En teoría de grupos , un grupo de Dedekind es un grupo G tal que cada subgrupo de G es normal . Todos los grupos abelianos son grupos de Dedekind. Un grupo de Dedekind no abeliano se denomina grupo hamiltoniano . [1]
El ejemplo más conocido (y más pequeño) de un grupo hamiltoniano es el grupo de cuaterniones de orden 8, denotado por Q 8 . Dedekind y Baer han demostrado (en el caso de orden finito e infinito respectivamente) que cada grupo hamiltoniano es un producto directo de la forma G = Q 8 × B × D , donde B es un 2-grupo abeliano elemental y D es un grupo abeliano de torsión con todos los elementos de orden impar.
Los grupos de Dedekind reciben su nombre de Richard Dedekind , quien los investigó en (Dedekind 1897), demostrando una forma del teorema de estructura anterior (para grupos finitos ). Denominó a los no abelianos en honor a William Rowan Hamilton , el descubridor de los cuaterniones .
En 1898, George Miller delineó la estructura de un grupo hamiltoniano en términos de su orden y el de sus subgrupos. Por ejemplo, muestra que "un grupo hamiltoniano de orden 2 a tiene 2 2 a − 6 grupos de cuaterniones como subgrupos". En 2005, Horvat et al [2] utilizaron esta estructura para contar el número de grupos hamiltonianos de cualquier orden n = 2 e o donde o es un entero impar. Cuando e < 3, entonces no hay grupos hamiltonianos de orden n , de lo contrario, hay el mismo número que grupos abelianos de orden o .