complejo amitsur

En álgebra, el complejo de Amitsur es un complejo natural asociado a un homomorfismo de anillo . Fue introducido por Shimshon Amitsur  (1959). Cuando el homomorfismo es fielmente plano , el complejo de Amitsur es exacto (determinando así una resolución), lo cual es la base de la teoría del descenso fielmente plano .

La noción debería considerarse como un mecanismo para ir más allá de la localización convencional de anillos y módulos . ^[1]

Definición

Sea un homomorfismo de anillos (no necesariamente conmutativos). Primero defina el conjunto cosimplicial (donde se refiere a , no a ) de la siguiente manera. Defina los mapas de caras insertando en el lugar: ^[a] ${\displaystyle \theta :R\to S}$ ${\displaystyle C^{\bullet }=S^{\otimes \bullet +1}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes _{R}}$ ${\displaystyle \otimes _{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle d^{i}:S^{\otimes {n+1}}\to S^{\otimes n+2}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle d^{i}(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n})=x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{i-1}\otimes 1\otimes x_{i}\otimes \cdots \otimes x_{n}.}$

Defina las degeneraciones multiplicando los puntos ésimo y ésimo: ${\displaystyle s^{i}:S^{\otimes n+1}\to S^{\otimes n}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (i+1)}$

${\displaystyle s^{i}(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n})=x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{i}x_{i+1}\otimes \cdots \otimes x_{n}.}$

Satisfacen las identidades cosimpliciales "obvias" y, por tanto, son un conjunto cosimplicial. Luego determina el complejo con la aumentación , el complejo de Amitsur : ^[2] ${\displaystyle S^{\otimes \bullet +1}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle 0\to R\,{\overset {\theta }{\to }}\,S\,{\overset {\delta ^{0}}{\to }}\,S^{\otimes 2}\,{\overset {\delta ^{1}}{\to }}\,S^{\otimes 3}\to \cdots }$

dónde ${\displaystyle \delta ^{n}=\sum _{i=0}^{n+1}(-1)^{i}d^{i}.}$

Exactitud del complejo de Amitsur

Caja fielmente plana

En las notaciones anteriores, si es fielmente plano, entonces un teorema de Alexander Grothendieck establece que el complejo (aumentado) es exacto y, por tanto, es una resolución. De manera más general, si la derecha es fielmente plana, entonces, para cada módulo izquierdo , ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 0\to R{\overset {\theta }{\to }}S^{\otimes \bullet +1}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle 0\to M\to S\otimes _{R}M\to S^{\otimes 2}\otimes _{R}M\to S^{\otimes 3}\otimes _{R}M\to \cdots }$

es exacto. ^[3]

Prueba :

Paso 1 : La afirmación es verdadera si se divide como un homomorfismo de anillo. ${\displaystyle \theta :R\to S}$

Que " se divide" es decir por algún homomorfismo ( es una retracción y una sección). Dado tal , defina ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \rho \circ \theta =\operatorname {id} _{R}}$ ${\displaystyle \rho :S\to R}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle h:S^{\otimes n+1}\otimes M\to S^{\otimes n}\otimes M}$

por

${\displaystyle {\begin{aligned}&h(x_{0}\otimes m)=\rho (x_{0})\otimes m,\\&h(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n}\otimes m)=\theta (\rho (x_{0}))x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\otimes m.\end{aligned}}}$

Un cálculo sencillo muestra la siguiente identidad: con , ${\displaystyle \delta ^{-1}=\theta \otimes \operatorname {id} _{M}:M\to S\otimes _{R}M}$

${\displaystyle h\circ \delta ^{n}+\delta ^{n-1}\circ h=\operatorname {id} _{S^{\otimes n+1}\otimes M}}$.

Es decir, es un operador de homotopía y por tanto determina el mapa cero en cohomología: es decir, el complejo es exacto. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{S^{\otimes n+1}\otimes M}}$

Paso 2 : La afirmación es cierta en general.

Observamos que es una sección de . Por lo tanto, el Paso 1 aplicado al homomorfismo de anillo dividido implica: ${\displaystyle S\to T:=S\otimes _{R}S,\,x\mapsto 1\otimes x}$ ${\displaystyle T\to S,\,x\otimes y\mapsto xy}$ ${\displaystyle S\to T}$

${\displaystyle 0\to M_{S}\to T\otimes _{S}M_{S}\to T^{\otimes 2}\otimes _{S}M_{S}\to \cdots ,}$

donde , es exacto. Dado que , etc., por "fielmente plano", la secuencia original es exacta. ${\displaystyle M_{S}=S\otimes _{R}M}$ ${\displaystyle T\otimes _{S}M_{S}\simeq S^{\otimes 2}\otimes _{R}M}$ ${\displaystyle \square }$

Caso de topología de arco

Bhargav Bhatt y Peter Scholze  (2019, §8) muestran que el complejo de Amitsur es exacto si y son anillos perfectos (conmutativos) , y se requiere que el mapa sea una cobertura en la topología del arco (que es una condición más débil que ser una cobertura). en la topología plana ). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$

Notas

1. La referencia (M. Artin) parece tener un error tipográfico y esta debería ser la fórmula correcta; ver el cálculo de y en la nota. ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle d^{2}}$

Citas

1. Artin 1999, III.7
2. Artin 1999, III.6
3. Artin 1999, Teorema III.6.6

Referencias

• Artin, Michael (1999), Anillos no conmutativos (notas de conferencias de Berkeley) (PDF)
• Amitsur, Shimshon (1959), "Álgebras simples y grupos de cohomología de campos arbitrarios", Transactions of the American Mathematical Society , 90 (1): 73–112
• Bhatt, Bhargav ; Scholze, Peter (2019), Prismas y cohomología prismática , arXiv : 1905.08229
• Complejo Amitsur en el n Lab