Serie de Hilbert y polinomio de Hilbert

Herramienta en la teoría de la dimensión matemática.

En álgebra conmutativa , la función de Hilbert , el polinomio de Hilbert y la serie de Hilbert de un álgebra conmutativa graduada finitamente generada sobre un campo son tres nociones fuertemente relacionadas que miden el crecimiento de la dimensión de los componentes homogéneos del álgebra.

Estas nociones se han extendido a álgebras filtradas y módulos graduados o filtrados sobre estas álgebras, así como a haces coherentes sobre esquemas proyectivos .

Las situaciones típicas donde se utilizan estas nociones son las siguientes:

• El cociente por un ideal homogéneo de un anillo polinómico multivariado , graduado por el grado total.
• El cociente por un ideal de un anillo polinómico multivariado, filtrado por el grado total.
• La filtración de un anillo local por los poderes de su ideal máximo . En este caso el polinomio de Hilbert se llama polinomio de Hilbert-Samuel .

La serie de Hilbert de un álgebra o un módulo es un caso especial de la serie de Hilbert-Poincaré de un espacio vectorial graduado .

El polinomio de Hilbert y las series de Hilbert son importantes en geometría algebraica computacional , ya que son la forma más sencilla conocida de calcular la dimensión y el grado de una variedad algebraica definida por ecuaciones polinómicas explícitas. Además, proporcionan invariantes útiles para familias de variedades algebraicas porque una familia plana tiene el mismo polinomio de Hilbert sobre cualquier punto cerrado . Esto se utiliza en la construcción del esquema Hilbert y el esquema Quot . ${\displaystyle \pi :X\to S}$ ${\displaystyle s\in S}$

Definiciones y propiedades principales.

Considere un álgebra conmutativa graduada generada finitamente S sobre un campo K , que está generada finitamente por elementos de grado positivo. Esto significa que

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$

y eso . ${\displaystyle S_{0}=K}$

La función de Hilbert

${\displaystyle HF_{S}:n\longmapsto \dim _{K}S_{n}}$

asigna el número entero n a la dimensión del K -espacio vectorial S _n . La serie de Hilbert, que se denomina serie de Hilbert-Poincaré en el contexto más general de espacios vectoriales graduados, es la serie formal

${\displaystyle HS_{S}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }HF_{S}(n)t^{n}.}$

Si S es generado por h elementos homogéneos de grados positivos , entonces la suma de la serie de Hilbert es una fracción racional ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{h}}$

${\displaystyle HS_{S}(t)={\frac {Q(t)}{\prod _{i=1}^{h}\left(1-t^{d_{i}}\right)}},}$

donde Q es un polinomio con coeficientes enteros.

Si S es generado por elementos de grado 1, entonces la suma de la serie de Hilbert puede reescribirse como

${\displaystyle HS_{S}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{\delta }}},}$

donde P es un polinomio con coeficientes enteros y es la dimensión de Krull de S. ${\displaystyle \delta }$

En este caso la expansión en serie de esta fracción racional es

${\displaystyle HS_{S}(t)=P(t)\left(1+\delta t+\cdots +{\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}t^{n}+\cdots \right)}$

dónde

${\displaystyle {\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}={\frac {(n+\delta -1)(n+\delta -2)\cdots (n+1)}{(\delta -1)!}}}$

es el coeficiente binomial para y es 0 en caso contrario. ${\displaystyle n>-\delta ,}$

Si

${\displaystyle P(t)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}t^{i},}$

el coeficiente de in es por tanto ${\displaystyle t^{n}}$ ${\displaystyle HS_{S}(t)}$

${\displaystyle HF_{S}(n)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}{\binom {n-i+\delta -1}{\delta -1}}.}$

Para el término del índice i en esta suma es un polinomio en n de grado con coeficiente principal. Esto muestra que existe un polinomio único con coeficientes racionales que es igual a para n lo suficientemente grande. Este polinomio es el polinomio de Hilbert , y tiene la forma ${\displaystyle n\geq i-\delta +1,}$ ${\displaystyle \delta -1}$ ${\displaystyle a_{i}/(\delta -1)!.}$ ${\displaystyle HP_{S}(n)}$ ${\displaystyle HF_{S}(n)}$

