functor derivado

Construcción homológica en la teoría de categorías.

En matemáticas , se pueden derivar ciertos functores para obtener otros funtores estrechamente relacionados con los originales. Esta operación, aunque bastante abstracta, unifica una serie de construcciones en todas las matemáticas.

Motivación

Se observó en varios entornos bastante diferentes que una secuencia exacta corta a menudo da lugar a una "secuencia exacta larga". El concepto de funtores derivados explica y aclara muchas de estas observaciones.

Supongamos que nos dan un funtor exacto izquierdo covariante F  : A → B entre dos categorías abelianas A y B . Si 0 → A → B → C → 0 es una secuencia corta y exacta en A , entonces al aplicar F se obtiene la secuencia exacta 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) y uno podría preguntarse cómo continuar esta secuencia hacia la derecha para formar una secuencia larga y exacta. Estrictamente hablando, esta pregunta está mal planteada, ya que siempre hay numerosas formas diferentes de continuar una secuencia exacta hacia la derecha. Pero resulta que (si A es lo suficientemente "agradable") hay una forma canónica de hacerlo, dada por los functores derivados derechos de F . Para cada i ≥1, hay un funtor R ⁱ F : A → B , y la secuencia anterior continúa así: 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → R ¹ F ( A ) → R ¹ F ( B ) → R ¹ F ( C ) → R ² F ( A ) → R ² F ( B ) → ... . De esto vemos que F es un funtor exacto si y sólo si R ¹ F = 0; entonces, en cierto sentido, los functores derivados correctos de F miden "qué tan lejos" está F de ser exacto.

Si el objeto A en la secuencia corta exacta anterior es inyectivo , entonces la secuencia se divide . La aplicación de cualquier funtor aditivo a una secuencia dividida da como resultado una secuencia dividida, por lo que en particular R ¹ F ( A ) = 0. Los funtores derivados por la derecha (para i>0 ) son cero en inyectivos: esta es la motivación para la construcción que se proporciona a continuación.

Construcción y primeras propiedades

La suposición crucial que debemos hacer acerca de nuestra categoría abeliana A es que tiene suficientes inyectivos , lo que significa que para cada objeto A en A existe un monomorfismo A → I donde I es un objeto inyectivo en A.

Los functores derivados por la derecha del funtor covariante exacto por la izquierda F  : A → B se definen a continuación. Comience con un objeto X de A. Como hay suficientes inyectivos, podemos construir una secuencia larga y exacta de la forma

${\displaystyle 0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots }$

donde los I ⁱ son todos inyectivos (esto se conoce como resolución inyectiva de X ). Aplicando el functor F a esta secuencia y cortando el primer término, obtenemos el complejo de cadena 

${\displaystyle 0\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots }$

Nota: en general, esta ya no es una secuencia exacta. Pero podemos calcular su cohomología en el i -ésimo punto (el núcleo del mapa desde F ( I ⁱ ) módulo la imagen del mapa hasta F ( I ⁱ )); llamamos al resultado R ⁱ F ( X ). Por supuesto, se deben verificar varias cosas: el resultado no depende de la resolución inyectiva dada de X , y cualquier morfismo X → Y naturalmente produce un morfismo R ⁱ F ( X ) → R ⁱ F ( Y ), de modo que de hecho obtener un functor. Tenga en cuenta que la exactitud hacia la izquierda significa que 0 → F ( X ) → F ( I ⁰ ) → F ( I ¹ ) es exacta, por lo que R ⁰ F ( X ) = F ( X ), por lo que solo obtenemos algo interesante para i >0 .

(Técnicamente, para producir derivadas bien definidas de F , tendríamos que fijar una resolución inyectiva para cada objeto de A. Esta elección de resoluciones inyectivas produce entonces funtores R ⁱ F. Diferentes elecciones de resoluciones producen funtores naturalmente isomórficos , por lo que en el Al final, la elección realmente no importa.)

La propiedad mencionada anteriormente de convertir secuencias exactas cortas en secuencias exactas largas es una consecuencia del lema de la serpiente . Esto nos dice que la colección de funtores derivados es un δ-functor .

Si X es en sí mismo inyectivo, entonces podemos elegir la resolución inyectiva 0 → X → X → 0, y obtenemos que R ⁱ F ( X ) = 0 para todo i ≥ 1. En la práctica, este hecho, junto con la larga exacta propiedad de secuencia, se utiliza a menudo para calcular los valores de funtores derivados derechos.

