert en 1890, que se introdujeron para resolver importantes cuestiones abiertas en la teoría de invariantes y que están en la base de la geometría algebraica moderna . Los otros dos teoremas son el teorema de base de Hilbert , que afirma que todos los ideales de anillos polinomiales sobre un campo se generan de forma finita , y el Nullstellensatz de Hilbert , que establece una correspondencia biyectiva entre variedades algebraicas afines e ideales primos de anillos polinomiales.

El teorema de la sizigia de Hilbert se refiere a las relaciones , o sizigias en la terminología de Hilbert, entre los generadores de un ideal o, más generalmente, de un módulo . Como las relaciones forman un módulo, se pueden considerar las relaciones entre las relaciones; el teorema afirma que, si se continúa de esta manera, comenzando con un módulo sobre un anillo polinómico en n indeterminados sobre un campo, eventualmente se encuentra un módulo cero de relaciones, después de como máximo n pasos.

El teorema de la sizigia de Hilbert ahora se considera un resultado temprano del álgebra homológica . Es el punto de partida del uso de métodos homológicos en álgebra conmutativa y geometría algebraica.

Historia

El teorema de la sizigia apareció por primera vez en el artículo fundamental de Hilbert "Über die Theorie der algebraischen Formen" (1890). ^[1] El artículo se divide en cinco partes: la parte I demuestra el teorema de la base de Hilbert sobre un campo, mientras que la parte II lo demuestra sobre números enteros. La parte III contiene el teorema de la sizigia (Teorema III), que se utiliza en la parte IV para analizar el polinomio de Hilbert . La última parte, la parte V, demuestra la generación finita de ciertos anillos de invariantes . Por cierto, la parte III también contiene un caso especial del teorema de Hilbert-Burch .

Sicigias (relaciones)

Originalmente, Hilbert definió sizigias para ideales en anillos polinomiales , pero el concepto se generaliza trivialmente a módulos (izquierdos) sobre cualquier anillo .

Dado un conjunto generador de un módulo M sobre un anillo R , una relación o primera sizigia entre los generadores es una k -tupla de elementos de R tal que ^[2] ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{k})}$

${\displaystyle a_{1}g_{1}+\cdots +a_{k}g_{k}=0.}$

Sea un módulo libre con base. La k - tupla se puede identificar con el elemento. ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle (G_{1},\ldots ,G_{k}).}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{k})}$

${\displaystyle a_{1}G_{1}+\cdots +a_{k}G_{k},}$

y las relaciones forman el núcleo del mapa lineal definido por En otras palabras, uno tiene una secuencia exacta ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle L_{0}\to M}$ ${\displaystyle G_{i}\mapsto g_{i}.}$

${\displaystyle 0\to R_{1}\to L_{0}\to M\to 0.}$

Este primer módulo sicigia depende de la elección de un grupo electrógeno, pero, si el módulo se obtiene con otro grupo electrógeno, existen dos módulos libres y tal que ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

${\displaystyle R_{1}\oplus F_{1}\cong S_{1}\oplus F_{2}}$

donde denota la suma directa de módulos . ${\displaystyle \oplus }$

El segundo módulo de sizigia es el módulo de las relaciones entre generadores del primer módulo de sizigia. Continuando de esta manera, se puede definir el k -ésimo módulo sizigia para cada entero positivo k .

Si el k -ésimo módulo de sizigia está libre durante algún k , entonces, tomando una base como conjunto generador, el siguiente módulo de sizigia (y todos los subsiguientes) es el módulo cero . Si no se utiliza una base como grupo electrógeno, todos los módulos posteriores de Syzygy son gratuitos.

Sea n el entero más pequeño, si lo hay, tal que el n -ésimo módulo sizigia de un módulo M sea libre o proyectivo . La propiedad de invariancia anterior, hasta la suma directa con módulos libres, implica que n no depende de la elección de los grupos electrógenos. La dimensión proyectiva de M es este número entero, si existe, o ∞ si no. Esto equivale a la existencia de una secuencia exacta.

