Esquema (matemáticas)

En matemáticas , un esquema es una estructura matemática que amplía la noción de variedad algebraica de varias maneras, como tener en cuenta las multiplicidades (las ecuaciones x = 0 y x ² = 0 definen la misma variedad algebraica pero diferentes esquemas) y permitir "variedades "definido sobre cualquier anillo conmutativo (por ejemplo, las curvas de Fermat se definen sobre los números enteros ).

La teoría de esquemas fue introducida por Alexander Grothendieck en 1960 en su tratado Éléments de géométrie algébrique ; uno de sus objetivos era desarrollar el formalismo necesario para resolver problemas profundos de geometría algebraica , como las conjeturas de Weil (la última de las cuales fue demostrada por Pierre Deligne ). ^[1] Fuertemente basada en el álgebra conmutativa , la teoría de esquemas permite un uso sistemático de métodos de topología y álgebra homológica . La teoría de esquemas también unifica la geometría algebraica con gran parte de la teoría de números , lo que finalmente condujo a la demostración por parte de Wiles del último teorema de Fermat .

Formalmente, un esquema es un espacio topológico , junto con anillos conmutativos para todos sus conjuntos abiertos , que surge de pegar espectros (espacios de ideales primos ) de anillos conmutativos a lo largo de sus subconjuntos abiertos. En otras palabras, es un espacio anillado que es localmente un espectro de un anillo conmutativo.

El punto de vista relativo es que gran parte de la geometría algebraica debería desarrollarse para un morfismo X → Y de esquemas (llamado esquema X sobre Y ), en lugar de para un esquema individual. Por ejemplo, al estudiar superficies algebraicas , puede resultar útil considerar familias de superficies algebraicas sobre cualquier esquema Y. En muchos casos, la familia de todas las variedades de un tipo determinado puede verse en sí misma como una variedad o esquema, conocido como espacio de módulos .

Para conocer algunas de las definiciones detalladas de la teoría de esquemas, consulte el glosario de teoría de esquemas .

Desarrollo

Los orígenes de la geometría algebraica se encuentran principalmente en el estudio de ecuaciones polinómicas sobre números reales . En el siglo XIX, quedó claro (notablemente en el trabajo de Jean-Victor Poncelet y Bernhard Riemann ) que la geometría algebraica se simplificaba trabajando sobre el campo de números complejos , que tiene la ventaja de ser algebraicamente cerrado . ^[2] Dos cuestiones llamaron gradualmente la atención a principios del siglo XX, motivadas por problemas de la teoría de números: ¿cómo se puede desarrollar la geometría algebraica sobre cualquier cuerpo algebraicamente cerrado, especialmente en característica positiva ? (Las herramientas de topología y análisis complejo utilizadas para estudiar variedades complejas no parecen aplicarse aquí.) ¿Y qué pasa con la geometría algebraica sobre un campo arbitrario?

Nullstellensatz de Hilbert sugiere una aproximación a la geometría algebraica sobre cualquier campo algebraicamente cerrado k : los ideales máximos en el anillo polinomial k [ x ₁ ,..., x _n ] están en correspondencia uno a uno con el conjunto k ⁿ de n - tuplas de elementos de k , y los ideales primos corresponden a los conjuntos algebraicos irreducibles en k ⁿ , conocidos como variedades afines. Motivados por estas ideas, Emmy Noether y Wolfgang Krull desarrollaron el tema del álgebra conmutativa en las décadas de 1920 y 1930. ^[3] Su trabajo generaliza la geometría algebraica en una dirección puramente algebraica: en lugar de estudiar los ideales primos en un anillo polinómico, se pueden estudiar los ideales primos en cualquier anillo conmutativo. Por ejemplo, Krull definió la dimensión de cualquier anillo conmutativo en términos de ideales primos. Al menos cuando el anillo es noetheriano , demostró muchas de las propiedades que uno desearía de la noción geométrica de dimensión.