Una forma equivalente de calcular R ⁱ F ( X ) es la siguiente: tome una resolución inyectiva de X como arriba, y sea K ⁱ la imagen del mapa I ^{i -1} → I ⁱ (para i =0, defina I ^{i -1} =0), que es lo mismo que el núcleo de I ⁱ → I ^{i +1} . Sea φ _i  :  I ^{i -1} → K ⁱ el mapa sobreyectivo correspondiente. Entonces R ⁱ F ( X ) es el núcleo de F (φ _i ).

Variaciones

Si se comienza con un funtor covariante exacto a la derecha G , y la categoría A tiene suficientes proyectivos (es decir, para cada objeto A de A existe un epimorfismo P → A donde P es un objeto proyectivo ), entonces se puede definir de manera análoga el functor izquierdo- funtores derivados L _i G . Para un objeto X de A primero construimos una resolución proyectiva de la forma

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0}$

donde los _Pi son proyectivos. Aplicamos G a esta secuencia, cortamos el último término y calculamos la homología para obtener L _i G ( X ). Como antes, L ₀ G ( X ) = G ( X ).

En este caso, la secuencia larga y exacta crecerá "hacia la izquierda" en lugar de hacia la derecha:

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

se convierte en

${\displaystyle \cdots \to L_{2}G(C)\to L_{1}G(A)\to L_{1}G(B)\to L_{1}G(C)\to G(A)\to G(B)\to G(C)\to 0}$.

Los funtores derivados por la izquierda son cero en todos los objetos proyectivos.

También se puede comenzar con un funtor F exacto a la izquierda contravariante ; los functores derivados por la derecha resultantes también son contravariantes. La secuencia corta exacta

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

se convierte en la secuencia larga exacta

${\displaystyle 0\to F(C)\to F(B)\to F(A)\to R^{1}F(C)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(A)\to R^{2}F(C)\to \cdots }$

Estos functores derivados por la izquierda son cero en los proyectivos y, por lo tanto, se calculan mediante resoluciones proyectivas.

Ejemplos

• Si es una categoría abeliana, entonces su categoría de morfismos también es abeliana. El funtor que asigna cada morfismo a su núcleo se deja exacto. Sus funtores derivados derechos son ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\{\ast \to \ast \}}}$ ${\displaystyle \ker :A^{\{\ast \to \ast \}}\to A}$

${\displaystyle R^{i}(\ker )(f)={\begin{cases}\ker(f)&i=0\\\operatorname {coker} (f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}}$

Dualmente, el funtor es exacto a la derecha y sus funtores derivados a la izquierda son ${\displaystyle \operatorname {coker} }$

${\displaystyle L_{i}(\operatorname {coker} )(f)={\begin{cases}\operatorname {coker} (f)&i=0\\\ker(f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}}$

Ésta es una manifestación del lema de la serpiente .

Homología y cohomología

Cohomología de la gavilla

Si es un espacio topológico , entonces la categoría de todos los haces de grupos abelianos es una categoría abeliana con suficientes inyectivos. El funtor que asigna a cada uno de estos haces el grupo de secciones globales es exacto a la izquierda, y los funtores derivados por la derecha son los funtores de cohomología de los haces , normalmente escritos como . De manera un poco más general: si es un espacio anillado , entonces la categoría de todos los haces de módulos es una categoría abeliana con suficientes inyectivos, y podemos nuevamente construir la cohomología de los haces como los funtores derivados derechos del funtor de sección global. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Sh(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma :Sh(X)\to Ab}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}}):={\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Existen varias nociones de cohomología que son un caso especial de esto:

• La cohomología de De Rham es la cohomología del haz de funciones con valores localmente constantes en una variedad . El complejo de De Rham es una resolución de este haz no mediante haces inyectivos, sino mediante haces finos . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• La cohomología Étale es otra teoría de cohomología para haces sobre un esquema. Es el funtor derivado derecho de las secciones globales de gavillas abelianas en el sitio étale .

funtores externos

Si es un anillo , entonces la categoría de todos los módulos izquierdos es una categoría abeliana con suficientes inyectivos. Si es un módulo izquierdo fijo , entonces el funtor es exacto a la izquierda y sus funtores derivados a la derecha son los functores Ext . Alternativamente, también se puede obtener como el funtor derivado izquierdo del funtor exacto derecho . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-):R{\text{-Mod}}\to {\mathfrak {Ab}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,-)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(-,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(-,B):R{\text{-Mod}}\to {\mathfrak {Ab}}^{op}}$

Varias nociones de cohomología son casos especiales de functores Ext y, por tanto, también de functores derivados.