${\displaystyle 0\longrightarrow R_{n}\longrightarrow L_{n-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0,}$

donde los módulos son libres y es proyectivo. Se puede demostrar que siempre se pueden elegir los grupos electrógenos por ser libres, es decir, que la secuencia exacta anterior sea de resolución libre . ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{n}}$

Declaración

El teorema de sicigia de Hilbert establece que, si M es un módulo finitamente generado sobre un anillo polinómico en n indeterminados sobre un campo k , entonces el n -ésimo módulo de sicigia de M es siempre un módulo libre . ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

En lenguaje moderno, esto implica que la dimensión proyectiva de M es como máximo n y, por tanto, que existe una resolución libre

${\displaystyle 0\longrightarrow L_{k}\longrightarrow L_{k-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0}$

de longitud k ≤ n .

Este límite superior de la dimensión proyectiva es nítido, es decir, hay módulos de dimensión proyectiva exactamente n . El ejemplo estándar es el campo k , que puede considerarse como un módulo estableciendo para cada i y cada c ∈ k . Para este módulo, el enésimo módulo de sizigia es gratuito, pero no el ( n − 1) enésimo (para una prueba, consulte § Complejo de Koszul, a continuación). ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle x_{i}c=0}$

El teorema también es válido para módulos que no se generan de forma finita. Como la dimensión global de un anillo es el supremo de las dimensiones proyectivas de todos los módulos, el teorema de la sizigia de Hilbert puede reformularse como: la dimensión global de es n ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ .

Dimensión baja

En el caso de cero indeterminados, el teorema de sicigia de Hilbert es simplemente el hecho de que todo espacio vectorial tiene una base .

En el caso de un único indeterminado, el teorema de sizigia de Hilbert es un ejemplo del teorema que afirma que sobre un anillo ideal principal , cada submódulo de un módulo libre es en sí mismo libre.

complejo koszul

El complejo de Koszul , también llamado "complejo de álgebra exterior", permite, en algunos casos, una descripción explícita de todos los módulos de sizigia.

Sea un sistema generador de un ideal I en un anillo polinómico y sea un módulo libre de base. El álgebra exterior de es la suma directa. ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}}$ ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k}.}$ ${\displaystyle L_{1}}$

${\displaystyle \Lambda (L_{1})=\bigoplus _{t=0}^{k}L_{t},}$

donde esta el modulo libre, que tiene como base los productos exteriores ${\displaystyle L_{t}}$

${\displaystyle G_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge G_{i_{t}},}$

tal que En particular, uno tiene (debido a la definición del producto vacío ), las dos definiciones de coinciden, y para t > k . Para cada t positivo , se puede definir un mapa lineal por ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{t}.}$ ${\displaystyle L_{0}=R}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{t}=0}$ ${\displaystyle L_{t}\to L_{t-1}}$

${\displaystyle G_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge G_{i_{t}}\mapsto \sum _{j=1}^{t}(-1)^{j+1}g_{i_{j}}G_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\widehat {G}}_{i_{j}}\wedge \cdots \wedge G_{i_{t}},}$

donde el sombrero significa que se omite el factor. Un cálculo sencillo muestra que la composición de dos mapas consecutivos es cero y, por lo tanto, uno tiene un complejo

${\displaystyle 0\to L_{t}\to L_{t-1}\to \cdots \to L_{1}\to L_{0}\to R/I.}$

Este es el complejo Koszul . En general el complejo de Koszul no es una secuencia exacta , pero sí lo es si se trabaja con un anillo polinomial y un ideal generado por una secuencia regular de polinomios homogéneos . ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

