En álgebra homológica , un δ-functor entre dos categorías abelianas A y B es una colección de funtores de A a B junto con una colección de morfismos que satisfacen propiedades que generalizan las de los functores derivados . Un functor δ universal es un functor δ que satisface una propiedad universal específica relacionada con la extensión de morfismos más allá del "grado 0". Estas nociones fueron introducidas por Alexander Grothendieck en su " artículo Tohoku " para proporcionar un entorno apropiado para los functores derivados. [1] En particular, los functores derivados son functores δ universales.
Los términos functor δ homológico y functor δ cohomológico se utilizan a veces para distinguir entre el caso en el que los morfismos "bajan" ( homológico ) y el caso en el que "suben" ( cohomológico ). En particular, uno de estos modificadores siempre está implícito, aunque a menudo no se indica.
Dadas dos categorías abelianas A y B, un functor δ covariante cohomológico entre A y B es una familia { T n } de funtores aditivos covariantes T n : A → B indexados por los números enteros no negativos , y para cada secuencia corta exacta
una familia de morfismos
indexado por los números enteros no negativos que satisfacen las dos propiedades siguientes:
y para cada n no negativo , el cuadrado inducido
La segunda propiedad expresa la funtorialidad de un δ-functor. El modificador "cohomológico" indica que el δ n eleva el índice en la T . Un funtor δ homológico covariante entre A y B se define de manera similar (y generalmente usa subíndices), pero con δ n un morfismo T n ( M '') → T n-1 ( M' ). Las nociones de functor δ cohomológico contravariante entre A y B y functor δ homológico contravariante entre A y B también se pueden definir "invirtiendo las flechas" en consecuencia.
Un morfismo de δ-functores es una familia de transformaciones naturales que, para cada secuencia corta exacta, conmutan con los morfismos δ. Por ejemplo, en el caso de dos functores δ cohomológicos covariantes denotados S y T , un morfismo de S a T es una familia F n : S n → T n de transformaciones naturales tales que para cada secuencia exacta corta
el siguiente diagrama conmuta:
Un functor δ universal se caracteriza por la propiedad ( universal ) de que dar un morfismo a cualquier otro functor δ (entre A y B ) equivale a dar solo F 0 . Si S denota un functor δ covariante cohomológico entre A y B , entonces S es universal si se le da cualquier otro functor δ (cohomológico covariante) T (entre A y B ), y se le da cualquier transformación natural
hay una secuencia única F n indexada por los números enteros positivos tal que la familia { F n } n ≥ 0 es un morfismo de δ-functores.