${\displaystyle HP_{S}(n)={\frac {P(1)}{(\delta -1)!}}n^{\delta -1}+{\text{ terms of lower degree in }}n.}$

El mínimo n ₀ tal que para n ≥ n ₀ se llama regularidad de Hilbert . Puede ser inferior a . ${\displaystyle HP_{S}(n)=HF_{S}(n)}$ ${\displaystyle \deg P-\delta +1}$

El polinomio de Hilbert es un polinomio numérico , ya que las dimensiones son números enteros, pero el polinomio casi nunca tiene coeficientes enteros (Schenck 2003, pp. 41).

Todas estas definiciones pueden extenderse a módulos graduados generados finitamente sobre S , con la única diferencia de que en la serie de Hilbert aparece un factor t ^m , donde m es el grado mínimo de los generadores del módulo, que puede ser negativo.

La función de Hilbert , la serie de Hilbert y el polinomio de Hilbert de un álgebra filtrada son los del álgebra graduada asociada.

El polinomio de Hilbert de una variedad proyectiva V en P ⁿ se define como el polinomio de Hilbert del anillo de coordenadas homogéneo de V.

Álgebra graduada y anillos polinomiales

Los anillos polinómicos y sus cocientes por ideales homogéneos son álgebras graduadas típicas. Por el contrario, si S es un álgebra graduada generada sobre el campo K por n elementos homogéneos g ₁ , ..., g _n de grado 1, entonces el mapa que envía X _i a g _i define un homomorfismo de anillos graduados desde S a S. Su núcleo es un ideal homogéneo I y esto define un isomorfismo de álgebra graduada entre y S. ${\displaystyle R_{n}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle R_{n}/I}$

Así, las álgebras graduadas generadas por elementos de grado 1 son exactamente, hasta un isomorfismo, los cocientes de anillos polinómicos por ideales homogéneos. Por tanto, el resto de este artículo se limitará a los cocientes de anillos polinómicos por ideales.

Propiedades de la serie de Hilbert

Aditividad

Las series de Hilbert y el polinomio de Hilbert son aditivos en relación con las secuencias exactas . Más precisamente, si

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;A\;\rightarrow \;B\;\rightarrow \;C\;\rightarrow \;0}$

es una secuencia exacta de módulos calificados o filtrados, entonces tenemos

${\displaystyle HS_{B}=HS_{A}+HS_{C}}$

y

${\displaystyle HP_{B}=HP_{A}+HP_{C}.}$

Esto se sigue inmediatamente de la misma propiedad para la dimensión de los espacios vectoriales.

Cociente por un divisor distinto de cero

Sea A un álgebra graduada yf un elemento homogéneo de grado d en A que no es divisor de cero . Entonces nosotros tenemos

${\displaystyle HS_{A/(f)}(t)=(1-t^{d})\,HS_{A}(t)\,.}$

Se deduce de la aditividad en la secuencia exacta.

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;A^{[d]}\;{\xrightarrow {f}}\;A\;\rightarrow \;A/f\rightarrow \;0\,,}$

donde la flecha marcada con f es la multiplicación por f , y es el módulo graduado que se obtiene de A desplazando los grados en d , para que la multiplicación por f tenga grado 0. Esto implica que ${\displaystyle A^{[d]}}$ ${\displaystyle HS_{A^{[d]}}(t)=t^{d}\,HS_{A}(t)\,.}$

Serie de Hilbert y polinomio de Hilbert de un anillo polinómico

La serie de Hilbert del anillo polinómico en indeterminados es ${\displaystyle R_{n}=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle HS_{R_{n}}(t)={\frac {1}{(1-t)^{n}}}\,.}$

De ello se deduce que el polinomio de Hilbert es

${\displaystyle HP_{R_{n}}(k)={{k+n-1} \choose {n-1}}={\frac {(k+1)\cdots (k+n-1)}{(n-1)!}}\,.}$

La prueba de que la serie de Hilbert tiene esta forma simple se obtiene aplicando recursivamente la fórmula anterior para el cociente por un divisor distinto de cero (aquí ) y observando que ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle HS_{K}(t)=1\,.}$

Forma de la serie de Hilbert y dimensión.