En particular, la secuencia es regular y el complejo de Koszul es, por tanto, una resolución proyectiva de. En este caso, el enésimo módulo de sicigia está libre de dimensión uno (generado por el producto de todos ); el ( n − 1) ésimo módulo sicigia es, por tanto, el cociente de un módulo libre de dimensión n por el submódulo generado por Este cociente puede no ser un módulo proyectivo , ya que de lo contrario existirían polinomios tales que es imposible (sustituyendo 0 por la última igualdad proporciona 1 = 0 ). Esto prueba que la dimensión proyectiva de es exactamente n . ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle k=R/\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle .}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle (x_{1},-x_{2},\ldots ,\pm x_{n}).}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{1}x_{1}+\cdots +p_{n}x_{n}=1,}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle k=R/\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$

La misma prueba se aplica para demostrar que la dimensión proyectiva de es exactamente t si forman una secuencia regular de polinomios homogéneos. ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\langle g_{1},\ldots ,g_{t}\rangle }$ ${\displaystyle g_{i}}$

Cálculo

En la época de Hilbert, no había ningún método disponible para calcular sizigias. Sólo se sabía que se podía deducir un algoritmo a partir de cualquier límite superior del grado de los generadores del módulo de sizigias. De hecho, los coeficientes de las sizigias son polinomios desconocidos. Si el grado de estos polinomios es acotado, el número de sus monomios también lo será. Expresar que se tiene una sicigia proporciona un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son los coeficientes de estos monomios. Por lo tanto, cualquier algoritmo para sistemas lineales implica un algoritmo para sicigias, tan pronto como se conoce un límite de grados.

La primera cota para las sizigias (así como para el problema de membresía ideal ) fue dada en 1926 por Grete Hermann : ^[3] Sea M un submódulo de un módulo libre L de dimensión t sobre si los coeficientes sobre una base de L de una generación El mismo límite se aplica para probar la pertenencia a M de un elemento de L. ^[4] ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}];}$ ${\displaystyle (td)^{2^{cn}}.}$

Por otro lado, hay ejemplos en los que necesariamente se produce un doble grado exponencial. Sin embargo, estos ejemplos son extremadamente raros, y esto plantea la cuestión de qué algoritmo es eficiente cuando la salida no es demasiado grande. En la actualidad, los mejores algoritmos para calcular sizigias son los algoritmos de base de Gröbner . Permiten calcular el primer módulo de sizigia y también, casi sin coste adicional, todos los módulos de sizigia.

Sicigias y regularidad

Uno podría preguntarse qué propiedad de la teoría de anillos hace que se cumpla el teorema de la sizigia de Hilbert. Resulta que esto es regularidad , que es una formulación algebraica del hecho de que el espacio n afín es una variedad sin singularidades . De hecho se cumple la siguiente generalización: Sea un anillo noetheriano . Entonces tiene una dimensión global finita si y sólo si es regular y la dimensión de Krull es finita; en ese caso la dimensión global de es igual a la dimensión de Krull. Este resultado puede demostrarse utilizando el teorema de Serre en anillos locales regulares . ${\displaystyle A=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Ver también

• Teorema de Quillen-Suslin
• Serie de Hilbert y polinomio de Hilbert

Referencias

1. D. Hilbert, Über die Theorie der algebraischen Formen, Mathematische Annalen 36, 473–530.
2. La teoría se presenta para módulos generados de forma finita , pero se extiende fácilmente a módulos arbitrarios.
3. Grete Hermann: Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale. Unter Benutzung nachgelassener Sätze von K. Hentzelt , Mathematische Annalen, Volumen 95, Número 1, 736-788, doi :10.1007/BF01206635 (resumen en idioma alemán) — La cuestión de un número finito de pasos en la teoría del ideal polinomial (revisión y versión en inglés) traducción)
4. G. Hermann afirmó c = 1 , pero no lo demostró.

• David Eisenbud , Álgebra conmutativa. Con miras a la geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas, 150. Springer-Verlag, Nueva York, 1995. xvi+785 págs. ISBN 0-387-94268-8 ; ISBN 0-387-94269-6 SEÑOR 1322960  
• "Teorema de Hilbert", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]