• La cohomología de grupo es el funtor derivado derecho del funtor de invariantesque es lo mismo que(dondeestá el módulo trivial) y por lo tanto. ${\displaystyle (-)^{G}:k[G]{\text{-Mod}}\to k[G]{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{k[G]}(k,-)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k[G]}$ ${\displaystyle H^{i}(G,M)=\operatorname {Ext} _{k[G]}^{i}(k,M)}$
• La cohomología del álgebra de Lie de un álgebra de Lie sobre algún anillo conmutativoes el funtor derivado derecho del funtor de invariantesque es lo mismo que(dondenuevamente es elmódulo trivial yes el álgebra envolvente universal de). Por lo tanto. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (-)^{\mathfrak {g}}:{\mathfrak {g}}{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{U({\mathfrak {g}})}(k,-)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle H^{i}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U({\mathfrak {g}})}^{i}(k,M)}$
• La cohomología de Hochschild de algunas -álgebra es el functor derivado por la derecha de invariantesque asignan un bimódulo a su centro, también llamado su conjunto de invariantes,que es lo mismo que(dondeestá el álgebra envolvente deyse considera un-bimódulo a través de los habituales izquierda y derecha multiplicación). Por lo tanto: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (-)^{A}:(A,A){\text{-Bimod}}\to k{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{A}:=Z(M):=\{m\in M\mid \forall a\in A:am=ma\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A^{e}}(A,M)}$ ${\displaystyle A^{e}:=A\otimes _{k}A^{op}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A,A)}$ ${\displaystyle HH^{i}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A^{e}}^{i}(A,M)}$

Functores Tor

La categoría de módulos izquierdos también tiene suficientes proyectivos. Si es un módulo derecho fijo , entonces el producto tensor con da un funtor covariante exacto derecho ; La categoría de módulos tiene suficientes proyectivos para que siempre existan funtores derivados por la izquierda. Los functores derivados por la izquierda del funtor tensorial son los functores Tor . De manera equivalente se puede definir simétricamente como los functores derivados por la izquierda de . De hecho, se pueden combinar ambas definiciones y definirlas como la derivada izquierda de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\to Ab}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,-)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(-,B)}$ ${\displaystyle -\otimes B}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(-,-)}$ ${\displaystyle -\otimes -:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\to Ab}$

Esto incluye varias nociones de homología como casos especiales. Esto a menudo refleja la situación con los functores Ext y la cohomología.

• La homología de grupo es el functor derivado por la izquierda de tomar coinvariantesque es lo mismo que. ${\displaystyle (-)_{G}:k[G]{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle k\otimes _{k[G]}-}$
• La homología del álgebra de Lie es el funtor derivado por la izquierda de tomar covariantesque es lo mismo que. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}},M\mapsto M/[{\mathfrak {g}},M]}$ ${\displaystyle k\otimes _{U({\mathfrak {g}})}-}$
• La homología de Hochschild es el funtor derivado por la izquierda de tomar covariantesque es lo mismo que. ${\displaystyle (A,A){\text{-Bimod}}\to k{\text{-Mod}},M\mapsto M/[A,M]}$ ${\displaystyle A\otimes _{A^{e}}-}$

En lugar de tomar funtores individuales derivados por la izquierda, también se puede tomar el funtor derivado total del funtor tensorial. Esto da lugar al producto tensorial derivado donde está la categoría derivada . ${\displaystyle -\otimes ^{L}-:D({\text{Mod-}}R)\times D(R{\text{-Mod}})\to D(Ab)}$ ${\displaystyle D}$

Naturalidad

Los functores derivados y las largas secuencias exactas son "naturales" en varios sentidos técnicos.