Un álgebra graduada A generada por elementos homogéneos de grado 1 tiene dimensión de Krull cero si el ideal homogéneo máximo, es decir, el ideal generado por los elementos homogéneos de grado 1, es nilpotente . Esto implica que la dimensión de A como K -espacio vectorial es finita y la serie de Hilbert de A es un polinomio P ( t ) tal que P (1) es igual a la dimensión de A como K -espacio vectorial.

Si la dimensión de Krull de A es positiva, existe un elemento homogéneo f de grado uno que no es divisor de cero (de hecho, casi todos los elementos de grado uno tienen esta propiedad). La dimensión Krull de A / (f) es la dimensión Krull de A menos uno.

La aditividad de la serie de Hilbert muestra que . Iterando esto un número de veces igual a la dimensión de Krull de A , obtenemos finalmente un álgebra de dimensión 0 cuya serie de Hilbert es un polinomio P ( t ) . Esto muestra que la serie de Hilbert de A es ${\displaystyle HS_{A/(f)}(t)=(1-t)\,HS_{A}(t)}$

${\displaystyle HS_{A}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{d}}}}$

donde el polinomio P ( t ) es tal que P (1) ≠ 0 y d es la dimensión de Krull de A .

Esta fórmula para la serie de Hilbert implica que el grado del polinomio de Hilbert es d y que su coeficiente principal es . ${\displaystyle {\frac {P(1)}{d!}}}$

Grado de una variedad proyectiva y teorema de Bézout

La serie de Hilbert nos permite calcular el grado de una variedad algebraica como el valor en 1 del numerador de la serie de Hilbert. Esto proporciona también una prueba bastante simple del teorema de Bézout .

Para mostrar la relación entre el grado de un conjunto algebraico proyectivo y la serie de Hilbert, considere un conjunto algebraico proyectivo V , definido como el conjunto de los ceros de un ideal homogéneo , donde k es un campo, y sea el anillo del regular funciones en el conjunto algebraico. ${\displaystyle I\subset k[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle R=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I}$

En esta sección, no se necesita irreductibilidad de conjuntos algebraicos ni primalidad de ideales. Además, como las series de Hilbert no cambian al extender el campo de coeficientes, se supone que el campo k , sin pérdida de generalidad, es algebraicamente cerrado.

La dimensión d de V es igual a la dimensión de Krull menos uno de R , y el grado de V es el número de puntos de intersección, contados con multiplicidades, de V con la intersección de hiperplanos en posición general . Esto implica la existencia, en R , de una secuencia regular de d + 1 polinomios homogéneos de grado uno. La definición de secuencia regular implica la existencia de secuencias exactas. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle h_{0},\ldots ,h_{d}}$

${\displaystyle 0\longrightarrow \left(R/\langle h_{0},\ldots ,h_{k-1}\rangle \right)^{[1]}{\stackrel {h_{k}}{\longrightarrow }}R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k-1}\rangle \longrightarrow R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k}\rangle \longrightarrow 0,}$

porque esto implica que ${\displaystyle k=0,\ldots ,d.}$

${\displaystyle HS_{R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangle }(t)=(1-t)^{d}\,HS_{R}(t)={\frac {P(t)}{1-t}},}$

donde es el numerador de la serie de Hilbert de R . ${\displaystyle P(t)}$

El anillo tiene dimensión de Krull uno y es el anillo de funciones regulares de un conjunto algebraico proyectivo de dimensión 0 que consta de un número finito de puntos, que pueden ser múltiples puntos. Como pertenece a una secuencia regular, ninguno de estos puntos pertenece al hiperplano de ecuación. El complemento de este hiperplano es un espacio afín que contiene . Esto constituye un conjunto algebraico afín , que tiene como anillo de funciones regulares. El polinomio lineal no es divisor de cero y por lo tanto se tiene una secuencia exacta ${\displaystyle R_{1}=R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangle }$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle h_{d}}$ ${\displaystyle h_{d}=0.}$ ${\displaystyle V_{0}.}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}=R_{1}/\langle h_{d}-1\rangle }$ ${\displaystyle h_{d}-1}$ ${\displaystyle R_{1},}$

${\displaystyle 0\longrightarrow R_{1}{\stackrel {h_{d}-1}{\longrightarrow }}R_{1}\longrightarrow R_{0}\longrightarrow 0,}$

lo que implica que

${\displaystyle HS_{R_{0}}(t)=(1-t)HS_{R_{1}}(t)=P(t).}$

Aquí estamos usando series de Hilbert de álgebras filtradas, y el hecho de que la serie de Hilbert de un álgebra graduada es también su serie de Hilbert como álgebra filtrada.

