Teorema de transición

Teorema sobre anillos y subanillos conmutativos

En álgebra, se dice que el teorema de transición se cumple entre anillos conmutativos si ^{[1] [2]} ${\displaystyle A\subset B}$

1. ${\displaystyle B}$domina ; es decir, para cada ideal propio I de A , es propio y para cada ideal máximo de B , es máximo ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle IB}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}\cap A}$
2. para cada ideal máximo e ideal primario de , es finito y además ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {length} _{B}(B/QB)}$

   ${\displaystyle \operatorname {length} _{B}(B/QB)=\operatorname {length} _{B}(B/{\mathfrak {m}}B)\operatorname {length} _{A}(A/Q).}$

Dados anillos conmutativos tales que domina y para cada ideal máximo de tal que es finito, la inclusión natural es un homomorfismo de anillo fielmente plano si y sólo si el teorema de transición se cumple entre . ^[2] ${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {length} _{B}(B/{\mathfrak {m}}B)}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A\subset B}$

Notas

1. Nagata 1975, Cap. II, § 19.
2. Matsumura 1986, Cap. 8, Ejercicio 22.1.

Referencias

• Nagata, M. (1975). Anillos locales. Tratados intercientíficos sobre matemáticas puras y aplicadas. Krieger. ISBN 978-0-88275-228-0.
• Matsumura, Hideyuki (1986). Teoría de anillos conmutativos. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6.MR  0879273.Zbl 0603.13001  .​