Gavilla de módulos

Gavilla formada por módulos sobre un espacio anillado; generalizando paquetes de vectores

En matemáticas, un haz de O -módulos o simplemente un O -módulo sobre un espacio anillado ( X , O ) es un haz F tal que, para cualquier subconjunto abierto U de X , F ( U ) es un O ( U )- módulo y los mapas de restricción F ( U ) →  F ( V ) son compatibles con los mapas de restricción O ( U ) →  O ( V ): la restricción de fs es la restricción de f multiplicada por la restricción de s para cualquier f en O ( U ) y s en F ( U ).

El caso estándar es cuando X es un esquema y O su estructura. Si O es la gavilla constante , entonces una gavilla de O -módulos es lo mismo que una gavilla de grupos abelianos (es decir, una gavilla abeliana ). ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

Si X es el espectro primo de un anillo R , entonces cualquier módulo R define un módulo O _X (llamado gavilla asociada ) de forma natural. De manera similar, si R es un anillo graduado y X es el Proj de R , entonces cualquier módulo graduado define un módulo O _X de forma natural. Los módulos O que surgen de esta manera son ejemplos de haces cuasi coherentes y, de hecho, en esquemas afines o proyectivos, todos los haces cuasi coherentes se obtienen de esta manera.

Haces de módulos sobre un espacio anillado forman una categoría abeliana . ^[1] Además, esta categoría tiene suficientes inyectivos , ^[2] y, en consecuencia, se puede definir, y de hecho se define, la cohomología de la gavilla como el i - ésimo funtor derivado derecho del funtor de sección global . ^[3] ${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,-)}$ ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$

Ejemplos

• Dado un espacio anillado ( X , O ), si F es un O -submódulo de O , entonces se llama haz de ideales o haz ideal de O , ya que para cada subconjunto abierto U de X , F ( U ) es un ideal del anillo O ( U ).
• Sea X una variedad suave de dimensión n . Entonces el haz tangente de X es el dual del haz cotangente y el haz canónico es la n -ésima potencia exterior ( determinante ) de . ${\displaystyle \Omega _{X}}$ ${\displaystyle \omega _{X}}$ ${\displaystyle \Omega _{X}}$
• Un haz de álgebras es un haz de módulos que también es un haz de anillos.

Operaciones

Sea ( X , O ) un espacio anillado. Si F y G son O -módulos, entonces su producto tensorial, denotado por

${\displaystyle F\otimes _{O}G}$o , ${\displaystyle F\otimes G}$

es el módulo O que es la gavilla asociada a la gavilla previa (para ver que no se puede evitar la gavilla, calcule las secciones globales de donde O (1) es la gavilla giratoria de Serre en un espacio proyectivo). ${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes _{O(U)}G(U).}$ ${\displaystyle O(1)\otimes O(-1)=O}$

De manera similar, si F y G son O -módulos, entonces

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,G)}$

denota el módulo O que es la gavilla . ^[4] En particular, el módulo O ${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} _{O|_{U}}(F|_{U},G|_{U})}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,O)}$

se llama módulo dual de F y se denota por . Nota: para cualquier O -módulos E , F , existe un homomorfismo canónico ${\displaystyle {\check {F}}}$

${\displaystyle {\check {E}}\otimes F\to {\mathcal {H}}om_{O}(E,F)}$,

que es un isomorfismo si E es una gavilla localmente libre de rango finito. En particular, si L está localmente libre de rango uno (dicho L se llama gavilla invertible o haz de líneas ), ^[5] entonces esto se lee:

${\displaystyle {\check {L}}\otimes L\simeq O,}$

lo que implica que las clases de isomorfismo de haces invertibles forman un grupo. Este grupo se llama grupo Picard de X y se identifica canónicamente con el primer grupo de cohomología (según el argumento estándar con la cohomología de Čech ). ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})}$

Si E es una gavilla localmente libre de rango finito, entonces hay un mapa O -lineal dado por el emparejamiento; se llama mapa de trazas de E . ${\displaystyle {\check {E}}\otimes E\simeq \operatorname {End} _{O}(E)\to O}$

Para cualquier O -módulo F , el álgebra tensorial , el álgebra exterior y el álgebra simétrica de F se definen de la misma manera. Por ejemplo, la k -ésima potencia exterior

