En matemáticas , se dice que un objeto matemático satisface una propiedad localmente , si la propiedad se satisface en algunas porciones inmediatas y limitadas del objeto (por ejemplo, en algunas vecindades de puntos suficientemente pequeñas o arbitrariamente pequeñas ).
Quizás el ejemplo más conocido de la idea de localidad radica en el concepto de mínimo local (o máximo local ), que es un punto en una función cuyo valor funcional es el más pequeño (o el más grande) dentro de una vecindad inmediata de puntos. [1] Esto debe contrastarse con la idea de mínimo global (o máximo global), que corresponde al mínimo (resp., máximo) de la función en todo su dominio. [2] [3]
A veces se dice que un espacio topológico exhibe una propiedad localmente , si la propiedad se exhibe "cerca" de cada punto de una de las siguientes maneras:
Aquí, tenga en cuenta que la condición (2) es en su mayor parte más fuerte que la condición (1), y que se debe tener especial precaución para distinguir entre las dos. Por ejemplo, puede surgir alguna variación en la definición de compacto local como resultado de las diferentes elecciones de estas condiciones.
Dada alguna noción de equivalencia (p. ej., homeomorfismo , difeomorfismo , isometría ) entre espacios topológicos , se dice que dos espacios son localmente equivalentes si cada punto del primer espacio tiene una vecindad equivalente a una vecindad del segundo espacio.
Por ejemplo, el círculo y la línea son objetos muy diferentes. No se puede estirar el círculo para que se parezca a la línea, ni comprimir la línea para que encaje en el círculo sin espacios ni superposiciones. Sin embargo, una pequeña parte del círculo se puede estirar y aplanar para que parezca una pequeña parte de la línea. Por esta razón, se puede decir que el círculo y la recta son localmente equivalentes.
De manera similar, la esfera y el plano son localmente equivalentes. Un observador lo suficientemente pequeño situado sobre la superficie de una esfera (por ejemplo, una persona y la Tierra) la encontraría indistinguible de un avión.
Para un grupo infinito , se considera que una "vecindad pequeña" es un subgrupo generado de forma finita . Se dice que un grupo infinito es localmente P si cada subgrupo generado finitamente es P. Por ejemplo, un grupo es localmente finito si cada subgrupo generado finitamente es finito, y un grupo es localmente soluble si cada subgrupo generado finitamente es soluble .
Para grupos finitos , una "vecindad pequeña" se considera un subgrupo definido en términos de un número primo p , generalmente los subgrupos locales , los normalizadores de los p -subgrupos no triviales . En cuyo caso, se dice que una propiedad es local si puede detectarse a partir de los subgrupos locales. Las propiedades globales y locales formaron una parte importante de los primeros trabajos sobre la clasificación de grupos finitos simples , que se llevaron a cabo durante la década de 1960.
Para los anillos conmutativos, las ideas de geometría algebraica hacen que sea natural tomar una "pequeña vecindad" de un anillo como la localización en un ideal primo . En cuyo caso, se dice que una propiedad es local si puede detectarse desde los anillos locales . Por ejemplo, ser un módulo plano sobre un anillo conmutativo es una propiedad local, pero ser un módulo libre no lo es. Para obtener más información, consulte Localización de un módulo .