Serie Hahn

Serie matemática formal infinita

En matemáticas , las series de Hahn (a veces también conocidas como series de Hahn-Mal'cev-Neumann ) son un tipo de serie infinita formal . Son una generalización de las series de Puiseux (en sí mismas una generalización de las series de potencia formales ) y fueron introducidas por primera vez por Hans Hahn en 1907 ^[1] (y luego generalizadas por Anatoly Maltsev y Bernhard Neumann a un entorno no conmutativo). Permiten exponentes arbitrarios de lo indeterminado siempre que el conjunto que los soporta forme un subconjunto bien ordenado del grupo de valores (típicamente o ). Las series de Hahn se introdujeron por primera vez, como grupos, en el curso de la prueba del teorema de incrustación de Hahn y luego las estudió en relación con el segundo problema de Hilbert . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Formulación

El cuerpo de la serie de Hahn (en el indeterminado ) sobre un cuerpo y con grupo de valores (un grupo ordenado) es el conjunto de expresiones formales de la forma ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle f=\sum _{e\in \Gamma }c_{e}T^{e}}$

con tal que el soporte de f esté bien ordenado . La suma y el producto de ${\displaystyle c_{e}\in K}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} f:=\{e\in \Gamma :c_{e}\neq 0\}}$

${\displaystyle f=\sum _{e\in \Gamma }c_{e}T^{e}}$y ${\displaystyle g=\sum _{e\in \Gamma }d_{e}T^{e}}$

son dados por

${\displaystyle f+g=\sum _{e\in \Gamma }(c_{e}+d_{e})T^{e}}$

y

${\displaystyle fg=\sum _{e\in \Gamma }\sum _{e'+e''=e}c_{e'}d_{e''}T^{e}}$

(en este último, la suma de valores tales que y es finita porque un conjunto bien ordenado no puede contener una secuencia decreciente infinita). [ ^2] ${\displaystyle \sum _{e'+e''=e}}$ ${\displaystyle (e',e'')}$ ${\displaystyle c_{e'}\neq 0}$ ${\displaystyle d_{e''}\neq 0}$ ${\displaystyle e'+e''=e}$

Por ejemplo, es una serie de Hahn (sobre cualquier cuerpo) porque el conjunto de números racionales ${\displaystyle T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots }$

${\displaystyle \left\{-{\frac {1}{p}},-{\frac {1}{p^{2}}},-{\frac {1}{p^{3}}},\ldots \right\}}$

está bien ordenada; no es una serie de Puiseux porque los denominadores en los exponentes no están acotados. (Y si el cuerpo base K tiene característica p , entonces esta serie de Hahn satisface la ecuación, por lo que es algebraica sobre .) ${\displaystyle X^{p}-X=T^{-1}}$ ${\displaystyle K(T)}$

Propiedades

Propiedades del campo valorado

La valoración de una serie de Hahn distinta de cero ${\displaystyle v(f)}$

${\displaystyle f=\sum _{e\in \Gamma }c_{e}T^{e}}$

se define como el más pequeño tal que (en otras palabras, el elemento más pequeño del soporte de ): esto hace que sea un cuerpo valuado esféricamente completo con grupo de valores y cuerpo de residuos (justificando a posteriori la terminología). De hecho, si tiene característica cero, entonces es hasta isomorfismo (no único) el único cuerpo valuado esféricamente completo con cuerpo de residuos y grupo de valores . ^[3] La valuación define una topología en . Si , entonces corresponde a un valor absoluto ultramétrico , con respecto al cual es un espacio métrico completo . Sin embargo, a diferencia del caso de las series formales de Laurent o de Puiseux, las sumas formales utilizadas para definir los elementos del cuerpo no convergen : en el caso de por ejemplo, los valores absolutos de los términos tienden a 1 (porque sus valuaciones tienden a 0), por lo que la serie no es convergente (tales series a veces se conocen como "pseudoconvergentes" ^[4] ). ${\displaystyle e\in \Gamma }$ ${\displaystyle c_{e}\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K[[T^{\Gamma }]]}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (K[[T^{\Gamma }]],v)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle \Gamma \subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle |f|=\exp(-v(f))}$ ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots }$

