En matemáticas , el grado de una variedad afín o proyectiva de dimensión n es el número de puntos de intersección de la variedad con n hiperplanos en posición general . [1] Para un conjunto algebraico , los puntos de intersección deben contarse con su multiplicidad de intersección , debido a la posibilidad de múltiples componentes. Para variedades (irreducibles), si se tienen en cuenta las multiplicidades y, en el caso afín, los puntos en el infinito, la hipótesis de posición general puede reemplazarse por la condición mucho más débil de que la intersección de la variedad tenga dimensión cero (es decir, consista en un número finito de puntos). Esta es una generalización del teorema de Bézout . (Para una demostración, véase Serie de Hilbert y polinomio de Hilbert § Grado de una variedad proyectiva y teorema de Bézout .)
El grado no es una propiedad intrínseca de la variedad, ya que depende de una inserción específica de la variedad en un espacio afín o proyectivo.
El grado de una hipersuperficie es igual al grado total de su ecuación definitoria. Una generalización del teorema de Bézout afirma que, si una intersección de n hipersuperficies proyectivas tiene codimensión n , entonces el grado de la intersección es el producto de los grados de las hipersuperficies.
El grado de una variedad proyectiva es la evaluación en 1 del numerador de la serie de Hilbert de su anillo de coordenadas . De ello se deduce que, dadas las ecuaciones de la variedad, el grado puede calcularse a partir de una base de Gröbner del ideal de estas ecuaciones.
Para V incrustado en un espacio proyectivo P n y definido sobre algún cuerpo algebraicamente cerrado K , el grado d de V es el número de puntos de intersección de V , definido sobre K , con un subespacio lineal L en posición general , tal que
Aquí dim( V ) es la dimensión de V , y la codimensión de L será igual a esa dimensión. El grado d es una cantidad extrínseca, y no intrínseca como propiedad de V . Por ejemplo, la línea proyectiva tiene una incrustación (esencialmente única) de grado n en P n .
El grado de una hipersuperficie F = 0 es el mismo que el grado total del polinomio homogéneo F que la define (suponiendo que, en el caso de que F tenga factores repetidos, se utilice la teoría de intersecciones para contar las intersecciones con multiplicidad , como en el teorema de Bézout ).
Para un enfoque más sofisticado, el sistema lineal de divisores que define la incrustación de V se puede relacionar con el fibrado lineal o haz invertible que define la incrustación por su espacio de secciones. El fibrado lineal tautológico en P n se retrae a V . El grado determina la primera clase de Chern . El grado también se puede calcular en el anillo de cohomología de P n , o anillo de Chow , con la clase de un hiperplano que interseca la clase de V un número apropiado de veces.
El grado se puede utilizar para generalizar el teorema de Bézout de forma esperada a las intersecciones de n hipersuperficies en P n .
