Función de Hilbert-Samuel

En álgebra conmutativa, la función de Hilbert-Samuel , llamada así por David Hilbert y Pierre Samuel , ^[1] de un módulo finitamente generado distinto de cero sobre un anillo local noetheriano conmutativo y un ideal primario de es la función tal que, para todo , ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \chi _{M}^{I}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \chi _{M}^{I}(n)=\ell (M/I^{n}M)}$

donde denota la longitud sobre . Está relacionada con la función de Hilbert del módulo graduado asociado por la identidad ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(M)}$

${\displaystyle \chi _{M}^{I}(n)=\sum _{i=0}^{n}H(\operatorname {gr} _{I}(M),i).}$

Para un valor suficientemente grande , coincide con una función polinómica de grado igual a , a menudo denominada polinomio de Hilbert-Samuel (o polinomio de Hilbert ). ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \dim(\operatorname {gr} _{I}(M))}$

Ejemplos

Para el anillo de series de potencias formales en dos variables tomadas como módulo sobre sí misma y el ideal generado por los monomios x ² e y ³ tenemos ${\displaystyle k[[x,y]]}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle \chi (1)=6,\quad \chi (2)=18,\quad \chi (3)=36,\quad \chi (4)=60,{\text{ and in general }}\chi (n)=3n(n+1){\text{ for }}n\geq 0.}$^[2]

Límites de grado

A diferencia de la función de Hilbert, la función de Hilbert-Samuel no es aditiva en una sucesión exacta. Sin embargo, todavía está razonablemente cerca de ser aditiva, como consecuencia del lema de Artin-Rees . Denotamos por el polinomio de Hilbert-Samuel; es decir, coincide con la función de Hilbert-Samuel para números enteros grandes. ${\displaystyle P_{I,M}}$

Teorema  —  Sea un anillo local noetheriano e I un ideal primario m . Si ${\displaystyle (R,m)}$

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

es una secuencia exacta de R -módulos finitamente generados y si tiene longitud finita, ^[3] entonces tenemos: ^[4] ${\displaystyle M/IM}$

${\displaystyle P_{I,M}=P_{I,M'}+P_{I,M''}-F}$

donde F es un polinomio de grado estrictamente menor que el de y que tiene un coeficiente principal positivo. En particular, si , entonces el grado de es estrictamente menor que el de . ${\displaystyle P_{I,M'}}$ ${\displaystyle M'\simeq M}$ ${\displaystyle P_{I,M''}}$ ${\displaystyle P_{I,M}=P_{I,M'}}$

Prueba: tensando la secuencia exacta dada con y calculando el kernel obtenemos la secuencia exacta: ${\displaystyle R/I^{n}}$

${\displaystyle 0\to (I^{n}M\cap M')/I^{n}M'\to M'/I^{n}M'\to M/I^{n}M\to M''/I^{n}M''\to 0,}$

Lo que nos da:

${\displaystyle \chi _{M}^{I}(n-1)=\chi _{M'}^{I}(n-1)+\chi _{M''}^{I}(n-1)-\ell ((I^{n}M\cap M')/I^{n}M')}$.

El tercer término de la derecha se puede estimar mediante Artin-Rees. De hecho, por el lema, para n grande y algún k ,

${\displaystyle I^{n}M\cap M'=I^{n-k}((I^{k}M)\cap M')\subset I^{n-k}M'.}$

De este modo,

${\displaystyle \ell ((I^{n}M\cap M')/I^{n}M')\leq \chi _{M'}^{I}(n-1)-\chi _{M'}^{I}(n-k-1)}$.

Esto proporciona el límite de grado deseado.

Multiplicidad

Si es un anillo local de dimensión de Krull , con ideal primario , su polinomio de Hilbert tiene término principal de la forma para algún entero . Este entero se llama multiplicidad del ideal . Cuando es el ideal máximo de , también se dice que es la multiplicidad del anillo local . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\frac {e}{d!}}\cdot n^{d}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I=m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle A}$

La multiplicidad de un punto de un esquema se define como la multiplicidad del anillo local correspondiente . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

Véase también

• j-multiplicidad

Referencias

1. H. Hironaka, Resolución de singularidades de una variedad algebraica sobre un campo de característica cero: I. Ann. of Math. 2.ª serie, vol. 79, n.º 1. (enero de 1964), págs. 109-203.
2. Atiyah, MF y MacDonald, IG Introducción al álgebra conmutativa . Reading, MA: Addison–Wesley, 1969.
3. Esto implica que y también tienen longitud finita. ${\displaystyle M'/IM'}$ ${\displaystyle M''/IM''}$
4. Eisenbud, David , Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN  0-387-94268-8 . Lema 12.3.