Ajuste ideal

En álgebra conmutativa , los ideales de ajuste de un módulo generado finitamente sobre un anillo conmutativo describen las obstrucciones para generar el módulo por un número determinado de elementos. Fueron introducidos por Hans apropiado  (1936).

Definición

Si M es un módulo finitamente generado sobre un anillo conmutativo R generado por elementos m ₁ ,..., m _n con relaciones

${\displaystyle a_{j1}m_{1}+\cdots +a_{jn}m_{n}=0\ ({\text{for }}j=1,2,\dots )}$

entonces el i- ésimo ideal de ajuste de M es generado por los menores (determinantes de submatrices) de orden de la matriz . Los ideales de ajuste no dependen de la elección de generadores y relaciones de M. ${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{i}(M)}$ ${\displaystyle n-i}$ ${\displaystyle a_{jk}}$

Algunos autores definieron el ideal de adaptación como el primer ideal de adaptación distinto de cero . ${\displaystyle I(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{i}(M)}$

Propiedades

Los ideales de adaptación están aumentando

${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{0}(M)\subseteq \operatorname {Fitt} _{1}(M)\subseteq \operatorname {Fitt} _{2}(M)\subseteq \cdots }$

Si M puede ser generado por n elementos, entonces Fitt _n ( M ) =  R , y si R es local se cumple lo contrario. Tenemos Fitt ₀ ( M ) ⊆ Ann( M ) (el aniquilador de  M ) y Ann( M )Fitt _i ( M ) ⊆ Fitt _{i −1} ( M ), por lo que, en particular, si M puede generarse mediante n elementos, entonces Ann( METRO ) ^norte  ⊆ Fitt ₀ ( METRO ).

Ejemplos

Si M está libre de rango n, entonces los ideales de ajuste son cero para i < n y R para  i  ≥  n . ${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{i}(M)}$

Si M es un grupo abeliano finito de orden (considerado como un módulo sobre los números enteros), entonces el ideal de ajuste es el ideal . ${\displaystyle |M|}$ ${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{0}(M)}$ ${\displaystyle (|M|)}$

El polinomio de Alexander de un nudo es un generador del ideal de ajuste de la primera homología de la cobertura abeliana infinita del complemento del nudo.

Imagen adecuada

El ideal de ajuste cero también se puede utilizar para dar una variante de la noción de imagen teórica de esquemas de un morfismo, una variante que se comporta bien en familias. Específicamente, dado un morfismo finito de esquemas noetherianos , el módulo es coherente , por lo que podemos definirlo como un haz coherente de ideales; el subesquema cerrado correspondiente de se llama Imagen de ajuste de f . ^{[1] [ cita necesaria ]} ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{0}(f_{*}{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle Y}$

Referencias

1. Eisenbud, David ; Harris, Joe . La geometría de los esquemas. Saltador . pag. 219.ISBN​ 0-387-98637-5.

• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, señor  1322960
• Montaje, Hans (1936), "Die Determinantenideale eines Moduls", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 46 : 195–228, ISSN  0012-0456
• Mazur, Barry ; Wiles, Andrew (1984), "Campos de clase de extensiones abelianas de Q ", Inventiones Mathematicae , 76 (2): 179–330, doi :10.1007/BF01388599, ISSN  0020-9910, MR  0742853
• Northcott, DG (1976), Resoluciones libres finitas , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-60487-1, SEÑOR  0460383