Propiedades algebraicas

Si es algebraicamente cerrado (pero no necesariamente de característica cero) y es divisible , entonces es algebraicamente cerrado. ^[5] Por lo tanto, el cierre algebraico de está contenido en , donde es el cierre algebraico de (cuando es de característica cero, es exactamente el cuerpo de la serie de Puiseux ): de hecho, es posible dar una descripción algo análoga del cierre algebraico de en característica positiva como un subconjunto de . ^[6] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle K((T))}$ ${\displaystyle {\overline {K}}[[T^{\mathbb {Q} }]]}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K((T))}$ ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$

Si es un cuerpo ordenado entonces está totalmente ordenado haciendo el infinitesimal indeterminado (mayor que 0 pero menor que cualquier elemento positivo de ) o, equivalentemente, usando el orden lexicográfico en los coeficientes de la serie. Si es real-cerrado y es divisible entonces es en sí mismo real-cerrado. ^[7] Este hecho puede usarse para analizar (o incluso construir) el cuerpo de números surrealistas (que es isomorfo, como cuerpo ordenado, al cuerpo de la serie de Hahn con coeficientes reales y grupo de valores los propios números surrealistas ^[8] ). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$

Si κ es un cardinal regular infinito , se puede considerar el subconjunto de consistente en series cuyo conjunto de soporte tiene cardinalidad (estrictamente) menor que κ : resulta que este también es un cuerpo, con muchas de las mismas propiedades de cerramiento algebraico que el completo : por ejemplo, es algebraicamente cerrado o realmente cerrado cuando es así y es divisible. ^[9] ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle \{e\in \Gamma :c_{e}\neq 0\}}$ ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Familias sumables

Familias sumables

Se puede definir una noción de familias sumables en . Si es un conjunto y es una familia de series de Hahn , entonces decimos que es sumable si el conjunto está bien ordenado y cada conjunto para es finito. ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle f_{i}\in K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \bigcup \limits _{i\in I}\operatorname {supp} f_{i}\subset \Gamma }$ ${\displaystyle \{i\in I\mid e\in \operatorname {supp} f_{i}\}}$ ${\displaystyle e\in \Gamma }$

Podemos entonces definir la suma como la serie de Hahn. ${\displaystyle \sum \limits _{i\in I}f_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}f_{i}:=\sum \limits _{e\in \Gamma }\left(\sum _{i\in I}f_{i}(e)\right)T^{e}.}$

Si son sumables, entonces también lo son las familias , y tenemos ^[10] ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I},(g_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle (f_{i}+g_{i})_{i\in I},(f_{i}g_{j})_{(i,j)\in I\times I}}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}f_{i}+g_{i}=\sum _{i\in I}f_{i}+\sum _{i\in I}g_{i}}$

y

${\displaystyle \sum _{(i,j)\in I\times I}f_{i}g_{j}=\left(\sum _{i\in I}f_{i}\right)\left(\sum _{i\in I}g_{i}\right).}$

Esta noción de familia sumable no corresponde a la noción de convergencia en la topología de valoración en . Por ejemplo, en , la familia es sumable pero la secuencia no converge. ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \left[\left[T^{\mathbb {Q} }\right]\right]}$ ${\displaystyle (T^{\frac {n}{n+1}}+T^{n+1})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\big (}\sum \limits _{k\leq n}T^{\frac {k}{k+1}}+T^{k+1}{\big )}_{n\in \mathbb {N} }}$

Evaluación de funciones analíticas

Sea y sea el anillo de funciones de valor real que son analíticas en un entorno de . ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}}$ ${\displaystyle a}$

Si contiene , entonces podemos evaluar cada elemento de en cada elemento de de la forma , donde la valoración de es estrictamente positiva. De hecho, la familia siempre es sumable, ^[11] por lo que podemos definir . Esto define un homomorfismo de anillo . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}}$ ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle a+\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\bigg (}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\varepsilon ^{n}{\bigg )}_{\!n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f(a+\varepsilon ):=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\varepsilon ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}\longrightarrow K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$

Serie Hahn-Witt

La construcción de series de Hahn puede combinarse con vectores de Witt (al menos sobre un cuerpo perfecto ) para formar series de Hahn torcidas o series de Hahn–Witt : ^[12] por ejemplo, sobre un cuerpo finito K de característica p (o su clausura algebraica), el cuerpo de la serie de Hahn–Witt con grupo de valores Γ (que contiene los enteros ) sería el conjunto de sumas formales donde ahora son representantes de Teichmüller (de los elementos de K ) que se multiplican y suman de la misma manera que en el caso de los vectores de Witt ordinarios (que se obtiene cuando Γ es el grupo de los enteros). Cuando Γ es el grupo de los racionales o reales y K es la clausura algebraica del cuerpo finito con p elementos, esta construcción da un cuerpo algebraicamente cerrado (ultra)métricamente completo que contiene los p -ádicos , por lo tanto una descripción más o menos explícita del cuerpo o su completitud esférica. ^[13] ${\displaystyle \sum _{e\in \Gamma }c_{e}p^{e}}$ ${\displaystyle c_{e}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$