El álgebra conmutativa de Noether y Krull puede verse como un enfoque algebraico para variedades algebraicas afines . Sin embargo, muchos argumentos en geometría algebraica funcionan mejor para variedades proyectivas , esencialmente porque las variedades proyectivas son compactas . Desde la década de 1920 hasta la de 1940, BL van der Waerden , André Weil y Oscar Zariski aplicaron el álgebra conmutativa como una nueva base para la geometría algebraica en el entorno más rico de las variedades proyectivas (o cuasiproyectivas ). ^[4] En particular, la topología de Zariski es una topología útil sobre una variedad sobre cualquier campo algebraicamente cerrado, reemplazando hasta cierto punto la topología clásica sobre una variedad compleja (basada en la topología de los números complejos).

Para aplicaciones a la teoría de números, van der Waerden y Weil formularon geometría algebraica sobre cualquier campo, no necesariamente algebraicamente cerrado. Weil fue el primero en definir una variedad abstracta (no incrustada en el espacio proyectivo ), pegando variedades afines a lo largo de subconjuntos abiertos, en el modelo de variedades en topología. Necesitaba esta generalidad para construir la variedad jacobiana de una curva sobre cualquier campo. (Más tarde, Weil, Chow y Matsusaka demostraron que los jacobianos eran variedades proyectivas ).

Los geómetras algebraicos de la escuela italiana habían utilizado a menudo el concepto algo confuso del punto genérico de una variedad algebraica. Lo que es cierto para el punto genérico lo es para "la mayoría" de los puntos de la variedad. En Foundations of Algebraic Geometry (1946) de Weil , los puntos genéricos se construyen tomando puntos en un campo algebraicamente cerrado muy grande, llamado dominio universal . ^[4] Aunque esto funcionó como base, fue incómodo: había muchos puntos genéricos diferentes para la misma variedad. (En la última teoría de esquemas, cada variedad algebraica tiene un único punto genérico).

En los años 1950, Claude Chevalley , Masayoshi Nagata y Jean-Pierre Serre , motivados en parte por las conjeturas de Weil que relacionan la teoría de números y la geometría algebraica, ampliaron aún más los objetos de la geometría algebraica, por ejemplo generalizando los anillos de base permitidos. La palabra esquema se utilizó por primera vez en el Seminario Chevalley de 1956, en el que Chevalley perseguía las ideas de Zariski. ^[5] Según Pierre Cartier , fue André Martineau quien sugirió a Serre la posibilidad de utilizar el espectro de un anillo conmutativo arbitrario como base de la geometría algebraica. ^[6]

Origen de los esquemas

Grothendieck dio luego la definición decisiva de un esquema, poniendo fin a una generación de sugerencias experimentales y desarrollos parciales. ^[7] Definió el espectro X de un anillo conmutativo R como el espacio de ideales primos de R con una topología natural (conocida como topología de Zariski), pero lo aumentó con un haz de anillos: a cada subconjunto abierto U le asignó un anillo conmutativo O _X ( U ). Estos objetos Spec( R ) son los esquemas afines; Luego se obtiene un esquema general "pegando" esquemas afines.

Gran parte de la geometría algebraica se centra en variedades proyectivas o cuasiproyectivas sobre un campo k ; de hecho, a menudo se considera que k son los números complejos. Los esquemas de ese tipo son muy especiales en comparación con los esquemas arbitrarios; compare los ejemplos siguientes. No obstante, es conveniente que Grothendieck haya desarrollado un gran cuerpo teórico para esquemas arbitrarios. Por ejemplo, es común construir primero un espacio de módulos como un esquema y sólo después estudiar si se trata de un objeto más concreto, como una variedad proyectiva. Además, las aplicaciones a la teoría de números conducen rápidamente a esquemas sobre números enteros que no están definidos en ningún campo.

Definición

Un esquema afín es un espacio localmente anillado isomorfo al espectro Spec( R ) de un anillo conmutativo R . Un esquema es un espacio localmente anillado X que _admite una cobertura por conjuntos abiertos Ui , de manera que cada Ui (como un espacio localmente _anillado ) es un esquema afín. ^[8] En particular, X viene con una gavilla O _X , que asigna a cada subconjunto abierto U un anillo conmutativo O _X ( U ) llamado anillo de funciones regulares en U . Se puede pensar que un esquema está cubierto por "gráficos de coordenadas" que son esquemas afines. La definición significa exactamente que los esquemas se obtienen pegando esquemas afines utilizando la topología de Zariski.

