En geometría algebraica , la topología étale es una topología de Grothendieck en la categoría de esquemas que tiene propiedades similares a la topología euclidiana, pero a diferencia de la topología euclidiana, también se define en característica positiva. La topología étale fue introducida originalmente por Alexander Grothendieck para definir la cohomología étale , y este sigue siendo el uso más conocido de la topología étale.
Para cualquier esquema X , sea Ét( X ) la categoría de todos los morfismos étale de un esquema a X . Este es el análogo de la categoría de subconjuntos abiertos de X (es decir, la categoría cuyos objetos son variedades y cuyos morfismos son inmersiones abiertas ). Sus objetos pueden considerarse informalmente como subconjuntos abiertos étale de X . La intersección de dos objetos corresponde a su producto de fibra sobre X . Ét( X ) es una categoría grande, lo que significa que sus objetos no forman un conjunto.
Un étale presheaf en X es un functor contravariante de Ét( X ) a la categoría de conjuntos. Una prehaz F se llama gavilla étale si satisface la condición análoga de la condición de pegado habitual para gavillas en espacios topológicos. Es decir, F es una gavilla étale si y sólo si la siguiente condición es verdadera. Supongamos que U → X es un objeto de Ét( X ) y que U i → U es una familia sobreyectiva conjunta de morfismos étale sobre X . Para cada i , elija una sección x i de F sobre U i . El mapa de proyección U i × U j → U i , que en términos generales es la inclusión de la intersección de U i y U j en U i , induce un mapa de restricción F ( U i ) → F ( U i × U j ) . Si para todos i y j las restricciones de x i y x j a U i × U j son iguales, entonces debe existir una sección única x de F sobre U que se restrinja a x i para todo i .
Supongamos que X es un esquema noetheriano. Una gavilla étale abeliana F en X se llama finita localmente constante si es un functor representable que puede representarse mediante una cubierta étale de X. Se llama construible si X puede ser cubierto por una familia finita de subesquemas en cada uno de los cuales la restricción de F es finita localmente constante. Se llama torsión si F ( U ) es un grupo de torsión para todo étale cubre U de X. Las poleas finitas localmente constantes son construibles y las poleas construibles son de torsión. Cada haz de torsión es un límite inductivo filtrado de haces construibles.
Grothendieck introdujo originalmente la maquinaria de las topologías y topoi de Grothendieck para definir la topología étale. En este lenguaje, la definición de topología étale es sucinta pero abstracta: es la topología generada por la pretopología cuyas familias de cobertura son familias conjuntas sobreyectivas de morfismos étale. El pequeño sitio étale de X es la categoría O ( X ét ) cuyos objetos son esquemas U con un morfismo étale fijo U → X . Los morfismos son morfismos de esquemas compatibles con los mapas fijos de X. El gran sitio étale de X es la categoría Ét/ X , es decir, la categoría de esquemas con un mapa fijo a X , considerado con la topología étale.
La topología étale se puede definir utilizando un poco menos de datos. Primero, observe que la topología étale es más fina que la topología Zariski. En consecuencia, para definir una cobertura étale de un esquema X , basta con cubrir primero X mediante subesquemas afines abiertos, es decir, tomar una cobertura Zariski, y luego definir una cobertura étale de un esquema afín. Una cobertura étale de un esquema afín X se puede definir como una familia sobreyectiva conjunta { u α : X α → X } tal que el conjunto de todos los α es finito, cada X α es afín y cada u α es étale. Entonces una cobertura étale de X es una familia { u α : X α → X } que se convierte en una cobertura étale después de cambiar la base a cualquier subesquema afín abierto de X .
Sea X un esquema con su topología étale y fije un punto x de X . En la topología de Zariski, el tallo de X en x se calcula tomando un límite directo de las secciones de la estructura de haz sobre todas las vecindades abiertas de Zariski de x . En la topología étale, hay vecindades estrictamente más abiertas de x , por lo que el análogo correcto del anillo local en x se forma tomando el límite sobre una familia estrictamente más grande. El análogo correcto del anillo local en x para la topología étale resulta ser la henselización estricta del anillo local . [ cita requerida ] Generalmente se denota .
![{\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}({\mathcal {O}}_{X}[t,t^{-1}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6f26c126d0795eae8bc48f0e14b1eec46a934d)