Teorema de Levitzky

En matemáticas , más específicamente en la teoría de anillos y la teoría de ideales nulos , el teorema de Levitzky , llamado así por Jacob Levitzki , establece que en un anillo noetheriano recto , cada ideal unilateral nulo es necesariamente nilpotente . ^{[1] [2]} El teorema de Levitzky es uno de los muchos resultados que sugieren la veracidad de la conjetura de Köthe , y de hecho proporcionó una solución a una de las preguntas de Köthe como se describe en (Levitzki 1945). El resultado se presentó originalmente en 1939 como (Levitzki 1950), y se dio una prueba particularmente simple en (Utumi 1963).

Prueba

Éste es el argumento de Utumi tal como aparece en (Lam 2001, p. 164-165)

Lema ^[3]

Supongamos que R satisface la condición de cadena ascendente en aniquiladores de la forma donde a está en R . Entonces ${\displaystyle \{r\in R\mid ar=0\}}$

1. Cualquier ideal unilateral nulo está contenido en el radical nulo inferior Nil _* ( R );
2. Todo ideal derecho nulo distinto de cero contiene un ideal derecho nilpotente distinto de cero.
3. Todo ideal izquierdo nulo distinto de cero contiene un ideal izquierdo nilpotente distinto de cero.

Teorema de Levitzki ^[4]

Sea R un anillo noetheriano recto. Entonces, todo ideal unilateral nulo de R es nilpotente. En este caso, los nilradicales superior e inferior son iguales y, además, este ideal es el ideal nilpotente más grande entre los ideales nilpotentes derechos y entre los ideales nilpotentes izquierdos.

Demostración : En vista del lema anterior, es suficiente mostrar que el nilradical inferior de R es nilpotente. Como R es noetheriano recto, existe un ideal nilpotente maximalista N. Por maximalidad de N , el anillo cociente R / N no tiene ideales nilpotentes distintos de cero, por lo que R / N es un anillo semiprimo . Como resultado, N contiene el nilradical inferior de R. Como el nilradical inferior contiene todos los ideales nilpotentes, también contiene a N , y por lo tanto N es igual al nilradical inferior. QED

Véase también

• Ideal nilpotente
• Conjetura de Köthe
• Jacobson radical

Notas

1. Herstein 1968, pag. 37, Teorema 1.4.5
2. Isaacs 1993, pág. 210, Teorema 14.38
3. Lam 2001, Lema 10.29.
4. Lam 2001, Teorema 10.30.

Referencias

• Isaacs, I. Martin (1993), Álgebra, un curso de posgrado (1.ª ed.), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
• Herstein, IN (1968), Anillos no conmutativos (1.ª ed.), The Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-015-X
• Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95183-6
• Levitzki, J. (1950), "Sobre sistemas multiplicativos", Compositio Mathematica , 8 : 76–80, SEÑOR  0033799.
• Levitzki, Jakob (1945), "Solución de un problema de G. Koethe", American Journal of Mathematics , 67 (3), The Johns Hopkins University Press: 437–442, doi :10.2307/2371958, ISSN  0002-9327, JSTOR  2371958, MR  0012269
• Utumi, Yuzo (1963), "Notas matemáticas: un teorema de Levitzki", The American Mathematical Monthly , 70 (3), Asociación Matemática de América: 286, doi : 10.2307/2313127, hdl : 10338.dmlcz/101274 , ISSN  0002-9890, JSTOR  2313127, MR  1532056