En matemáticas , en el campo de la teoría de grupos , un grupo localmente finito es un tipo de grupo que puede estudiarse de manera análoga a un grupo finito . Se han estudiado subgrupos de Sylow , subgrupos de Carter y subgrupos abelianos de grupos localmente finitos. Se atribuye el concepto al trabajo realizado en la década de 1930 por el matemático ruso Sergei Chernikov . [1]
Un grupo localmente finito es un grupo para el cual cada subgrupo generado de forma finita es finito .
Dado que los subgrupos cíclicos de un grupo localmente finito se generan de forma finita, por lo tanto finitos, cada elemento tiene un orden finito y, por lo tanto, el grupo es periódico .
Ejemplos:
No ejemplos:
La clase de grupos localmente finitos se cierra en subgrupos, cocientes y extensiones (Robinson 1996, p. 429).
Los grupos localmente finitos satisfacen una forma más débil de los teoremas de Sylow . Si un grupo localmente finito tiene un p -subgrupo finito no contenido en ningún otro p -subgrupos, entonces todos los p -subgrupos máximos son finitos y conjugados. Si hay un número finito de conjugados, entonces el número de conjugados es congruente con 1 módulo p . De hecho, si cada subgrupo contable de un grupo localmente finito tiene sólo un número contable de p -subgrupos máximos, entonces cada p -subgrupo máximo del grupo es conjugado (Robinson 1996, p. 429).
La clase de grupos localmente finitos se comporta de manera algo similar a la clase de grupos finitos. Gran parte de la teoría de formaciones y clases de ajuste de la década de 1960, así como la teoría más antigua de los subgrupos de Sylow del siglo XIX y la década de 1930, tiene un análogo en la teoría de grupos localmente finitos (Dixon 1994, p. v.).
De manera similar al problema de Burnside , los matemáticos se han preguntado si cada grupo infinito contiene un subgrupo abeliano infinito . Si bien esto no tiene por qué ser cierto en general, un resultado de Philip Hall y otros es que cada grupo infinito localmente finito contiene un grupo abeliano infinito. La prueba de este hecho en la teoría de grupos infinitos se basa en el teorema de Feit-Thompson sobre la solubilidad de grupos finitos de orden impar (Robinson 1996, p. 432).