Anillo graduado asociado

En matemáticas , el anillo graduado asociado de un anillo R con respecto a un ideal propio I es el anillo graduado :

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$.

De manera similar, si M es un módulo R izquierdo , entonces el módulo graduado asociado es el módulo graduado sobre : ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$.

Definiciones y propiedades básicas

Para un anillo R y un ideal I , la multiplicación en se define de la siguiente manera: Primero, considere elementos homogéneos y y suponga que es un representante de a y es un representante de b . Luego defina como la clase de equivalencia de en . Tenga en cuenta que esto está bien definido módulo . La multiplicación de elementos no homogéneos se define utilizando la propiedad distributiva. ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$ ${\displaystyle a\in I^{i}/I^{i+1}}$ ${\displaystyle b\in I^{j}/I^{j+1}}$ ${\displaystyle a'\in I^{i}}$ ${\displaystyle b'\in I^{j}}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a'b'}$ ${\displaystyle I^{i+j}/I^{i+j+1}}$ ${\displaystyle I^{i+j+1}}$

Un anillo o módulo puede relacionarse con su anillo o módulo graduado asociado a través de la función de forma inicial . Sea M un R -módulo e I un ideal de R . Dado , la forma inicial de f en , escrita , es la clase de equivalencia de f en donde m es el entero máximo tal que . Si para cada m , entonces conjunto . La función de forma inicial es solo una función de conjuntos y generalmente no un homomorfismo . Para un submódulo , se define como el submódulo de generado por . Esto puede no ser lo mismo que el submódulo de generado por las únicas formas iniciales de los generadores de N . ${\displaystyle f\in M}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M}$ ${\displaystyle \mathrm {in} (f)}$ ${\displaystyle I^{m}M/I^{m+1}M}$ ${\displaystyle f\in I^{m}M}$ ${\displaystyle f\in I^{m}M}$ ${\displaystyle \mathrm {in} (f)=0}$ ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle \mathrm {in} (N)}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M}$ ${\displaystyle \{\mathrm {in} (f)|f\in N\}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M}$

Un anillo hereda algunas propiedades "buenas" de su anillo graduado asociado. Por ejemplo, si R es un anillo local noetheriano y es un dominio integral , entonces R es en sí mismo un dominio integral. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$

gr de un módulo de cociente

Sean módulos restantes sobre un anillo R e I un ideal de R . Puesto que ${\displaystyle N\subset M}$

${\displaystyle {I^{n}(M/N) \over I^{n+1}(M/N)}\simeq {I^{n}M+N \over I^{n+1}M+N}\simeq {I^{n}M \over I^{n}M\cap (I^{n+1}M+N)}={I^{n}M \over I^{n}M\cap N+I^{n+1}M}}$

(la última igualdad es por ley modular ), hay una identificación canónica: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(M/N)=\operatorname {gr} _{I}M/\operatorname {in} (N)}$

dónde

${\displaystyle \operatorname {in} (N)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }{I^{n}M\cap N+I^{n+1}M \over I^{n+1}M},}$

llamado el submódulo generado por las formas iniciales de los elementos de . ${\displaystyle N}$

Ejemplos

Sea U el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie sobre un cuerpo k ; se filtra por grado. El teorema de Poincaré–Birkhoff–Witt implica que es un anillo polinomial; de hecho, es el anillo de coordenadas . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} U}$ ${\displaystyle k[{\mathfrak {g}}^{*}]}$

El álgebra graduada asociada de un álgebra de Clifford es un álgebra exterior; es decir, un álgebra de Clifford degenera en un álgebra exterior .

Generalización a filtraciones multiplicativas

El graduado asociado también se puede definir de manera más general para filtraciones descendentes multiplicativas de R (véase también anillo filtrado ). Sea F una cadena descendente de ideales de la forma

${\displaystyle R=I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \dotsb }$

de modo que . El anillo graduado asociado con esta filtración es . La multiplicación y el mapa de forma inicial se definen como se indica anteriormente. ${\displaystyle I_{j}I_{k}\subset I_{j+k}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} _{F}R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I_{n}/I_{n+1}}$

Véase también

• Calificado (matemáticas)
• Álgebra de Rees

Referencias

1. Eisenbud 1995, Corolario 5.5
2. Zariski y Samuel 1975, Cap. VIII, un párrafo después del Teorema 1.

• Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 150. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN . 0-387-94268-8.Señor 1322960  .
• Matsumura, Hideyuki (1989). Teoría de anillos conmutativos . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Traducido del japonés por M. Reid (segunda edición). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6.Señor 1011461  .
• Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1975), Álgebra conmutativa. Vol. II , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8, Sr.  0389876