En los primeros días, esto se llamaba preesquema y un esquema se definía como un preesquema separado . El término prescheme ha caído en desuso, pero todavía se puede encontrar en libros más antiguos, como "Éléments de géométrie algébrique" de Grothendieck y el "Libro Rojo" de Mumford . ^[9]

Un ejemplo básico de un esquema afín es el espacio n afín sobre un campo k , para un número natural n . Por definición, A^nk
_{_}es el espectro del anillo polinómico k [ x ₁ ,..., x _n ]. En el espíritu de la teoría de esquemas, el espacio n afín puede de hecho definirse sobre cualquier anillo conmutativo R , es decir Spec( R [ x ₁ ,..., x _n ]).

La categoría de esquemas.

Los esquemas forman una categoría , con morfismos definidos como morfismos de espacios localmente anillados. ( Ver también: morfismo de esquemas .) Para un esquema Y , un esquema X sobre Y (o un esquema Y ) significa un morfismo X → Y de esquemas. Un esquema X sobre un anillo conmutativo R significa un morfismo X → Spec( R ).

Una variedad algebraica sobre un campo k se puede definir como un esquema sobre k con ciertas propiedades. Existen diferentes convenciones sobre exactamente qué esquemas deben denominarse variedades. Una opción estándar es que una variedad sobre k significa un esquema integral separado de tipo finito sobre k . ^[10]

Un morfismo f : X → Y de esquemas determina un homomorfismo de retroceso en los anillos de funciones regulares, f *: O ( Y ) → O ( X ). En el caso de esquemas afines, esta construcción proporciona una correspondencia uno a uno entre los morfismos Spec( A ) → Spec( B ) de esquemas y homomorfismos de anillo B → A. ^[11] En este sentido, la teoría de esquemas subsume completamente la teoría de anillos conmutativos.

Dado que Z es un objeto inicial en la categoría de anillos conmutativos , la categoría de esquemas tiene Spec( Z ) como objeto terminal .

Para un esquema X sobre un anillo conmutativo R , un punto R de X significa una sección del morfismo X → Spec( R ) . Se escribe X ( R ) para el conjunto de R -puntos de X . En ejemplos, esta definición reconstruye la antigua noción del conjunto de soluciones de las ecuaciones definitorias de X con valores en R. Cuando R es un campo k , X ( k ) también se llama conjunto de k - puntos racionales de X.

De manera más general, para un esquema X sobre un anillo conmutativo R y cualquier R - álgebra S conmutativa , un punto S de X significa un morfismo Spec( S ) → X sobre R . Se escribe X ( S ) para el conjunto de S -puntos de X . (Esto generaliza la antigua observación de que dadas algunas ecuaciones sobre un campo k , se puede considerar el conjunto de soluciones de las ecuaciones en cualquier extensión de campo E de k ). Para un esquema X sobre R , la asignación S ↦ X ( S ) es un funtor de R -álgebras conmutativas a conjuntos. Es una observación importante que un esquema X sobre R esté determinado por este funtor de puntos . ^[12]

La fibra producto de los esquemas siempre existe. Es decir, para cualquier esquema X y Z con morfismos en un esquema Y , el producto de fibra X × _Y Z (en el sentido de teoría de categorías ) existe en la categoría de esquemas. Si X y Z son esquemas sobre un campo k , su producto de fibra sobre Spec( k ) puede denominarse producto X × Z en la categoría de k -esquemas. Por ejemplo, el producto de espacios afines Am ^y An ^sobre k es un espacio afín ^{Am + n} sobre k .

Dado que la categoría de esquemas tiene productos de fibra y también un objeto terminal Spec( Z ), tiene todos los límites finitos .