${\displaystyle \bigwedge ^{k}F}$

es la gavilla asociada a la pregavilla . Si F está localmente libre de rango n , entonces se llama paquete de líneas determinante (aunque técnicamente haz invertible ) de F , denotado por det( F ). Existe una combinación perfecta y natural: ${\textstyle U\mapsto \bigwedge _{O(U)}^{k}F(U)}$ ${\textstyle \bigwedge ^{n}F}$

${\displaystyle \bigwedge ^{r}F\otimes \bigwedge ^{n-r}F\to \det(F).}$

Sea f : ( X , O ) →( X ' , O ' ) un morfismo de espacios anillados. Si F es un módulo O , entonces el haz de imágenes directas es un módulo O ' a través del mapa natural O ' → f _* O (dicho mapa natural es parte de los datos de un morfismo de espacios anillados). ${\displaystyle f_{*}F}$

Si G es un módulo O ' , entonces la imagen inversa del módulo de G es el módulo O dado como el producto tensor de módulos: ${\displaystyle f^{*}G}$

${\displaystyle f^{-1}G\otimes _{f^{-1}O'}O}$

donde es la imagen inversa del haz de G y se obtiene por adjucción . ${\displaystyle f^{-1}G}$ ${\displaystyle f^{-1}O'\to O}$ ${\displaystyle O'\to f_{*}O}$

Existe una relación adjunta entre y : para cualquier O -módulo F y O' -módulo G , ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f^{*}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{O}(f^{*}G,F)\simeq \operatorname {Hom} _{O'}(G,f_{*}F)}$

como grupo abeliano. También existe la fórmula de proyección : para un O -módulo F y un O'- módulo E localmente libre de rango finito,

${\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)\simeq f_{*}F\otimes E.}$

Propiedades

Sea ( X , O ) un espacio anillado. Se dice que un módulo O F es generado por secciones globales si hay una sobreyección de módulos O :

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O\to F\to 0.}$

Explícitamente, esto significa que hay secciones globales s _i de F tales que las imágenes de s _i en cada tallo F _x generan F _x como módulo O _x .

Un ejemplo de tal haz es el asociado en geometría algebraica a un módulo R M , siendo R cualquier anillo conmutativo , en el espectro de un anillo Spec ( R ). Otro ejemplo: según el teorema A de Cartan , cualquier haz coherente en una variedad de Stein está abarcado por secciones globales. (cf. el teorema A de Serre más adelante.) En la teoría de esquemas , una noción relacionada es haz de líneas amplias . (Por ejemplo, si L es un paquete de líneas amplio, las secciones globales generan parte de su potencia).

Un módulo O inyectivo es flasque (es decir, todos los mapas de restricciones F ( U ) → F ( V ) son sobreyectivos). ^[6] Dado que una gavilla de flasque es acíclica en la categoría de gavillas abelianas, esto implica que la i -ésima derecha El funtor derivado del funtor de sección global en la categoría de O -módulos coincide con la cohomología habitual de la i -ésima gavilla en la categoría de gavillas abelianas. ^[7] ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$

Gavilla asociada a un módulo

Sea un módulo sobre un anillo . Pon y escribe . Para cada par , por la propiedad universal de localización, existe un mapa natural ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle D(f)=\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (A[f^{-1}])}$ ${\displaystyle D(f)\subseteq D(g)}$

${\displaystyle \rho _{g,f}:M[g^{-1}]\to M[f^{-1}]}$

teniendo la propiedad que . Entonces ${\displaystyle \rho _{g,f}=\rho _{g,h}\circ \rho _{h,f}}$

${\displaystyle D(f)\mapsto M[f^{-1}]}$

es un functor contravariante de la categoría cuyos objetos son los conjuntos D ( f ) y morfismos las inclusiones de conjuntos a la categoría de grupos abelianos . Se puede demostrar ^[8] que de hecho es una gavilla B ( es decir, que satisface el axioma de encolado) y por lo tanto define la gavilla en X llamada gavilla asociada a M. ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

El ejemplo más básico es la estructura de haz en X ; es decir, . Además, tiene la estructura de -módulo y, por lo tanto, se obtiene el funtor exacto de Mod _A , la categoría de módulos sobre A a la categoría de módulos sobre . Define una equivalencia de Mod _A a la categoría de haces cuasi coherentes en X , con el inverso , el functor de sección global . Cuando X es noetheriano , el functor es una equivalencia de la categoría de módulos A generados finitamente a la categoría de haces coherentes en X. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$ ${\displaystyle M\mapsto {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$