Ejemplos

• El campo de la serie formal de Laurent puede describirse como . ${\displaystyle K((T))}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[[T^{\mathbb {Z} }]]}$
• El campo de números surrealistas puede considerarse como un campo de series de Hahn con coeficientes reales y un grupo de valores que son los propios números surrealistas. ^[14]
• El campo de Levi-Civita puede considerarse como un subcampo de , con la imposición adicional de que los coeficientes sean un conjunto finito por la izquierda: el conjunto de coeficientes menores que un coeficiente dado es finito. ${\displaystyle \mathbb {R} [[T^{\mathbb {Q} }]]}$ ${\displaystyle c_{q}}$
• El cuerpo de transseries es una unión dirigida de cuerpos de Hahn (y es una extensión del cuerpo de Levi-Civita). La construcción de se asemeja (pero no es literalmente) a , . ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle T_{0}=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle T_{n+1}=\mathbb {R} \left[\left[\varepsilon ^{T_{n}}\right]\right]}$

Véase también

• Serie racional

Notas

1. Hahn (1907)
2. Neumann (1949), Lemas (3.2) y (3.3)
3. Kaplansky, Irving, Campos máximos con valoración , Duke Mathematical Journal, vol. 1, n°2, 1942.
4. Kaplansky (1942, Duke Math. J. , definición en la pág. 303)
5. MacLane (1939, Bull. Amer. Math. Soc. , teorema 1 (pág. 889))
6. Kedlaya (2001, Proc. Amer. Math. Soc. )
7. Alling (1987, §6.23, (2) (pág. 218))
8. Alling (1987, teorema de §6.55 (p. 246))
9. Alling (1987, §6.23, (3) y (4) (págs. 218-219))
10. Joris van der Hoeven
11. Neumann
12. Kedlaya (2001, J. Teoría de números )
13. Poonen (1993)
14. Alling (1987)

Referencias

• Hahn, Hans (1907), "Über die nichtarchimedischen Größensysteme", Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien, Mathematisch – Naturwissenschaftliche Klasse (Wien. Ber.) , 116 : 601–655, JFM  38.0501.01(reimpreso en: Hahn, Hans (1995), Gesammelte Abhandlungen I , Springer-Verlag)
• MacLane, Saunders (1939), "La universalidad de los campos de series de potencias formales", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 45 (12): 888–890, doi : 10.1090/s0002-9904-1939-07110-3 , Zbl  0022.30401
• Kaplansky, Irving (1942), "Campos máximos con valoraciones I", Duke Mathematical Journal , 9 (2): 303–321, doi :10.1215/s0012-7094-42-00922-0
• Alling, Norman L. (1987). Fundamentos del análisis sobre campos numéricos surrealistas . Estudios matemáticos. Vol. 141. Holanda septentrional. ISBN 0-444-70226-1.Zbl 0621.12001  .
• Poonen, Bjorn (1993), "Campos máximamente completos", L'Enseignement mathématique , 39 : 87–106, Zbl  0807.12006
• Kedlaya, Kiran Sridhara (2001), "El cierre algebraico del campo de series de potencias en característica positiva", Actas de la American Mathematical Society , 129 (12): 3461–3470, doi : 10.1090/S0002-9939-01-06001-4
• Kedlaya, Kiran Sridhara (2001), "Series de potencias y cierres algebraicos 𝑝-ádicos", Journal of Number Theory , 89 : 324–339, arXiv : math/9906030 , doi : 10.1006/jnth.2000.2630
• Hoeven, van der, Joris (2001), "Operadores en series de potencias generalizadas", Illinois Journal of Mathematics , 45 (4), doi : 10.1215/ijm/1258138061
• Neumann, Bernhard Hermann (1949), "Sobre anillos de división ordenados", Transactions of the American Mathematical Society , 66 : 202–252, doi : 10.1090/S0002-9947-1949-0032593-5