Anillo de valoración

Concepto en álgebra

En álgebra abstracta , un anillo de valoración es un dominio integral D tal que para cada elemento distinto de cero x de su campo de fracciones F , al menos uno de x o x ⁻¹ pertenece a D.

Dado un cuerpo F , si D es un subanillo de F tal que x o x ⁻¹ pertenece a D para cada x distinto de cero en F , entonces se dice que D es un anillo de valuación para el cuerpo F o un lugar de F . Dado que F en este caso es de hecho el cuerpo de fracciones de D , un anillo de valuación para un cuerpo es un anillo de valuación. Otra forma de caracterizar los anillos de valuación de un cuerpo F es que los anillos de valuación D de F tienen a F como su cuerpo de fracciones, y sus ideales están totalmente ordenados por inclusión ; o equivalentemente sus ideales principales están totalmente ordenados por inclusión. En particular, cada anillo de valuación es un anillo local .

Los anillos de valoración de un campo son los elementos máximos del conjunto de los subanillos locales en el campo parcialmente ordenados por dominancia o refinamiento , ^[1] donde

${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}}_{A})}$domina si y . ^[2] ${\displaystyle (B,{\mathfrak {m}}_{B})}$ ${\displaystyle A\supseteq B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{A}\cap B={\mathfrak {m}}_{B}}$

Cada anillo local en un campo K está dominado por algún anillo de valoración de K.

Un dominio integral cuya localización en cualquier ideal primo es un anillo de valoración se denomina dominio de Prüfer .

Definiciones

Existen varias definiciones equivalentes de anillo de valoración (ver más abajo la caracterización en términos de dominancia). Para un dominio integral D y su cuerpo de fracciones K , son equivalentes:

1. Para cada x distinto de cero en K , al menos uno de x o x ⁻¹ está en D .
2. Los ideales de D están totalmente ordenados por inclusión.
3. Los ideales principales de D están totalmente ordenados por inclusión (es decir, los elementos en D están, hasta las unidades , totalmente ordenados por divisibilidad ).
4. Hay un grupo abeliano totalmente ordenado Γ (llamado grupo de valor ) y una valoración ν: K → Γ ∪ {∞} con D = { x ∈ K | ν( x ) ≥ 0 }.

La equivalencia de las tres primeras definiciones se deduce fácilmente. Un teorema de (Krull 1939) establece que cualquier anillo que satisfaga las tres primeras condiciones satisface la cuarta: tomemos Γ como el cociente K ^× / D ^× del grupo unitario de K por el grupo unitario de D , y tomemos ν como la proyección natural. Podemos convertir Γ en un grupo totalmente ordenado declarando las clases de residuos de elementos de D como "positivas". ^[a]

Más aún, dado cualquier grupo abeliano totalmente ordenado Γ, existe un anillo de valoración D con grupo de valores Γ (véase la serie de Hahn ).

Del hecho de que los ideales de un anillo de valoración están totalmente ordenados, se puede concluir que un anillo de valoración es un dominio local, y que cada ideal finitamente generado de un anillo de valoración es principal (es decir, un anillo de valoración es un dominio de Bézout ). De hecho, es un teorema de Krull que un dominio integral es un anillo de valoración si y solo si es un dominio de Bézout local. ^[3] También se sigue de esto que un anillo de valoración es noetheriano si y solo si es un dominio de ideales principales . En este caso, es un cuerpo o tiene exactamente un ideal primo distinto de cero; en este último caso se llama anillo de valoración discreto . (Por convención, un cuerpo no es un anillo de valoración discreto).

Un grupo de valores se denomina discreto si es isomorfo al grupo aditivo de los números enteros , y un anillo de valoración tiene un grupo de valoración discreto si y solo si es un anillo de valoración discreto . ^[4]

En casos muy poco frecuentes, el término anillo de valoración puede hacer referencia a un anillo que satisface la segunda o tercera condición, pero no necesariamente es un dominio. Un término más común para este tipo de anillo es anillo uniserial .

