paquete tautológico

En matemáticas , el paquete tautológico es un paquete vectorial que ocurre sobre un Grassmanniano de una manera tautológica natural: para un Grassmanniano de subespacios dimensionales de , dado un punto en el Grassmanniano correspondiente a un subespacio vectorial dimensional , la fibra sobre es el subespacio mismo . . En el caso del espacio proyectivo, el haz tautológico se conoce como haz de líneas tautológicas. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W\subseteq V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

El paquete tautológico también se llama paquete universal ya que cualquier paquete vectorial (sobre un espacio compacto ^[1] ) es un retroceso del paquete tautológico; es decir, un Grassmanniano es un espacio de clasificación para paquetes de vectores. Por esto, el paquete tautológico es importante en el estudio de clases características .

Los paquetes tautológicos se construyen tanto en topología algebraica como en geometría algebraica. En geometría algebraica, el haz de líneas tautológicas (como gavilla invertible ) es

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1),}$

el dual del haz hiperplano o haz giratorio de Serre . El paquete de hiperplano es el paquete de líneas correspondiente al hiperplano ( divisor ) en . El haz de líneas tautológico y el haz de hiperplano son exactamente los dos generadores del grupo Picard del espacio proyectivo. ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

En la "teoría K" de Michael Atiyah , el haz de líneas tautológico sobre un espacio proyectivo complejo se llama haz de líneas estándar . El haz de esferas del haz estándar suele denominarse haz de Hopf . (cf. generador de Bott.)

De manera más general, también hay paquetes tautológicos en un paquete proyectivo de un paquete de vectores, así como un paquete de Grassmann .

El antiguo término paquete canónico ha caído en desgracia, basándose en que canónico está muy sobrecargado tal como está, en terminología matemática, y difícilmente se podría evitar una (peor) confusión con la clase canónica en geometría algebraica .

Definición intuitiva

Los Grassmannianos por definición son los espacios de parámetros para subespacios lineales , de una dimensión determinada, en un espacio vectorial determinado . Si es un Grassmanniano y es el subespacio de correspondiente a in , estos ya son casi los datos necesarios para un paquete de vectores: es decir, un espacio vectorial para cada punto , que varía continuamente. Lo único que puede detener la definición del paquete tautológico a partir de esta indicación, es la dificultad de que van a cruzarse. Arreglar esto es una aplicación rutinaria del dispositivo de unión disjunta , de modo que la proyección del paquete provenga de un espacio total formado por copias idénticas de los , que ahora no se cruzan. Con esto ya tenemos el paquete. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{g}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V_{g}}$ ${\displaystyle V_{g}}$

Se incluye el caso del espacio proyectivo. Por convención, puede ser útil llevar el paquete tautológico en el sentido del espacio dual . Es decir, con el espacio dual, los puntos de llevan los subespacios vectoriales de que son sus núcleos, cuando se consideran (rayos de) funcionales lineales en . Si tiene dimensión , el paquete de líneas tautológicas es un paquete tautológico, y el otro, que acabamos de describir, es de rango . ${\displaystyle P(V)}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle P(V)}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$

Definicion formal

Sea el Grassmanniano de subespacios vectoriales de n dimensiones como conjunto, es el conjunto de todos los subespacios vectoriales de n dimensiones. Por ejemplo, si n = 1, es el espacio k proyectivo real . ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k};}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}.}$

Definimos el paquete tautológico γ _{n , k} de la siguiente manera. El espacio total del paquete es el conjunto de todos los pares ( V , v ) que consisten en un punto V del Grassmanniano y un vector v en V ; se le da la topología subespacial del producto cartesiano. El mapa de proyección π viene dado por π( V , v ) = V . Si F es la preimagen de V bajo π, se le da una estructura de un espacio vectorial mediante a ( V , v ) + b ( V , w ) = ( V , av + bw ). Finalmente, para ver la trivialidad local, dado un punto X en el Grassmanniano, sea U el conjunto de todos los V tal que la proyección ortogonal p sobre X mapee V isomórficamente sobre X , ^[3] y luego defina ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$ ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times \mathbb {R} ^{n+k}.}$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times X\subseteq G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times X\\\phi (V,v)=(V,p(v))\end{cases}}}$

lo cual es claramente un homeomorfismo. Por tanto, el resultado es un paquete de vectores de rango n .