La construcción tiene las siguientes propiedades: para cualquier A -módulos M , N ,

• ${\displaystyle M[f^{-1}]^{\sim }={\widetilde {M}}|_{D(f)}}$. ^[9]
• Para cualquier ideal primo p de A , como O _p = A _p -módulo. ${\displaystyle {\widetilde {M}}_{p}\simeq M_{p}}$
• ${\displaystyle (M\otimes _{A}N)^{\sim }\simeq {\widetilde {M}}\otimes _{\widetilde {A}}{\widetilde {N}}}$. ^[10]
• Si M se presenta finitamente , . ^[10] ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)^{\sim }\simeq {\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})}$
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)\simeq \Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}))}$, ya que la equivalencia entre Mod _A y la categoría de haces cuasi coherentes en X .
• ${\displaystyle (\varinjlim M_{i})^{\sim }\simeq \varinjlim {\widetilde {M_{i}}}}$; ^[11] en particular, tomando una suma directa y ~ conmutando.

Gavilla asociada a un módulo graduado

Hay una analogía graduada de la construcción y equivalencia de la sección anterior. Sea R un anillo graduado generado por elementos de grado uno como R ₀ -álgebra ( R ₀ significa la pieza de grado cero) y M un módulo R graduado . Sea X el Proj de R (por lo que X es un esquema proyectivo si R es noetheriano). Entonces existe un módulo O tal que para cualquier elemento homogéneo f de grado positivo de R , existe un isomorfismo natural ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

${\displaystyle {\widetilde {M}}|_{\{f\neq 0\}}\simeq (M[f^{-1}]_{0})^{\sim }}$

como haces de módulos en el esquema afín ; ^[12] de hecho, esto se define por pegado. ${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (R[f^{-1}]_{0})}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

Ejemplo : Sea R (1) el módulo R graduado dado por R (1) _n = R _{n +1} . Entonces se llama gavilla giratoria de Serre , que es el dual del haz de líneas tautológicas si R se genera finitamente en grado uno. ${\displaystyle O(1)={\widetilde {R(1)}}}$

Si F es un módulo O en X , entonces, escribiendo , hay un homomorfismo canónico: ${\displaystyle F(n)=F\otimes O(n)}$

${\displaystyle \left(\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,F(n))\right)^{\sim }\to F,}$

que es un isomorfismo si y sólo si F es cuasi-coherente.

Computación de la cohomología de la gavilla

La cohomología de la gavilla tiene fama de ser difícil de calcular. Por esto, el siguiente hecho general es fundamental para cualquier cálculo práctico:

Teorema  :  Sea X un espacio topológico, F un haz abeliano sobre él y una cubierta abierta de X tal que para cualquier i , p y 's en . Entonces para cualquier i , ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{p}},F)=0}$ ${\displaystyle U_{i_{j}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {H} ^{i}(C^{\bullet }({\mathfrak {U}},F))}$

donde el lado derecho es la i -ésima cohomología de Čech .

El teorema de fuga de Serre ^[13] establece que si X es una variedad proyectiva y F es un haz coherente, entonces, para n suficientemente grande , el giro de Serre F ( n ) se genera mediante un número finito de secciones globales. Además,

1. Para cada i , H ⁱ ( X , F ) se genera finitamente sobre R ₀ , y
2. Hay un número entero n ₀ , dependiendo de F , tal que
   $${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F(n))=0,\,i\geq 1,n\geq n_{0}.}$$

^{[14] [15] [16]}

Extensión de gavilla

Sea ( X , O ) un espacio anillado y sean F , H haces de O -módulos en X. Una extensión de H por F es una secuencia corta y exacta de O -módulos

${\displaystyle 0\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0.}$

Al igual que con las extensiones de grupo, si fijamos F y H , entonces todas las clases de equivalencia de extensiones de H por F forman un grupo abeliano (cf. Baer suma ), que es isomorfo al grupo Ext , donde el elemento de identidad en corresponde al trivial extensión. ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$

En el caso donde H es O , tenemos: para cualquier i ≥ 0,

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {Ext} _{O}^{i}(O,F),}$

ya que ambos lados son los functores derivados derechos del mismo functor ${\displaystyle \Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} _{O}(O,-).}$

Nota : algunos autores, en particular Hartshorne, eliminan el subíndice O.