Ejemplos

• Cualquier cuerpo es un anillo de valoración. Por ejemplo, el cuerpo de funciones racionales en una variedad algebraica . ^{[5] [6]} ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} (X)}$ ${\displaystyle X}$
• Un ejemplo simple es el dominio integral, ya que el inverso de un genérico es . ${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$ ${\displaystyle f/g\in \mathbb {C} (X)}$ ${\displaystyle g/f\not \in \mathbb {C} [X]}$
• El campo de series de potencias :

${\displaystyle \mathbb {F} ((X))=\left\{f(X)=\!\sum _{i>-\infty }^{\infty }a_{i}X^{i}\,:\ a_{i}\in \mathbb {F} \right\}}$

tiene la valoración . El subanillo también es un anillo de valoración. ${\displaystyle v(f)=\inf \nolimits _{a_{n}\neq 0}n}$ ${\displaystyle \mathbb {F} [[X]]}$

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)},}$la localización de los números enteros en el ideal primo ( p ), que consiste en razones donde el numerador es cualquier número entero y el denominador no es divisible por p . El cuerpo de las fracciones es el cuerpo de los números racionales. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• El anillo de funciones meromórficas en todo el plano complejo que tienen una serie de Maclaurin ( desarrollo de la serie de Taylor en cero) es un anillo de valuación. El cuerpo de fracciones son las funciones meromórficas en todo el plano. Si f no tiene una serie de Maclaurin, entonces 1/ f sí la tiene.
• Cualquier anillo de números enteros p -ádicos para un primo p dado es un anillo local , con cuerpo de fracciones los números p -ádicos . La clausura integral de los números enteros p -ádicos es también un anillo local, con cuerpo de fracciones (la clausura algebraica de los números p -ádicos). Tanto y son anillos de valoración. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\text{cl}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\text{cl}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\text{cl}}}$
• Sea k un cuerpo ordenado . Un elemento de k se llama finito si se encuentra entre dos enteros n < x < m ; en caso contrario se llama infinito. El conjunto D de elementos finitos de k es un anillo de valoración. El conjunto de elementos x tales que x ∈ D y x ⁻¹ ∉ D es el conjunto de elementos infinitesimales ; y un elemento x tal que x ∉ D y x ⁻¹ ∈ D se llama infinito.
• El anillo F de elementos finitos de un cuerpo hiperreal * R (un cuerpo ordenado que contiene los números reales ) es un anillo de valoración de * R . F consiste en todos los números hiperreales que difieren de un real estándar en una cantidad infinitesimal, lo que equivale a decir un número hiperreal x tal que − n < x < n para algún entero estándar n . El cuerpo de residuos , números hiperreales finitos módulo el ideal de números hiperreales infinitesimales, es isomorfo a los números reales.
• Un ejemplo geométrico común proviene de las curvas planas algebraicas . Considere el anillo polinomial y un polinomio irreducible en ese anillo. Entonces el anillo es el anillo de funciones polinomiales en la curva . Elija un punto tal que y es un punto regular en la curva; es decir, el anillo local R en el punto es un anillo local regular de dimensión de Krull uno o un anillo de valoración discreto . ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(f)}$ ${\displaystyle \{(x,y):f(x,y)=0\}}$ ${\displaystyle P=(P_{x},P_{y})\in \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle f(P)=0}$
• Por ejemplo, considere la inclusión . Todos estos son subanillos en el campo de series de potencias acotadas por debajo . ${\displaystyle (\mathbb {C} [[X^{2}]],(X^{2}))\hookrightarrow (\mathbb {C} [[X]],(X))}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ((X))}$

Dominancia y cierre integral

Las unidades , o elementos invertibles, de un anillo de valoración son los elementos x en D tales que x  ⁻¹ también es miembro de D . Los otros elementos de D – llamados no unidades – no tienen una inversa en D , y forman un ideal M . Este ideal es máximo entre los ideales (totalmente ordenados) de D . Como M es un ideal máximo , el anillo cociente D / M es un cuerpo, llamado cuerpo de residuos de D .

