En matemáticas , los haces inyectivos de grupos abelianos se utilizan para construir las resoluciones necesarias para definir la cohomología de haces (y otros funtores derivados , como el haces Ext ).
Existe un grupo adicional de conceptos relacionados aplicados a los haces : flácido ( flasque en francés), fino , blando ( mou en francés), acíclico . En la historia de la materia se introdujeron antes del " artículo Tohoku " de 1957 de Alexander Grothendieck , que mostró que la noción de categoría abeliana de objeto inyectivo era suficiente para fundar la teoría. Las otras clases de haces son nociones históricamente más antiguas. El marco abstracto para definir la cohomología y los funtores derivados no los necesita. Sin embargo, en la mayoría de las situaciones concretas, las resoluciones mediante haces acíclicos suelen ser más fáciles de construir. Por lo tanto, los haces acíclicos sirven para fines computacionales, por ejemplo, la secuencia espectral de Leray .
Un haz inyectivo es un haz que es un objeto inyectivo de la categoría de haces abelianos; en otras palabras, los homomorfismos de a siempre pueden extenderse a cualquier haz que contenga
La categoría de haces abelianos tiene suficientes objetos inyectivos: esto significa que cualquier haz es un subhaz de un haz inyectivo. Este resultado de Grothendieck se sigue de la existencia de un generador de la categoría (puede escribirse explícitamente y está relacionado con el clasificador de subobjetos ). Esto es suficiente para mostrar que existen funtores derivados por la derecha de cualquier funtor exacto por la izquierda y que son únicos salvo isomorfismo canónico.
Para fines técnicos, las haces inyectivas suelen ser superiores a las otras clases de haces mencionadas anteriormente: pueden hacer casi todo lo que las otras clases pueden hacer, y su teoría es más simple y más general. De hecho, las haces inyectivas son flácidas ( flasque ), suaves y acíclicas. Sin embargo, hay situaciones en las que las otras clases de haces se dan de forma natural, y esto es especialmente cierto en situaciones computacionales concretas.
El concepto dual, haces proyectivos , no se usa mucho, porque en una categoría general de haces no hay suficientes: no todo haz es el cociente de un haz proyectivo, y en particular no siempre existen resoluciones proyectivas. Este es el caso, por ejemplo, cuando se observa la categoría de haces en el espacio proyectivo en la topología de Zariski. Esto causa problemas cuando se intenta definir funtores derivados por la izquierda de un funtor exacto por la derecha (como Tor). Esto a veces se puede hacer por medios ad hoc: por ejemplo, los funtores derivados por la izquierda de Tor se pueden definir usando una resolución plana en lugar de una proyectiva, pero se necesita algo de trabajo para demostrar que esto es independiente de la resolución. No todas las categorías de haces se encuentran con este problema; por ejemplo, la categoría de haces en un esquema afín contiene suficientes proyectivos.
Un haz acíclico sobre X es aquel en el que todos los grupos de cohomología de haces superiores se desvanecen.
Los grupos de cohomología de cualquier haz se pueden calcular a partir de cualquier resolución acíclica del mismo (esto se conoce con el nombre de teorema de De Rham-Weil ).
Un haz fino sobre X es uno con " particiones de unidad "; más precisamente para cualquier cubierta abierta del espacio X podemos encontrar una familia de homomorfismos desde el haz hasta sí mismo con suma 1 tales que cada homomorfismo sea 0 fuera de algún elemento de la cubierta abierta.
Los haces finos se utilizan normalmente sólo sobre espacios de Hausdorff paracompactos X . Ejemplos típicos son el haz de gérmenes de funciones continuas de valor real sobre un espacio de este tipo, o funciones suaves sobre una variedad suave (Hausdorff paracompacta), o módulos sobre estos haces de anillos. Además, los haces finos sobre espacios de Hausdorff paracompactos son suaves y acíclicos.
Se puede encontrar una resolución de un haz en una variedad suave mediante haces finos utilizando la resolución de Alexander-Spanier. [1]
Como aplicación, considere una variedad real X. Existe la siguiente resolución del haz constante por los haces finos de formas diferenciales (suaves) :
Se trata de una resolución, es decir, un complejo exacto de haces por el lema de Poincaré . La cohomología de X con valores en puede calcularse así como la cohomología del complejo de formas diferenciales definidas globalmente:
Un haz suave sobre X es aquel en el que cualquier sección sobre cualquier subconjunto cerrado de X puede extenderse a una sección global.
Las haces blandas son acíclicas sobre espacios de Hausdorff paracompactos.
Un haz flasque (también llamado haz flácido ) es un haz con la siguiente propiedad: si es el espacio topológico base en el que está definido el haz y
son subconjuntos abiertos , entonces el mapa de restricción
es sobreyectiva , como un mapa de grupos ( anillos , módulos , etc.).
Los haces de Flasque son útiles porque (por definición) sus secciones se extienden. Esto significa que son algunos de los haces más simples de manejar en términos de álgebra homológica . Cualquier haz tiene una incrustación canónica en el haz de Flasque de todas las secciones posiblemente discontinuas del espacio étalé , y al repetir esto podemos encontrar una resolución de Flasque canónica para cualquier haz. Las resoluciones de Flasque , es decir, las resoluciones por medio de haces de Flasque, son un enfoque para definir la cohomología de haces .
Las haces de Flasque son suaves y acíclicas.
Flasque es una palabra francesa que a veces se ha traducido al inglés como flácido .
