En matemáticas , más específicamente en teoría de anillos , se dice que un ideal I de un anillo R es un ideal nilpotente si existe un número natural k tal que I k = 0. [1] Por I k se entiende el subgrupo aditivo generado por el conjunto de todos los productos de k elementos en I. [1] Por lo tanto, I es nilpotente si y solo si existe un número natural k tal que el producto de cualesquiera k elementos de I sea 0.
La noción de un ideal nilpotente es mucho más fuerte que la de un ideal nulo en muchas clases de anillos. Sin embargo, hay casos en los que las dos nociones coinciden; esto se ejemplifica con el teorema de Levitzky . [2] [3] La noción de un ideal nilpotente, aunque interesante en el caso de los anillos conmutativos , es más interesante en el caso de los anillos no conmutativos .
La noción de un ideal nulo tiene una profunda conexión con la de un ideal nilpotente, y en algunas clases de anillos, las dos nociones coinciden. Si un ideal es nilpotente, por supuesto es nulo, pero un ideal nulo no necesita ser nilpotente por más de una razón. La primera es que no necesita haber un límite superior global en el exponente requerido para aniquilar varios elementos del ideal nulo, y en segundo lugar, que cada elemento sea nilpotente no obliga a que los productos de elementos distintos desaparezcan. [1]
En un anillo Artiniano recto , cualquier ideal nulo es nilpotente. [4] Esto se demuestra observando que cualquier ideal nulo está contenido en el radical de Jacobson del anillo, y dado que el radical de Jacobson es un ideal nilpotente (debido a la hipótesis Artiniana), el resultado se deduce. De hecho, esto se puede generalizar a anillos Noetherianos rectos ; este resultado se conoce como el teorema de Levitzky . [3]