Por tanto , es un anillo artiniano , que es un k -espacio vectorial de dimensión P (1) , y el teorema de Jordan-Hölder puede usarse para demostrar que P (1) es el grado del conjunto algebraico V. De hecho, la multiplicidad de un punto es el número de apariciones del ideal máximo correspondiente en una serie de composición . ${\displaystyle R_{0}}$

Para demostrar el teorema de Bézout, se puede proceder de manera similar. Si es un polinomio homogéneo de grado , que no es divisor de cero en R , la secuencia exacta ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle 0\longrightarrow R^{[\delta ]}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}R\longrightarrow R/\langle f\rangle \longrightarrow 0,}$

muestra que

${\displaystyle HS_{R/\langle f\rangle }(t)=\left(1-t^{\delta }\right)HS_{R}(t).}$

Observando los numeradores, esto demuestra la siguiente generalización del teorema de Bézout:

Teorema : si f es un polinomio homogéneo de grado , que no es divisor de cero en R , entonces el grado de la intersección de V con la hipersuperficie definida por es el producto del grado de V por ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta .}$

En una forma más geométrica, esto puede reformularse como:

Teorema : si una hipersuperficie proyectiva de grado d no contiene ningún componente irreducible de un conjunto algebraico de grado δ , entonces el grado de su intersección es dδ .

El teorema de Bézout habitual se deduce fácilmente partiendo de una hipersuperficie y cruzándola con n − 1 otras hipersuperficies, una tras otra.

Intersección completa

Un conjunto algebraico proyectivo es una intersección completa si su ideal definitorio es generado por una secuencia regular . En este caso, existe una fórmula explícita simple para la serie de Hilbert.

Sean k polinomios homogéneos en , de grados respectivos. El ajuste uno tiene las siguientes secuencias exactas ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$ ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{k}.}$ ${\displaystyle R_{i}=R/\langle f_{1},\ldots ,f_{i}\rangle ,}$

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;R_{i-1}^{[\delta _{i}]}\;{\xrightarrow {f_{i}}}\;R_{i-1}\;\rightarrow \;R_{i}\;\rightarrow \;0\,.}$

La aditividad de la serie de Hilbert implica así

${\displaystyle HS_{R_{i}}(t)=(1-t^{\delta _{i}})HS_{R_{i-1}}(t)\,.}$

Una simple recursividad da

${\displaystyle HS_{R_{k}}(t)={\frac {(1-t^{\delta _{1}})\cdots (1-t^{\delta _{k}})}{(1-t)^{n}}}={\frac {(1+t+\cdots +t^{\delta _{1}})\cdots (1+t+\cdots +t^{\delta _{k}})}{(1-t)^{n-k}}}\,.}$

Esto muestra que la intersección completa definida por una secuencia regular de k polinomios tiene una codimensión de k , y que su grado es el producto de los grados de los polinomios en la secuencia.

Relación con resoluciones libres

Cada módulo graduado M sobre un anillo regular graduado R tiene una resolución libre graduada debido al teorema de sicigia de Hilbert , lo que significa que existe una secuencia exacta

${\displaystyle 0\to L_{k}\to \cdots \to L_{1}\to M\to 0,}$

donde se califican módulos libres y las flechas son mapas lineales calificados de grado cero. ${\displaystyle L_{i}}$

La aditividad de la serie de Hilbert implica que

${\displaystyle HS_{M}(t)=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}HS_{L_{i}}(t).}$