En general, decimos que un anillo local domina a un anillo local si y ; en otras palabras, la inclusión es un homomorfismo de anillo local . Todo anillo local en un cuerpo K está dominado por algún anillo de valuación de K . De hecho, el conjunto que consiste en todos los subanillos R de K que contienen a A y no es vacío y es inductivo; por lo tanto, tiene un elemento maximal por el lema de Zorn . Afirmamos que R es un anillo de valuación. R es un anillo local con ideal maximal que contiene por maximalidad. Nuevamente por maximalidad también está integralmente cerrado. Ahora, si , entonces, por maximalidad, y por lo tanto podemos escribir: ${\displaystyle (S,{\mathfrak {m}}_{S})}$ ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}}_{R})}$ ${\displaystyle S\supseteq R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{S}\cap R={\mathfrak {m}}_{R}}$ ${\displaystyle R\subseteq S}$ ${\displaystyle (A,{\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle 1\not \in {\mathfrak {p}}R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R}$ ${\displaystyle x\not \in R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R[x]=R[x]}$

${\displaystyle 1=r_{0}+r_{1}x+\cdots +r_{n}x^{n},\quad r_{i}\in {\mathfrak {p}}R}$.

Dado que es un elemento unitario, esto implica que es integral sobre R ; por lo tanto, está en R . Esto demuestra que R es un anillo de valoración. ( R domina a A ya que su ideal máximo lo contiene por construcción). ${\displaystyle 1-r_{0}}$ ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Un anillo local R en un cuerpo K es un anillo de valoración si y sólo si es un elemento maximalista del conjunto de todos los anillos locales contenidos en K parcialmente ordenados por dominancia. Esto se deduce fácilmente de lo anterior. ^[b]

Sea A un subanillo de un cuerpo K y un homomorfismo de anillo en un cuerpo algebraicamente cerrado k . Entonces f extiende a un homomorfismo de anillo , D algún anillo de valuación de K que contiene a A . (Demostración: Sea una extensión maximal, que claramente existe por el lema de Zorn. Por maximalidad, R es un anillo local con ideal maximal que contiene el núcleo de f . Si S es un anillo local que domina a R , entonces S es algebraico sobre R ; si no, contiene un anillo polinomial al que se extiende g , una contradicción con la maximalidad. De ello se sigue que es una extensión de cuerpo algebraico de . Por lo tanto, extiende g ; por lo tanto, S = R .) ${\displaystyle f:A\to k}$ ${\displaystyle g:D\to k}$ ${\displaystyle g:R\to k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle S/{\mathfrak {m}}_{S}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}_{R}}$ ${\displaystyle S\to S/{\mathfrak {m}}_{S}\hookrightarrow k}$

Si un subanillo R de un cuerpo K contiene un anillo de valoración D de K , entonces, al verificar la Definición 1, R también es un anillo de valoración de K . En particular, R es local y su ideal maximal se contrae a algún ideal primo de D , digamos, . Entonces , dado que domina a , que es un anillo de valoración ya que los ideales están totalmente ordenados. Esta observación se subsume a lo siguiente: ^[7] existe una correspondencia biyectiva el conjunto de todos los subanillos de K que contienen a D . En particular, D es integralmente cerrado, ^{[8] [c]} y la dimensión de Krull de D es el número de subanillos propios de K que contienen a D . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R=D_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto D_{\mathfrak {p}},\operatorname {Spec} (D)\to }$

De hecho, el cierre integral de un dominio integral A en el campo de fracciones K de A es la intersección de todos los anillos de valuación de K que contienen a A . ^[9] En efecto, el cierre integral está contenido en la intersección ya que los anillos de valuación están integralmente cerrados. A la inversa, sea x en K pero no integral sobre A . Como el ideal no es , ^[d] está contenido en un ideal maximal . Entonces hay un anillo de valuación R que domina la localización de en . Como , . ${\displaystyle x^{-1}A[x^{-1}]}$ ${\displaystyle A[x^{-1}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A[x^{-1}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle x^{-1}\in {\mathfrak {m}}_{R}}$ ${\displaystyle x\not \in R}$

La dominancia se utiliza en geometría algebraica . Sea X una variedad algebraica sobre un cuerpo k . Entonces decimos que un anillo de valoración R en tiene "centro x en X " si domina el anillo local del haz de estructura en x . ^[10] ${\displaystyle k(X)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x,X}}$

Ideales en anillos de valoración

Podemos describir los ideales en el anillo de valoración por medio de su grupo de valores.

Sea Γ un grupo abeliano totalmente ordenado . Un subconjunto Δ de Γ se denomina segmento si no está vacío y, para cualquier α en Δ, cualquier elemento entre −α y α también está en Δ (incluidos los puntos finales). Un subgrupo de Γ se denomina subgrupo aislado si es un segmento y es un subgrupo propio.