Ejemplos

Aquí y abajo, todos los anillos considerados son conmutativos:

Cada esquema afín Spec( R ) es un esquema.
Un polinomio f sobre un campo k , $f \in k [x 1,..., x n]$ , determina un subesquema cerrado $f = 0$ en el espacio afín An ^sobre k , llamado hipersuperficie afín . Formalmente se puede definir como $\operatorname {Especificación} k[x_{1},\ldots,x_{n}]/(f).$ Por ejemplo, tomando k como números complejos, la ecuación $x 2 = y 2 (y +1)$ define una curva singular en el plano afín A²
_tazas, llamada curva cúbica nodal .
Para cualquier anillo conmutativo R y número natural n , espacio proyectivo P^norte
_rse puede construir como un esquema pegando n + 1 copias del espacio n afín sobre R a lo largo de subconjuntos abiertos. Este es el ejemplo fundamental que motiva a ir más allá de los esquemas afines. La ventaja clave del espacio proyectivo sobre el espacio afín es que P^norte
_res propio sobre R ; esta es una versión álgebro-geométrica de compacidad. Una observación relacionada es que el espacio proyectivo complejo CP ⁿ es un espacio compacto en la topología clásica (basado en la topología de C ), mientras que C ⁿ no lo es (para n > 0).
Un polinomio homogéneo f de grado positivo en el anillo polinómico $R [x 0, ..., x n]$ determina un subesquema cerrado $f = 0$ en el espacio proyectivo P ⁿ sobre R , llamado hipersuperficie proyectiva . En términos de la construcción del Proj , este subesquema se puede escribir como $\operatorname {Proj} R[x_{0},\ldots,x_{n}]/(f).$ Por ejemplo, el subesquema cerrado $x 3 + y 3 = z 3$ de P²
_Qes una curva elíptica sobre los números racionales .
La línea con dos orígenes (sobre un campo k ) es el esquema definido comenzando con dos copias de la línea afín sobre k y pegando los dos subconjuntos abiertos A ¹ − 0 mediante el mapa de identidad. Este es un ejemplo sencillo de un esquema no separado. En particular, no es afín. ^[13]
Una razón sencilla para ir más allá de los esquemas afines es que un subconjunto abierto de un esquema afín no tiene por qué ser afín. Por ejemplo, sea $X = An - 0$ , digamos sobre los números complejos C ; entonces X no es afín para n ≥ 2. (La restricción sobre n es necesaria: la línea afín menos el origen es isomorfa al esquema afín $Spec(C [x, x -1])$ . Para demostrar que X no es afín, se calcula que toda función regular en X se extiende a una función regular en An ^, cuando n ≥ 2. (Esto es análogo al lema de Hartogs en análisis complejo, aunque más fácil de probar). Es decir, la inclusión $f : X \to An$ induce un isomorfismo de $O (A n) = C [x 1, ...., x n]$ a $O (X)$ . Si X fuera afín, se seguiría que f era un isomorfismo. Pero f no es sobreyectiva y por lo tanto no es un isomorfismo. Por lo tanto, el esquema X no es afín. ^[14]
Sea k un campo. Entonces el esquema es un esquema afín cuyo espacio topológico subyacente es la compactación de Stone-Čech de los números enteros positivos (con la topología discreta). De hecho, los ideales primos de este anillo están en correspondencia uno a uno con los ultrafiltros de los números enteros positivos, correspondiendo el ideal al ultrafiltro principal asociado al entero positivo n . ^[15] Este espacio topológico es de dimensión cero y, en particular, cada punto es un componente irreductible . Dado que los esquemas afines son cuasicompactos , este es un ejemplo de un esquema cuasicompacto con infinitos componentes irreducibles. (Por el contrario, un esquema noetheriano tiene sólo un número finito de componentes irreducibles). ${\textstyle \operatorname {Especificación} \left(\prod _{n=1}^{\infty }k\right)}$ ${\textstyle \prod _{m\neq n}k}$

Ejemplos de morfismos

También es fructífero considerar ejemplos de morfismos como ejemplos de esquemas, ya que demuestran su eficacia técnica para encapsular muchos objetos de estudio en geometría algebraica y aritmética.

