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Conjetura de Köthe

En matemáticas , la conjetura de Köthe es un problema de teoría de anillos , abierto a partir de 2022 . Está formulado de varias maneras. Supongamos que R es un anillo . Una forma de plantear la conjetura es que si R no tiene ningún ideal nulo , distinto de {0}, entonces no tiene ningún ideal nulo unilateral , distinto de {0}.

Esta pregunta fue planteada en 1930 por Gottfried Köthe (1905-1989). Se ha demostrado que la conjetura de Köthe es cierta para varias clases de anillos, como los anillos de identidad polinomiales [1] y los anillos noetherianos derechos , [2] pero una solución general sigue siendo difícil de alcanzar.

Formulaciones equivalentes

La conjetura tiene varias formulaciones diferentes: [3] [4] [5]

  1. (Conjetura de Köthe) En cualquier anillo, la suma de dos ideales izquierdos nulos es nula.
  2. En cualquier anillo, la suma de dos ideales nulos unilaterales es nula.
  3. En cualquier anillo, cada ideal nulo izquierdo o derecho del anillo está contenido en el radical nulo superior del anillo.
  4. Para cualquier anillo R y para cualquier ideal nulo J de R , la matriz ideal M n ( J ) es un ideal nulo de M n ( R ) para cada n .
  5. Para cualquier anillo R y para cualquier ideal nulo J de R , la matriz ideal M 2 ( J ) es un ideal nulo de M 2 ( R ).
  6. Para cualquier anillo R , el radical nil superior de M n ( R ) es el conjunto de matrices con entradas del radical nil superior de R para cada entero positivo n .
  7. Para cualquier anillo R y para cualquier ideal nulo J de R , los polinomios con x indeterminado y coeficientes de J se encuentran en el radical de Jacobson del anillo polinómico R [ x ].
  8. Para cualquier anillo R , el radical de Jacobson de R [ x ] consta de polinomios con coeficientes del radical nil superior de R.

Problemas relacionados

Una conjetura de Amitsur decía: "Si J es un ideal nulo en R , entonces J [ x ] es un ideal nulo del anillo polinómico R [ x ]". [6] Esta conjetura, de ser cierta, habría probado la conjetura de Köthe a través de las declaraciones equivalentes anteriores; sin embargo, Agata Smoktunowicz produjo un contraejemplo . [7] Si bien no es una refutación de la conjetura de Köthe, esto alimentó sospechas de que la conjetura de Köthe puede ser falsa. [8]

Kegel demostró que un anillo que es la suma directa de dos subanillos nilpotentes es en sí mismo nilpotente. [ cita necesaria ] Surgió la pregunta de si "nilpotente" podría reemplazarse por "localmente nilpotente" o "nulo". Se logró un progreso parcial cuando Kelarev [9] produjo un ejemplo de un anillo que no es nulo, sino que es la suma directa de dos anillos localmente nilpotentes. Esto demuestra que la pregunta de Kegel en la que "localmente nilpotente" reemplaza a "nilpotente" tiene una respuesta negativa.

La suma de un subanillo nilpotente y un subanillo nulo es siempre nula. [10]

Referencias

  1. ^ John C. McConnell, James Christopher Robson, Lance W. Small, Anillos noetherianos no conmutativos (2001), pág. 484.
  2. ^ Lam, TY, Un primer curso sobre anillos no conmutativos (2001), p.164.
  3. ^ Krempa, J., "Conexiones lógicas entre algunos problemas abiertos relacionados con anillos nulos", Fundamenta Mathematicae 76 (1972), no. 2, 121-130.
  4. ^ Lam, TY, Un primer curso sobre anillos no conmutativos (2001), p.171.
  5. ^ Lam, TY, Ejercicios de teoría clásica de anillos (2003), pág. 160.
  6. ^ Amitsur, SA Nulos radicales. Notas históricas y algunos resultados nuevos Anillos, módulos y radicales (Proc. Internat. Colloq., Keszthely, 1971), págs. Coloq. Matemáticas. Soc. János Bolyai, vol. 6, Holanda Septentrional, Ámsterdam, 1973.
  7. ^ Smoktunowicz, Ágata . Los anillos polinomiales sobre anillos nulos no tienen por qué ser nulos J. Algebra 233 (2000), no. 2, pág. 427–436.
  8. ^ Lam, TY, Un primer curso sobre anillos no conmutativos (2001), p.171.
  9. ^ Kelarev, AV, Una suma de dos anillos localmente nilpotentes puede no ser nula, Arch. Matemáticas. 60 (1993), páginas 431–435.
  10. ^ Ferrero, M., Puczylowski, ER, Sobre anillos que son sumas de dos subanillos, Arch. Matemáticas. 53 (1989), páginas 4-10.

enlaces externos