Teorema de Hilbert-Burch

Describe la estructura de algunas resoluciones libres de un cociente de un anillo local o graduado.

En matemáticas , el teorema de Hilbert-Burch describe la estructura de algunas resoluciones libres de un cociente de un anillo local o graduado en el caso de que el cociente tenga dimensión proyectiva  2. Hilbert  (1890) demostró una versión de este teorema para anillos polinómicos , y Burch (1968, p. 944) demostró una versión más general. Varios otros autores redescubrieron y publicaron posteriormente variaciones de este teorema. Eisenbud (1995, teorema 20.15) ofrece un enunciado y una demostración.

Declaración

Si R es un anillo local con un ideal I y

${\displaystyle 0\rightarrow R^{m}{\stackrel {f}{\rightarrow }}R^{n}\rightarrow R\rightarrow R/I\rightarrow 0}$

es una resolución libre del R - módulo R / I , entonces m  =  n  – 1 y el ideal I es aJ donde a es un elemento regular de R y J , un ideal de profundidad 2, es el primer ideal de ajuste de I , es decir, el ideal generado por los determinantes de los menores de tamaño m de la matriz de f . ${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{1}I}$

Referencias

• Burch, Lindsay (1968), "Sobre ideales de dimensión homológica finita en anillos locales", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 64 (4): 941–948, doi :10.1017/S0305004100043620, ISSN  0008-1981, MR  0229634, S2CID  123231429, Zbl  0172.32302
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa. Con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-94268-8, MR  1322960, Zbl  0819.13001
• Eisenbud, David (2005), La geometría de las sicigias. Un segundo curso de álgebra conmutativa y geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 229, Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-22215-4, Zbl1066.14001 ​
• Hilbert, David (1890), "Ueber die Theorie der algebraischen Formen", Mathematische Annalen (en alemán), 36 (4): 473–534, doi :10.1007/BF01208503, ISSN  0025-5831, JFM  22.0133.01, S2CID  179177713