Superficies aritméticas

Si consideramos un polinomio entonces el esquema afín tiene un morfismo canónico y se llama superficie aritmética . Las fibras son entonces curvas algebraicas sobre campos finitos . Si es una curva elíptica, entonces las fibras sobre su lugar discriminante se generan por donde $f\in \mathbb {Z} [x,y]$ $X=\operatorname {Especificación} (\mathbb {Z} [x,y]/(f))$ $\operatorname {Especificación} \mathbb {Z}$ $X_{p}=X\times _{\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})$ $\mathbb {F} _ {p}$ $f(x,y)=y^{2}-x^{3}+ax^{2}+bx+c$ $\Delta _ {f}$

\Delta _ {f}=-4a^{3}c+a^{2}b^{2}+18abc-4b^{3}-27c^{2}

^[16]

p

X=\operatorname {Especificación} \left({\frac {\mathbb {Z} [x,y]}{(y^{2}-x^{3}-p)}}\right)

-27p^{2}

3,p

Motivación para esquemas.

A continuación se muestran algunas de las formas en que los esquemas van más allá de las nociones más antiguas de variedades algebraicas y su significado.

Extensiones de campo. Dadas algunas ecuaciones polinómicas en n variables sobre un campo k , se puede estudiar el conjunto X ( k ) de soluciones de las ecuaciones en el conjunto de productos k ⁿ . Si el campo k es algebraicamente cerrado (por ejemplo, los números complejos), entonces se puede basar la geometría algebraica en conjuntos como X ( k ): definir la topología de Zariski en X ( k ), considerar mapeos polinomiales entre diferentes conjuntos de este tipo, etcétera. Pero si k no es algebraicamente cerrado, entonces el conjunto X ( k ) no es lo suficientemente rico. De hecho, se pueden estudiar las soluciones X ( E ) de las ecuaciones dadas en cualquier extensión de campo E de k , pero estos conjuntos no están determinados por X ( k ) en ningún sentido razonable. Por ejemplo, la curva plana X sobre los números reales definidos por x ² + y ² = −1 tiene X ( R ) vacío, pero X ( C ) no está vacío. (De hecho, X ( C ) puede identificarse con C − 0.) Por el contrario, un esquema X sobre un campo k tiene suficiente información para determinar el conjunto X ( E ) de E -puntos racionales para cada campo de extensión E de k . (En particular, el subesquema cerrado de A^2R
_{_}definido por x ² + y ² = −1 es un espacio topológico no vacío).
Punto genérico. Los puntos de la recta afín A.¹
_taza, como esquema, son sus puntos complejos (uno por cada número complejo) junto con un punto genérico (cuyo cierre es el esquema completo). El punto genérico es la imagen de un morfismo natural Spec( C ( x )) → A¹
_taza, donde C ( x ) es el campo de funciones racionales en una variable. Para ver por qué es útil tener un "punto genérico" real en el esquema, considere el siguiente ejemplo.
Sea X la curva plana y ² = x ( x −1)( x −5) sobre los números complejos. Este es un subesquema cerrado de A.²
_tazas. Puede verse como una doble cubierta ramificada de la línea afín A.¹
_tazaproyectando a la coordenada x . La fibra del morfismo X → A ¹ sobre el punto genérico de A ¹ es exactamente el punto genérico de X , dando como resultado el morfismo $\operatorname {Especificación} \mathbf {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right)\to \operatorname {Especificación} \mathbf {C } (X).$ Esto a su vez equivale a la extensión de grado -2 de los campos. $\mathbf {C} (x)\subset \mathbf {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right).$ Por lo tanto, tener un punto genérico real de una variedad produce una relación geométrica entre un morfismo de grado 2 de variedades algebraicas y la extensión correspondiente de grado 2 de campos funcionales . Esto se generaliza a una relación entre el grupo fundamental (que clasifica los espacios de cobertura en topología) y el grupo de Galois (que clasifica ciertas extensiones de campo ). De hecho, la teoría de Grothendieck del grupo fundamental étale trata al grupo fundamental y al grupo de Galois en pie de igualdad.

