Morfismo finito

En geometría algebraica , un morfismo finito entre dos variedades afines es un mapa regular denso que induce una inclusión isomórfica entre sus anillos de coordenadas , de modo que es integral . ^[1] Esta definición se puede extender a las variedades cuasiproyectivas , de modo que una aplicación regular entre variedades cuasiproyectivas es finita si algún punto tiene una vecindad afín V tal que sea afín y sea una aplicación finita (en vista de la definición anterior, porque es entre variedades afines). ^[2] ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle k\left[Y\right]\hookrightarrow k\left[X\right]}$ ${\displaystyle k\left[X\right]}$ ${\displaystyle k\left[Y\right]}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle U=f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle f\colon U\to V}$

Definición por esquemas

Un morfismo f : X → Y de esquemas es un morfismo finito si Y tiene una cobertura abierta por esquemas afines

${\displaystyle V_{i}={\mbox{Spec}}\;B_{i}}$

tal que para cada i ,

${\displaystyle f^{-1}(V_{i})=U_{i}}$

es un subesquema afín abierto Spec A _i , y la restricción de f a U _i , que induce un homomorfismo de anillo

${\displaystyle B_{i}\rightarrow A_{i},}$

hace que A _{i sea} un módulo generado finitamente sobre B _i . ^[3] También se dice que X es finito sobre Y.

De hecho, f es finita si y sólo si para cada subesquema afín abierto V = Spec B en Y , la imagen inversa de V en X es afín, de la forma Spec A , siendo A un módulo B finitamente generado . ^[4]

Por ejemplo, para cualquier campo k , es un morfismo finito ya que as -módulos. Geométricamente, esto es obviamente finito ya que se trata de una cubierta ramificada de n láminas de la línea afín que degenera en el origen. Por el contrario, la inclusión de A ¹ − 0 en A ¹ no es finita. (De hecho, el anillo polinómico de Laurent k [ y , y ⁻¹ ] no se genera de forma finita como un módulo sobre k [ y ].) Esto restringe nuestra intuición geométrica a familias sobreyectivas con fibras finitas. ${\displaystyle {\text{Spec}}(k[t,x]/(x^{n}-t))\to {\text{Spec}}(k[t])}$ ${\displaystyle k[t,x]/(x^{n}-t)\cong k[t]\oplus k[t]\cdot x\oplus \cdots \oplus k[t]\cdot x^{n-1}}$ ${\displaystyle k[t]}$

Propiedades de los morfismos finitos.

• La composición de dos morfismos finitos es finita.
• Cualquier cambio de base de un morfismo finito f : X → Y es finito. Es decir, si g : Z → Y es cualquier morfismo de esquemas, entonces el morfismo resultante X × _Y Z → Z es finito. Esto corresponde a la siguiente afirmación algebraica: si A y C son B -álgebras (conmutativas) , y A se genera finitamente como un módulo B , entonces el producto tensorial A ⊗ _B C se genera finitamente como un módulo C. De hecho, se puede considerar que los generadores son los elementos a _i ⊗ 1, donde a _i son los generadores dados de A como un módulo B.
• Las inmersiones cerradas son finitas, ya que están dadas localmente por A → A / I , donde I es el ideal correspondiente al subesquema cerrado.
• Los morfismos finitos son cerrados, por lo tanto (debido a su estabilidad bajo cambio de base) son adecuados . ^[5] Esto se desprende del teorema de subida de Cohen-Seidenberg en álgebra conmutativa.
• Los morfismos finitos tienen fibras finitas (es decir, son cuasi finitas ). ^[6] Esto se desprende del hecho de que para un campo k , cada k -álgebra finita es un anillo artiniano . Una afirmación relacionada es que para un morfismo sobreyectivo finito f : X → Y , X e Y tienen la misma dimensión .
• Según Deligne , un morfismo de esquemas es finito si y sólo si es propio y cuasi-finito. ^[7] Esto había sido demostrado por Grothendieck si el morfismo f : X → Y es localmente de presentación finita , lo que se sigue de los otros supuestos si Y es noetheriano . ^[8]
• Los morfismos finitos son tanto proyectivos como afines . ^[9]

Ver también

• Glosario de geometría algebraica
• álgebra finita

Notas

1. Shafarevich 2013, pag. 60, def. 1.1.
2. Shafarevich 2013, pag. 62, def. 1.2.
3. Hartshorne 1977, Sección II.3.
4. Proyecto Stacks, etiqueta 01WG.
5. Proyecto Stacks, etiqueta 01WG.
6. Proyecto Stacks, etiqueta 01WG.
7. Grothendieck, EGA IV, Parte 4, Corolario 18.12.4.
8. Grothendieck, EGA IV, Parte 3, Théorème 8.11.1.
9. Proyecto Stacks, etiqueta 01WG.

Referencias

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 28 : 5–255. doi :10.1007/bf02684343. SEÑOR  0217086.
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5–361. doi :10.1007/bf02732123. SEÑOR  0238860.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
• Shafarevich, Igor R. (2013). Geometría algebraica básica 1. Ciencia Springer . doi :10.1007/978-3-642-37956-7. ISBN 978-0-387-97716-4.

enlaces externos

• Los autores del proyecto Stacks, El proyecto Stacks