Sea D un anillo de valoración con valoración v y grupo de valores Γ. Para cualquier subconjunto A de D , sea el complemento de la unión de y en . Si I es un ideal propio, entonces es un segmento de . De hecho, la aplicación define una biyección de inclusión-inversión entre el conjunto de ideales propios de D y el conjunto de segmentos de . ^[11] Bajo esta correspondencia, los ideales primos no nulos de D corresponden biyectivamente a los subgrupos aislados de Γ. ${\displaystyle \Gamma _{A}}$ ${\displaystyle v(A-0)}$ ${\displaystyle -v(A-0)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{I}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle I\mapsto \Gamma _{I}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Ejemplo: El anillo de números enteros p -ádicos es un anillo de valoración con grupo de valores . El subgrupo cero de corresponde al ideal máximo único y todo el grupo al ideal cero . El ideal máximo es el único subgrupo aislado de . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (p)\subseteq \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

El conjunto de subgrupos aislados está totalmente ordenado por inclusión. La altura o rango r (Γ) de Γ se define como la cardinalidad del conjunto de subgrupos aislados de Γ. Como los ideales primos distintos de cero están totalmente ordenados y corresponden a subgrupos aislados de Γ, la altura de Γ es igual a la dimensión de Krull del anillo de valoración D asociado a Γ.

El caso especial más importante es la altura uno, que es equivalente a que Γ sea un subgrupo de los números reales bajo la suma (o equivalentemente, de los números reales positivos bajo la multiplicación). Un anillo de valoración con una valoración de altura uno tiene un valor absoluto correspondiente que define un lugar ultramétrico . Un caso especial de esto son los anillos de valoración discretos mencionados anteriormente. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

El rango racional rr (Γ) se define como el rango del grupo de valores como un grupo abeliano,

${\displaystyle \mathrm {dim} _{\mathbb {Q} }(\Gamma \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} ).}$

Lugares

Definición general

Un lugar de un cuerpo K es un homomorfismo de anillo p de un anillo de valoración D de K a algún cuerpo tal que, para cualquier , . La imagen de un lugar es un cuerpo llamado cuerpo de residuos de p . Por ejemplo, la función canónica es un lugar. ${\displaystyle x\not \in D}$ ${\displaystyle p(1/x)=0}$ ${\displaystyle D\to D/{\mathfrak {m}}_{D}}$

Ejemplo

Sea A un dominio de Dedekind y un ideal primo. Entonces la función canónica es un lugar. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}\to k({\mathfrak {p}})}$

Especialización de lugares

Decimos que un lugar p se especializa en un lugar p ′ , denotado por , si el anillo de valoración de p contiene el anillo de valoración de p ' . En geometría algebraica, decimos que un ideal primo se especializa en si . Las dos nociones coinciden: si y solo si un ideal primo correspondiente a p se especializa en un ideal primo correspondiente a p ′ en algún anillo de valoración (recordemos que si son anillos de valoración del mismo cuerpo, entonces D corresponde a un ideal primo de ). ${\displaystyle p\rightsquigarrow p'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {p}}'}$ ${\displaystyle p\rightsquigarrow p'}$ ${\displaystyle D\supseteq D'}$ ${\displaystyle D'}$

Ejemplo

Por ejemplo, en el campo de funciones de alguna variedad algebraica, cada ideal primo contenido en un ideal maximal da una especialización . ${\displaystyle \mathbb {F} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\rightsquigarrow {\mathfrak {m}}}$

Observaciones

Se puede demostrar: si , entonces para algún lugar q del cuerpo de residuos de p . (Obsérvese que es un anillo de valoración de y sea q el lugar correspondiente; el resto es mecánico). Si D es un anillo de valoración de p , entonces su dimensión de Krull es la cardinaridad de las especializaciones distintas de p a p . Por lo tanto, para cualquier lugar p con anillo de valoración D de un cuerpo K sobre un cuerpo k , tenemos: ${\displaystyle p\rightsquigarrow p'}$ ${\displaystyle p'=q\circ p|_{D'}}$ ${\displaystyle k(p)}$ ${\displaystyle p(D')}$ ${\displaystyle k(p)}$

${\displaystyle \operatorname {tr.deg} _{k}k(p)+\dim D\leq \operatorname {tr.deg} _{k}K}$.