Elementos nilpotentes . Sea X el subesquema cerrado de la recta afín A¹
_tazadefinido por x ² = 0, a veces llamado punto gordo . El anillo de funciones regulares en X es C [ x ]/( x ² ); en particular, la función regular x sobre X es nilpotente pero no cero. Para indicar el significado de este esquema: dos funciones regulares sobre la recta afín tienen la misma restricción a X si y sólo si tienen el mismo valor y primera derivada en el origen. Permitir tales esquemas no reducidos lleva las ideas del cálculo y de los infinitesimales a la geometría algebraica.
Para un ejemplo más elaborado, se pueden describir todos los subesquemas cerrados de dimensión cero de grado 2 en una variedad compleja suave Y. Tal subesquema consta de dos puntos complejos distintos de Y , o bien un subesquema isomorfo a X = Spec C [ x ]/( x ² ) como en el párrafo anterior. Los subesquemas de este último tipo están determinados por un punto complejo y de Y junto con una recta en el espacio tangente T _y Y. ^[17] Esto nuevamente indica que los subesquemas no reducidos tienen significado geométrico, relacionado con derivadas y vectores tangentes.

Gavillas coherentes

Una parte central de la teoría de esquemas es la noción de haces coherentes , generalizando la noción de haces de vectores (algebraicos) . Para un esquema X , se comienza considerando la categoría abeliana de módulos O X , que son haces de grupos abelianos en X que forman un módulo sobre el haz de funciones regulares O _X.En particular, un módulo M sobre un anillo conmutativo R determina un módulo O _X asociado ~METROen X = Especificación ( R ). Una gavilla cuasi coherente en un esquema X significa un módulo O _X que es la gavilla asociada a un módulo en cada subconjunto abierto afín de X. Finalmente, una gavilla coherente (en un esquema noetheriano X , digamos) es un módulo O _X que es la gavilla asociada a un módulo finitamente generado en cada subconjunto abierto afín de X.

Las gavillas coherentes incluyen la importante clase de haces de vectores , que son las gavillas que provienen localmente de módulos libres generados de forma finita . Un ejemplo es el paquete tangente de una variedad suave sobre un campo. Sin embargo, las gavillas coherentes son más ricas; por ejemplo, un paquete de vectores en un subesquema cerrado Y de X puede verse como un haz coherente en X que es cero fuera de Y (mediante la construcción directa de la imagen ). De esta manera, los haces coherentes en un esquema X incluyen información sobre todos los subesquemas cerrados de X. Además, la cohomología de haces tiene buenas propiedades para haces coherentes (y cuasi coherentes). La teoría resultante de la cohomología de haces coherentes es quizás la principal herramienta técnica en geometría algebraica. ^[18]^[19]

Generalizaciones

Considerado como su functor de puntos, un esquema es un funtor que es un haz de conjuntos para la topología de Zariski en la categoría de anillos conmutativos, y que, localmente en la topología de Zariski, es un esquema afín. Esto se puede generalizar de varias maneras. Una es utilizar la topología étale . Michael Artin definió un espacio algebraico como un funtor que es un haz en la topología étale y que, localmente en la topología étale, es un esquema afín. De manera equivalente, un espacio algebraico es el cociente de un esquema por una relación de equivalencia étale. Un resultado poderoso, el teorema de representabilidad de Artin, proporciona condiciones simples para que un funtor sea representado por un espacio algebraico. ^[20]

Una generalización adicional es la idea de pila . En términos generales, las pilas algebraicas generalizan espacios algebraicos al tener un grupo algebraico adjunto a cada punto, que se considera el grupo de automorfismo de ese punto. Por ejemplo, cualquier acción de un grupo algebraico G sobre una variedad algebraica X determina una pila de cocientes [ X / G ] , que recuerda los subgrupos estabilizadores para la acción de G. De manera más general, los espacios de módulos en geometría algebraica suelen verse mejor como pilas, lo que permite realizar un seguimiento de los grupos de automorfismos de los objetos que se clasifican.