Si es un anillo polinomial, y si se conocen los grados de los elementos base del entonces las fórmulas de las secciones anteriores permiten deducir de De hecho, estas fórmulas implican que, si un módulo libre graduado L tiene una base de h elementos homogéneos de grados entonces su serie de Hilbert es ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle L_{i},}$ ${\displaystyle HS_{M}(t)}$ ${\displaystyle HS_{R}(t)=1/(1-t)^{n}.}$ ${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{h},}$

${\displaystyle HS_{L}(t)={\frac {t^{\delta _{1}}+\cdots +t^{\delta _{h}}}{(1-t)^{n}}}.}$

Estas fórmulas pueden verse como una forma de calcular las series de Hilbert. Este rara vez es el caso, ya que, en los algoritmos conocidos, el cálculo de la serie de Hilbert y el cálculo de una resolución libre parten de la misma base de Gröbner , a partir de la cual la serie de Hilbert se puede calcular directamente con una complejidad computacional que no es mayor. que eso la complejidad del cálculo de la resolución libre.

Cálculo de series de Hilbert y polinomio de Hilbert.

El polinomio de Hilbert se puede deducir fácilmente de la serie de Hilbert (ver arriba). Esta sección describe cómo se puede calcular la serie de Hilbert en el caso de un cociente de un anillo polinómico, filtrado o graduado por el grado total.

Por tanto, sea K un campo, un anillo polinómico y I un ideal en R. Sea H el ideal homogéneo generado por las partes homogéneas de mayor grado de los elementos de I. Si I es homogéneo, entonces H = I. Finalmente, sea B una base de Gröbner de I para un orden monomio que refina el orden parcial de grado total y G el ideal (homogéneo) generado por los monomios principales de los elementos de B. ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

El cálculo de la serie de Hilbert se basa en el hecho de que el álgebra filtrada R/I y las álgebras graduadas R/H y R/G tienen la misma serie de Hilbert .

Así, el cálculo de la serie de Hilbert se reduce, mediante el cálculo de una base de Gröbner, al mismo problema para un ideal generado por monomios, que suele ser mucho más sencillo que el cálculo de la base de Gröbner. La complejidad computacional de todo el cálculo depende principalmente de la regularidad, que es el grado del numerador de la serie de Hilbert. De hecho, la base de Gröbner puede calcularse mediante álgebra lineal sobre polinomios de grado acotados por la regularidad.

El cálculo de las series de Hilbert y los polinomios de Hilbert está disponible en la mayoría de los sistemas de álgebra informática . Por ejemplo, tanto en Maple como en Magma , estas funciones se denominan HilbertSeries y HilbertPolynomial .

Generalización a haces coherentes.

En geometría algebraica , los anillos graduados generados por elementos de grado 1 producen esquemas proyectivos mediante la construcción de Proj , mientras que los módulos graduados finitamente generados corresponden a haces coherentes. Si es una gavilla coherente sobre un esquema proyectivo X , definimos el polinomio de Hilbert como una función , donde χ es la característica de Euler de la gavilla coherente y un giro de Serre . La característica de Euler en este caso es un número bien definido por el teorema de finitud de Grothendieck . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle p_{\mathcal {F}}(m)=\chi (X,{\mathcal {F}}(m))}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(m)}$

Esta función es de hecho un polinomio. ^[1] Para m grande concuerda con dim según el teorema de desaparición de Serre . Si M es un módulo graduado generado finitamente y el haz coherente asociado, las dos definiciones del polinomio de Hilbert concuerdan. ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}}(m))}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$

Resoluciones gratuitas calificadas

Dado que la categoría de haces coherentes en una variedad proyectiva es equivalente a la categoría de módulos graduados módulo de un número finito de piezas graduadas, podemos usar los resultados de la sección anterior para construir polinomios de Hilbert de haces coherentes. Por ejemplo, una intersección completa de varios grados tiene la resolución ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (d_{1},d_{2})}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{1}-d_{2}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}f_{2}\\-f_{1}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{1})\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{2}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}&f_{2}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}$

Ver también

• Regularidad de Castelnuovo-Mumford
• Esquema Hilbert
• esquema de cotización

Citas

1. Ravi Vakil (2015). Fundamentos de la geometría algebraica (PDF) ., Teorema 18.6.1

Referencias

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