Si p es un lugar y A es un subanillo del anillo de valoración de p , entonces se llama centro de p en A . ${\displaystyle \operatorname {ker} (p)\cap A}$

Lugares en el infinito

Para el cuerpo de funciones de una variedad afín hay valores que no están asociados a ninguno de los primos de . Estos valores se denominan lugares en el infinito .[1] Por ejemplo, la línea afín tiene cuerpo de funciones . El lugar asociado a la localización de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{1}}$ ${\displaystyle k(x)}$

${\displaystyle k\left[{\frac {1}{x}}\right]}$

en el ideal máximo

${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\left({\frac {1}{x}}\right)}$

es un lugar en el infinito.

Notas

1. Más precisamente, Γ está totalmente ordenado al definir si y sólo si donde [ x ] e [ y ] son ​​clases de equivalencia en Γ. cf. Efrat (2006), p. 39 ${\displaystyle [x]\geq [y]}$ ${\displaystyle xy^{-1}\in D}$
2. Demostración: si R es un elemento maximalista, entonces está dominado por un anillo de valoración; por lo tanto, él mismo debe ser un anillo de valoración. A la inversa, sea R un anillo de valoración y S un anillo local que domina a R pero no a R . Hay x que está en S pero no en R . Entonces está en R y de hecho en el ideal maximalista de R . Pero entonces , lo cual es absurdo. Por lo tanto, no puede haber tal S . ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle x^{-1}\in {\mathfrak {m}}_{S}}$
3. Para ver más directamente que los anillos de valoración están integralmente cerrados, supongamos que x ⁿ  +  a ₁ x ^{n −1}  + ... +  a ₀  = 0. Entonces, al dividir por x ^{n −1} obtenemos x = − a ₁  − ... −  a ₀ x ^{− n +1} . Si x no estuviera en D , entonces x ⁻¹ estaría en D y esto expresaría a x como una suma finita de elementos en D , de modo que x estaría en D , una contradicción.
4. En general, es integral sobre A si y sólo si ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle xA[x]=A[x].}$

Citas

1. Hartshorne 1977, Teorema I.6.1A.
2. Efrat 2006, pág. 55.
3. Cohn 1968, Proposición 1.5.
4. Efrat 2006, pág. 43.
5. El papel de los anillos de valoración en la geometría algebraica
6. ¿Existe una superficie de Riemann correspondiente a cada extensión del cuerpo? ¿Se necesita alguna otra hipótesis?
7. Zariski y Samuel 1975, Cap. VI, Teorema 3.
8. Efrat 2006, pág. 38.
9. Matsumura 1989, Teorema 10.4.
10. Hartshorne 1977, Cap. II. Ejercicio 4.5.
11. Zariski y Samuel 1975, Cap. VI, Teorema 15.

Fuentes

• Bourbaki, Nicolas (1972). Álgebra conmutativa . Elementos de matemáticas (primera edición). Addison-Wesley. ISBN 978-020100644-5.
• Cohn, PM (1968), "Anillos de Bezout y sus subanillos" (PDF) , Proc. Cambridge Philos. Soc. , 64 (2): 251–264, Bibcode :1968PCPS...64..251C, doi :10.1017/s0305004100042791, ISSN  0008-1981, MR  0222065, S2CID  123667384, Zbl  0157.08401
• Efrat, Ido (2006), Valuaciones, ordenamientos y teoría K de Milnor , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 124, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-4041-X, Zbl1103.12002 ​
• Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Módulos sobre dominios no noetherianos , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 84, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1963-0, MR  1794715, Zbl  0973.13001
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Krull, Wolfgang (1939), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche. VI. Der allgemeine Diskriminantensatz. Unverzweigte Ringerweiterungen", Mathematische Zeitschrift , 45 (1): 1–19, doi :10.1007/BF01580269, ISSN  0025-5874, SEÑOR  1545800, S2CID  121374449, Zbl  0020.34003
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría de anillos conmutativos, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8, Traducido del japonés por Miles Reid (segunda edición), ISBN 0-521-36764-6, Zbl0666.13002 ​
• Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1975), Álgebra conmutativa. Vol. II , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8, Sr.  0389876