Grothendieck introdujo originalmente las pilas como una herramienta para la teoría de la descendencia . En esa formulación, las pilas son (informalmente hablando) haces de categorías. ^[21] A partir de esta noción general, Artin definió la clase más estrecha de pilas algebraicas (o "pilas de Artin"), que pueden considerarse objetos geométricos. Estos incluyen pilas de Deligne-Mumford (similares a orbifolds en topología), para las cuales los grupos estabilizadores son finitos, y espacios algebraicos, para los cuales los grupos estabilizadores son triviales. El teorema de Keel-Mori dice que una pila algebraica con grupos estabilizadores finitos tiene un espacio de módulos grueso que es un espacio algebraico.

Otro tipo de generalización consiste en enriquecer la estructura del haz, acercando la geometría algebraica a la teoría de la homotopía . En este entorno, conocido como geometría algebraica derivada o "geometría algebraica espectral", el haz de estructura se reemplaza por un análogo homotópico de un haz de anillos conmutativos (por ejemplo, un haz de espectros de anillos E-infinito ). Estos haces admiten operaciones algebraicas asociativas y conmutativas sólo hasta una relación de equivalencia. Tomando el cociente por esta relación de equivalencia se obtiene la estructura del haz de un esquema ordinario. Sin embargo, no tomar el cociente conduce a una teoría que puede recordar información más alta, de la misma manera que los functores derivados en álgebra homológica producen información más alta sobre operaciones como el producto tensorial y el functor Hom en módulos.

Ver también

Citas

^ Introducción de la primera edición de " Éléments de géométrie algébrique ".
^ Dieudonné 1985, Capítulos IV y V.
^ Dieudonné 1985, apartados VII.2 y VII.5.
^ ab Dieudonné 1985, sección VII.4.
^ Chevalley, C. (1955-1956), Les schémas, Séminaire Henri Cartan, vol. 8
^ Cartier 2001, nota 29.
^ Dieudonné 1985, secciones VII.4, VIII.2, VIII.3.
^ Hartshorne 1997, sección II.2.
^ Mumford 1999, Capítulo II.
^ Proyecto Pilas, Etiqueta 020D.
^ Hartshorne 1997, Proposición II.2.3.
^ Eisenbud y Harris 1998, Proposición VI-2.
^ Hartshorne 1997, Ejemplo II.4.0.1.
^ Hartshorne 1997, Ejercicios I.3.6 y III.4.3.
^ Arapura 2011, sección 1.
^ "Curvas elípticas" (PDF) . pag. 20.
^ Eisenbud y Harris 1998, ejemplo II-10.
^ Dieudonné 1985, secciones VIII.2 y VIII.3.
^ Hartshorne 1997, Capítulo III.
^ Proyecto Stacks, etiqueta 07Y1.
^ Vistoli 2005, Definición 4.6.

Referencias

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Cartier, Pierre (2001), "Un día de trabajo loco: de Grothendieck a Connes y Kontsevich. La evolución de los conceptos de espacio y simetría", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 38 (4): 389–408, doi : 10.1090/ S0273-0979-01-00913-2 , SEÑOR 1848254
Dieudonné, Jean (1985), Historia de la geometría algebraica , Wadsworth, ISBN 978-0-534-03723-9, señor 0780183
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Mumford, David (1999). El Libro Rojo de variedades y esquemas: incluye las conferencias de Michigan (1974) sobre las curvas y sus jacobianos . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1358 (2ª ed.). Springer-Verlag. doi :10.1007/b62130. ISBN 978-3-540-63293-1. SEÑOR 1748380.
Vistoli, Angelo (2005), "Topologías de Grothendieck, categorías fibrosas y teoría del descenso", Geometría algebraica fundamental , Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 1–104, arXiv : math/0412512 , Bibcode : 2004math..... 12512V, señor 2223406

enlaces externos

David Mumford, ¿Se pueden explicar los esquemas a los biólogos?
Los autores del proyecto Stacks, El proyecto Stacks
https://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/: la sección de comentarios contiene una discusión interesante sobre la teoría de esquemas (incluidas las publicaciones de Terence Tao ).