En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , un grupo abeliano elemental es un grupo abeliano en el que todos los elementos distintos de la identidad tienen el mismo orden . Este orden común debe ser un número primo , y los grupos abelianos elementales en los que el orden común es p son un tipo particular de p -grupo . [1] [2] Un grupo para el que p = 2 (es decir, un 2-grupo abeliano elemental) a veces se denomina grupo booleano . [3]
Todo p -grupo abeliano elemental es un espacio vectorial sobre el cuerpo primo con p elementos, y a la inversa, todo espacio vectorial de este tipo es un grupo abeliano elemental. Por la clasificación de los grupos abelianos finitamente generados , o por el hecho de que todo espacio vectorial tiene una base , todo grupo abeliano elemental finito debe tener la forma ( Z / p Z ) n para n un entero no negativo (a veces llamado el rango del grupo ). Aquí, Z / p Z denota el grupo cíclico de orden p (o equivalentemente los enteros mod p ), y la notación superíndice significa el producto directo n -vez de los grupos . [2]
En general, un p -grupo abeliano elemental (posiblemente infinito) es una suma directa de grupos cíclicos de orden p . [4] (Nótese que en el caso finito el producto directo y la suma directa coinciden, pero esto no es así en el caso infinito).
Supóngase que V ( Z / p Z ) n es un grupo abeliano elemental finito. Como Z / p Z F p , el cuerpo finito de p elementos, tenemos V = ( Z / p Z ) n F p n , por lo tanto V puede considerarse como un espacio vectorial n -dimensional sobre el cuerpo F p . Nótese que un grupo abeliano elemental en general no tiene una base distinguida: la elección del isomorfismo V ( Z / p Z ) n corresponde a una elección de base.
Para el lector observador, puede parecer que F p n tiene más estructura que el grupo V , en particular que tiene multiplicación escalar además de adición (vector/grupo). Sin embargo, V como grupo abeliano tiene una estructura de módulo Z única donde la acción de Z corresponde a la adición repetida, y esta estructura de módulo Z es consistente con la multiplicación escalar de F p . Es decir, c ⋅ g = g + g + ... + g ( c veces) donde c en F p (considerado como un entero con 0 ≤ c < p ) da a V una estructura de módulo F p natural .
Como un espacio vectorial de dimensión finita V tiene una base { e 1 , ..., e n } como se describe en los ejemplos, si tomamos { v 1 , ..., v n } como cualesquiera n elementos de V , entonces por álgebra lineal tenemos que la aplicación T ( e i ) = v i se extiende únicamente a una transformación lineal de V . Cada uno de estos T puede considerarse como un homomorfismo de grupo de V a V (un endomorfismo ) y, de la misma manera, cualquier endomorfismo de V puede considerarse como una transformación lineal de V como un espacio vectorial.
Si restringimos nuestra atención a los automorfismos de V tenemos Aut( V ) = { T : V → V | ker T = 0 } = GL n ( F p ), el grupo lineal general de matrices invertibles n × n en F p .
El grupo de automorfismos GL( V ) = GL n ( F p ) actúa transitivamente sobre V \ {0} (como es cierto para cualquier espacio vectorial). De hecho, esto caracteriza a los grupos abelianos elementales entre todos los grupos finitos: si G es un grupo finito con identidad e tal que Aut( G ) actúa transitivamente sobre G \ { e }, entonces G es abeliano elemental. (Demostración: si Aut( G ) actúa transitivamente sobre G \ { e }, entonces todos los elementos no identidad de G tienen el mismo orden (necesariamente primo). Entonces G es un p -grupo. Se deduce que G tiene un centro no trivial , que es necesariamente invariante bajo todos los automorfismos, y por lo tanto es igual a todo G .)
También puede ser de interés ir más allá de los componentes de orden primo al orden de potencia prima. Considérese un grupo abeliano elemental G como de tipo ( p , p ,..., p ) para algún primo p . Un grupo homocíclico [5] (de rango n ) es un grupo abeliano de tipo ( m , m ,..., m ) es decir, el producto directo de n grupos cíclicos isomorfos de orden m , de los cuales los grupos de tipo ( p k , p k ,..., p k ) son un caso especial.
Los grupos extra especiales son extensiones de grupos abelianos elementales mediante un grupo cíclico de orden p, y son análogos al grupo de Heisenberg .
