cúbico retorcido

En matemáticas , una cúbica torcida es una curva suave y racional C de grado tres en el espacio proyectivo tridimensional P ³ . Es un ejemplo fundamental de una curva oblicua . Es esencialmente única, hasta la transformación proyectiva ( la cúbica torcida, por lo tanto). En geometría algebraica , la cúbica torcida es un ejemplo simple de una variedad proyectiva que no es lineal ni una hipersuperficie , de hecho no es una intersección completa . Es el caso tridimensional de la curva normal racional , y es la imagen de una función veronesa de grado tres sobre la línea proyectiva .

Definición

La cúbica torcida se da más fácilmente de forma paramétrica como la imagen del mapa.

${\displaystyle \nu :\mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{3}}$

que asigna a la coordenada homogénea el valor ${\displaystyle [S:T]}$

${\displaystyle \nu :[S:T]\mapsto [S^{3}:S^{2}T:ST^{2}:T^{3}].}$

En un parche de coordenadas del espacio proyectivo, el mapa es simplemente la curva de momento

${\displaystyle \nu :x\mapsto (x,x^{2},x^{3})}$

Es decir, es el cierre por un solo punto en el infinito de la curva afín . ${\displaystyle (x,x^{2},x^{3})}$

La cúbica torcida es una variedad proyectiva , definida como la intersección de tres cuádricas . En coordenadas homogéneas en P ³ , la cúbica torcida es el subesquema cerrado definido por la desaparición de los tres polinomios homogéneos ${\displaystyle [X:Y:Z:W]}$

${\displaystyle F_{0}=XZ-Y^{2}}$

${\displaystyle F_{1}=YW-Z^{2}}$

${\displaystyle F_{2}=XW-YZ.}$

Se puede comprobar que estas tres formas cuadráticas se desvanecen de forma idéntica cuando se utiliza la parametrización explícita anterior; es decir, se sustituye x ³ por X , y así sucesivamente.

Más fuertemente, el ideal homogéneo de la cúbica torcida C es generado por estos tres polinomios homogéneos de grado 2.

Propiedades

La cúbica torcida tiene las siguientes propiedades:

• Es la intersección completa de la teoría de conjuntos de y , pero no una intersección completa de la teoría de esquemas o de la teoría de ideales; lo que significa que el ideal de la variedad no puede generarse con solo 2 polinomios; se necesita un mínimo de 3. (Un intento de usar solo dos polinomios hace que el ideal resultante no sea radical , ya que está en él, pero no es). ${\displaystyle XZ-Y^{2}}$ ${\displaystyle Z(YW-Z^{2})-W(XW-YZ)}$ ${\displaystyle (YW-Z^{2})^{2}}$ ${\displaystyle YW-Z^{2}}$
• Cuatro puntos cualesquiera en C abarcan P ³ .
• Dados seis puntos en P ³ sin cuatro coplanares, hay un único cúbico torcido que pasa por ellos.
• La unión de las rectas tangente y secante (la variedad secante ) de una C cúbica torcida llena P ³ y las rectas son disjuntas por pares, excepto en puntos de la curva misma. De hecho, la unión de las rectas tangente y secante de cualquier curva algebraica suave no plana es tridimensional. Además, cualquier variedad algebraica suave con la propiedad de que cada subesquema de longitud cuatro abarca P ³ tiene la propiedad de que las rectas tangente y secante son disjuntas por pares, excepto en puntos de la variedad misma.
• La proyección de C sobre un plano desde un punto en una línea tangente de C produce una cúspide cúspide .
• La proyección desde un punto sobre una línea secante de C produce una cúbica nodal .
• La proyección desde un punto en C produce una sección cónica .

Referencias

• Harris, Joe (1992), Geometría algebraica: un primer curso , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97716-3.