Primero, dado un diagrama conmutativo de la forma

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}0&\to &A_{1}&{\xrightarrow {f_{1}}}&B_{1}&{\xrightarrow {g_{1}}}&C_{1}&\to &0\\&&\alpha \downarrow \quad &&\beta \downarrow \quad &&\gamma \downarrow \quad &&\\0&\to &A_{2}&{\xrightarrow {f_{2}}}&B_{2}&{\xrightarrow {g_{2}}}&C_{2}&\to &0\end{array}}}$

(donde las filas son exactas), las dos secuencias largas exactas resultantes se relacionan mediante la conmutación de cuadrados:

En segundo lugar, supongamos que η : F → G es una transformación natural del funtor exacto izquierdo F al functor exacto izquierdo G . Luego se inducen transformaciones naturales R ⁱ η : R ⁱ F → R ⁱ G y, de hecho, R ⁱ se convierte en un functor de la categoría de funtores de todos los functores exactos izquierdos de A a B a la categoría de funtores completa de todos los funtores de A a B. Además, este funtor es compatible con las secuencias exactas largas en el siguiente sentido: si

${\displaystyle 0\to A{\xrightarrow {f}}B{\xrightarrow {g}}C\to 0}$

es una secuencia exacta corta, entonces un diagrama conmutativo

es inducido.

Ambas naturalidades se derivan de la naturalidad de la secuencia proporcionada por el lema de la serpiente .

Por el contrario, se cumple la siguiente caracterización de functores derivados: dada una familia de functores R ⁱ : A → B , que satisface lo anterior, es decir, mapea secuencias cortas exactas en secuencias largas exactas, de modo que para cada objeto inyectivo I de A , R ⁱ ( I )=0 para cada i positivo , entonces estos funtores son los functores derivados derechos de R ⁰ .

Generalización

El enfoque más moderno (y más general) de los functores derivados utiliza el lenguaje de categorías derivadas .

En 1968, Quillen desarrolló la teoría de categorías modelo , que proporciona un sistema teórico de categorías abstracto de fibraciones, cofibraciones y equivalencias débiles. Normalmente, uno está interesado en la categoría de homotopía subyacente obtenida al localizar las equivalencias débiles. Una conjunción de Quillen es una conjunción entre categorías de modelo que desciende a una conjunción entre las categorías de homotopía. Por ejemplo, la categoría de espacios topológicos y la categoría de conjuntos simpliciales admiten estructuras modelo de Quillen cuyo nervio y conjunción de realización dan una conjunción de Quillen que es de hecho una equivalencia de categorías de homotopía. Los objetos particulares en una estructura modelo tienen "buenas propiedades" (relativas a la existencia de elevaciones contra morfismos particulares), los objetos "fibrantes" y "cofibrantes", y cada objeto es débilmente equivalente a una "resolución" fibrante-cofibrante.

Aunque originalmente se desarrollaron para manejar la categoría de espacios topológicos, las estructuras del modelo de Quillen aparecen en numerosos lugares de las matemáticas; en particular, la categoría de complejos de cadenas de cualquier categoría abeliana (módulos, haces de módulos en un espacio o esquema topológico , etc.) admite una estructura modelo cuyas equivalencias débiles son aquellos morfismos entre complejos de cadenas que preservan la homología. A menudo tenemos un functor entre dos de estas categorías de modelos (por ejemplo, el functor de secciones globales que envía un complejo de haces abelianos al complejo obvio de grupos abelianos) que preserva equivalencias débiles *dentro de la subcategoría de objetos “buenos” (fibrantes o cofibrantes).* Al tomar primero una resolución fibrante o cofibrante de un objeto y luego aplicar ese funtor, lo hemos extendido exitosamente a toda la categoría de tal manera que siempre se preservan las equivalencias débiles (y por lo tanto desciende a un funtor de la categoría de homotopía). Este es el "functor derivado". Los "functores derivados" de la cohomología de la gavilla, por ejemplo, son las homologías de la salida de este funtor derivado. Aplicándolos a un conjunto de grupos abelianos interpretados de manera obvia como un complejo concentrado en homología, miden el fracaso del functor de secciones globales para preservar equivalencias débiles de tales, su fracaso de “exactitud”. La teoría general de las estructuras modelo muestra la singularidad de esta construcción (que no depende de la elección de la resolución de fibrante o cofibrante, etc.)

Referencias

• Manin, Yuri Ivanovich ; Gelfand, Sergei I. (2003), Métodos de álgebra homológica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9
• Weibel, Charles A. (1994). Una introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 38. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4. SEÑOR  1269324. OCLC  36131259.