Curva normal racional

En matemáticas , la curva normal racional es una curva suave y racional C de grado n en el espacio n proyectivo P ⁿ . Es un ejemplo simple de variedad proyectiva ; formalmente, es la variedad veronesa cuando el dominio es la línea proyectiva. Para n = 2 es la cónica plana Z ₀ Z ₂ = Z²
₁, y para n = 3 es la cúbica torcida . El término "normal" se refiere a la normalidad proyectiva , no a los esquemas normales . La intersección de la curva normal racional con un espacio afín se denomina curva de momento .

Definición

La curva normal racional puede darse paramétricamente como la imagen del mapa.

${\displaystyle \nu :\mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{n}}$

que asigna a las coordenadas homogéneas [ S  : T ] el valor

${\displaystyle \nu :[S:T]\mapsto \left[S^{n}:S^{n-1}T:S^{n-2}T^{2}:\cdots :T^{n}\right].}$

En las coordenadas afines del gráfico x ₀ ≠ 0 el mapa es simplemente

${\displaystyle \nu :x\mapsto \left(x,x^{2},\ldots ,x^{n}\right).}$

Es decir, la curva normal racional es el cierre por un único punto en el infinito de la curva afín.

${\displaystyle \left(x,x^{2},\ldots ,x^{n}\right).}$

De manera equivalente, la curva normal racional puede entenderse como una variedad proyectiva , definida como el lugar geométrico cero común de los polinomios homogéneos.

${\displaystyle F_{i,j}\left(X_{0},\ldots ,X_{n}\right)=X_{i}X_{j}-X_{i+1}X_{j-1}}$

donde son las coordenadas homogéneas en P ⁿ . No se necesita el conjunto completo de estos polinomios; es suficiente elegir n de ellos para especificar la curva. ${\displaystyle [X_{0}:\cdots :X_{n}]}$

Parametrización alternativa

Sean n + 1 puntos distintos en P 1 ^. Entonces el polinomio ${\displaystyle [a_{i}:b_{i}]}$

${\displaystyle G(S,T)=\prod _{i=0}^{n}\left(a_{i}S-b_{i}T\right)}$

es un polinomio homogéneo de grado n + 1 con raíces distintas. Los polinomios

${\displaystyle H_{i}(S,T)={\frac {G(S,T)}{(a_{i}S-b_{i}T)}}}$

son entonces una base para el espacio de polinomios homogéneos de grado n . La función

${\displaystyle [S:T]\mapsto \left[H_{0}(S,T):H_{1}(S,T):\cdots :H_{n}(S,T)\right]}$

o, equivalentemente, dividiendo por G ( S , T )

${\displaystyle [S:T]\mapsto \left[{\frac {1}{(a_{0}S-b_{0}T)}}:\cdots :{\frac {1}{(a_{n}S-b_{n}T)}}\right]}$

es una curva normal racional. Que se trata de una curva normal racional se puede entender observando que los monomios

${\displaystyle S^{n},S^{n-1}T,S^{n-2}T^{2},\cdots ,T^{n},}$

son sólo una base posible para el espacio de polinomios homogéneos de grado n . De hecho, cualquier base servirá. Esto es sólo una aplicación de la afirmación de que dos variedades proyectivas cualesquiera son proyectivamente equivalentes si son congruentes módulo el grupo lineal proyectivo PGL _{n + 1} ( K ) (siendo K el cuerpo sobre el cual se define el espacio proyectivo).

Esta curva racional envía los ceros de G a cada uno de los puntos de coordenadas de P ⁿ ; es decir, todos menos uno de los H _i se desvanecen para un cero de G . A la inversa, cualquier curva normal racional que pase por los n + 1 puntos de coordenadas puede escribirse paramétricamente de esta manera.

Propiedades

La curva normal racional tiene una variedad de propiedades interesantes:

• Todos los puntos n + 1 de C son linealmente independientes y abarcan P ⁿ . Esta propiedad distingue la curva normal racional de todas las demás curvas.
• Dados n + 3 puntos en P ⁿ en posición general lineal (es decir, sin ningún n + 1 que se encuentre en un hiperplano ), existe una única curva normal racional que pasa por ellos. La curva se puede especificar explícitamente utilizando la representación paramétrica, disponiendo n + 1 de los puntos para que se encuentren en los ejes de coordenadas y luego asignando los otros dos puntos a [ S  : T ] = [0 : 1] y [ S  : T ] = [1 : 0] .
• Las líneas tangente y secante de una curva normal racional son disjuntas en pares, excepto en los puntos de la curva misma. Esta es una propiedad que comparten las incrustaciones suficientemente positivas de cualquier variedad proyectiva.
• Hay

${\displaystyle {\binom {n+2}{2}}-2n-1}$

cuadráticas independientes que generan el ideal de la curva.

• La curva no es una intersección completa , para n > 2 . Es decir, no puede definirse (como un subesquema del espacio proyectivo) únicamente por n − 1 ecuaciones, siendo esa la codimensión de la curva en . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$
• La función canónica para una curva hiperelíptica tiene la imagen de una curva normal racional y es de 2 a 1.
• Toda curva irreducible no degenerada C ⊂ P ⁿ de grado n es una curva normal racional.

Véase también

• Desplazamiento normal racional

Referencias

• Joe Harris, Geometría algebraica, un primer curso , (1992) Springer-Verlag, Nueva York. ISBN  0-387-97716-3