Supongamos que X es un esquema proyectivo sobre un anillo noetheriano. Sean F , G haces coherentes en X y i un número entero. Entonces existe n ₀ tal que

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {E}}xt_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n_{0}}$. ^[17]

Resoluciones locales gratuitas

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$se puede calcular fácilmente para cualquier haz coherente utilizando una resolución localmente libre: ^[18] dado un complejo ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {L}}_{2}\to {\mathcal {L}}_{1}\to {\mathcal {L}}_{0}\to {\mathcal {F}}\to 0}$

entonces

${\displaystyle {\mathcal {RHom}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})={\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}})}$

por eso

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{k}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=h^{k}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}}))}$

Ejemplos

hipersuperficie

Considere una hipersuperficie lisa de grado . Entonces podemos calcular una resolución ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}}$

y encontrar eso

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})=h^{i}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}},{\mathcal {F}}))}$

Unión de intersecciones completas lisas

Considere el esquema

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f)(g_{1},g_{2},g_{3})}}\right)\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$

donde es una intersección completa y suave y , . tenemos un complejo ${\displaystyle (f,g_{1},g_{2},g_{3})}$ ${\displaystyle \deg(f)=d}$ ${\displaystyle \deg(g_{i})=e_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2}-e_{3}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{3}\\-g_{2}\\-g_{1}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{3})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2}-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{2}&g_{3}&0\\-g_{1}&0&-g_{3}\\0&-g_{1}&g_{2}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}fg_{1}&fg_{2}&fg_{3}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}}$

resolviendo cuál podemos usar para calcular . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})}$

Ver también

• Módulo D (en lugar de O , también se puede considerar D , el haz de operadores diferenciales).
• ideal fraccionario
• paquete de vectores holomorfos
• libertad genérica

Notas

1. Vakil, Math 216: Fundamentos de la geometría algebraica, 2.5.
2. Hartshorne, cap. III, Proposición 2.2.
3. Este funtor de cohomología coincide con el funtor derivado derecho del funtor de sección global en la categoría de gavillas abelianas; cf. Hartshorne, cap. III, Proposición 2.6.
4. Hay un homomorfismo canónico:

   ${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,O)_{x}\to \operatorname {Hom} _{O_{x}}(F_{x},O_{x}),}$

   que es un isomorfismo si F es de presentación finita (EGA, Cap. 0, 5.2.6.)
5. Para gavillas coherentes, tener un tensor inverso es lo mismo que estar localmente libre de rango uno; de hecho, existe el siguiente hecho: si F es coherente, entonces F , G son localmente libres de rango uno. (cf. EGA, Capítulo 0, 5.4.3.) ${\displaystyle F\otimes G\simeq O}$
6. Hartshorne, capítulo III, lema 2.4.
7. ver también: https://math.stackexchange.com/q/447234
8. Hartshorne, cap. II, Proposición 5.1.
9. EGA I, cap. I, Proposición 1.3.6. harvnb error: no target: CITEREFEGA_I (help)
10. EGA I, cap. I, Corolario 1.3.12. harvnb error: no target: CITEREFEGA_I (help)
11. EGA I, cap. Yo, Corolario 1.3.9. harvnb error: no target: CITEREFEGA_I (help)
12. Hartshorne, cap. II, Proposición 5.11.
13. "Sección 30.2 (01X8): Cohomología de Čech de haces cuasi coherentes: el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 7 de diciembre de 2023 .
14. Costa, Miró-Roig & Pons-Llopis 2021, Teorema 1.3.1
15. "Vínculos con la cohomología de la gavilla". Cohomología local . 2012, págs. 438–479. doi :10.1017/CBO9781139044059.023. ISBN 9780521513630.
16. Serre 1955, §.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.
17. Hartshorne, cap. III, Proposición 6.9.
18. Hartshorne, Robin. Geometría Algebraica . págs. 233-235.

Referencias

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi :10.1007/bf02684778. SEÑOR  0217083.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
• Costa, Laura; Miró-Roig, Rosa María; Pons-Llopis, Joan (2021). Paquetes Ulrich. doi :10.1515/9783110647686. ISBN 9783110647686.
• "Vínculos con la cohomología de la gavilla". Cohomología local . 2012, págs. 438–479. doi :10.1017/CBO9781139044059.023. ISBN 9780521513630.
• Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents (§.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.)" (PDF) , Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi :10.2307/1969915, JSTOR  1969915, SEÑOR  0068874