La definición anterior sigue teniendo sentido si la reemplazamos con el campo complejo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Por definición, el infinito Grassmanniano es el límite directo de as Tomando el límite directo de los paquetes γ _{n , k} da el paquete tautológico γ _n de Es un paquete universal en el sentido: para cada espacio compacto X , hay una biyección natural ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$ ${\displaystyle k\to \infty .}$ ${\displaystyle G_{n}.}$

${\displaystyle {\begin{cases}[X,G_{n}]\to \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)\\f\mapsto f^{*}(\gamma _{n})\end{cases}}}$

donde a la izquierda el corchete significa clase de homotopía y a la derecha está el conjunto de clases de isomorfismo de paquetes de vectores reales de rango n . El mapa inverso se da de la siguiente manera: dado que X es compacto, cualquier paquete vectorial E es un subpaquete de un paquete trivial: para algunos k , entonces E determina un mapa ${\displaystyle E\hookrightarrow X\times \mathbb {R} ^{n+k}}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{E}:X\to G_{n}\\x\mapsto E_{x}\end{cases}}}$

único hasta la homotopía.

Observación : A su vez, se puede definir un paquete tautológico como un paquete universal; supongamos que hay una biyección natural

${\displaystyle [X,G_{n}]=\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)}$

para cualquier espacio paracompacto X . Dado que es el límite directo de los espacios compactos, es paracompacto y por lo tanto hay un paquete vectorial único que corresponde al mapa de identidad en Es precisamente el paquete tautológico y, por restricción, se obtienen los paquetes tautológicos sobre todos ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G_{n}.}$ ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k}).}$

Paquete de hiperplano

El paquete de hiperplano H en un espacio k proyectivo real se define de la siguiente manera. El espacio total de H es el conjunto de todos los pares ( L , f ) que consisten en una línea L que pasa por el origen en y f un funcional lineal en L. El mapa de proyección π viene dado por π( L , f ) = L (de modo que la fibra sobre L es el espacio vectorial dual de L .) El resto es exactamente como el paquete de líneas tautológico. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k+1}}$

En otras palabras, H es el paquete dual del paquete de líneas tautológicas.

En geometría algebraica, el paquete de hiperplano es el paquete de líneas (como gavilla invertible ) correspondiente al divisor del hiperplano.

${\displaystyle H=\mathbb {P} ^{n-1}\subset \mathbb {P} ^{n}}$

dado como, digamos, x ₀ = 0, cuando x _i son las coordenadas homogéneas . Esto se puede ver de la siguiente manera. Si D es un divisor (Weil) en uno, define el paquete de líneas correspondiente O ( D ) en X por ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n},}$

${\displaystyle \Gamma (U,O(D))=\{f\in K|(f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}}$

donde K es el campo de funciones racionales en X. Tomando D como H , tenemos:

${\displaystyle {\begin{cases}O(H)\simeq O(1)\\f\mapsto fx_{0}\end{cases}}}$

donde x ₀ se considera, como de costumbre, como una sección global de la gavilla retorcida O (1). (De hecho, el isomorfismo anterior es parte de la correspondencia habitual entre los divisores de Weil y los divisores de Cartier). Finalmente, el dual de la gavilla retorcida corresponde al haz de líneas tautológicas (ver más abajo).

Paquete de líneas tautológicas en geometría algebraica

En geometría algebraica, esta noción existe sobre cualquier campo k . La definición concreta es la siguiente. Deja y . Tenga en cuenta que tenemos: ${\displaystyle A=k[y_{0},\dots ,y_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\operatorname {Proj} A}$

${\displaystyle \mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]\right)=\mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}=\mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}{\mathbb {P} ^{n}}}$

donde Spec es Spec relativo . Ahora pon:

${\displaystyle L=\mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\dots ,x_{n}]/I\right)}$

donde I es la gavilla ideal generada por secciones globales . Entonces L es un subesquema cerrado sobre el mismo esquema base ; además, los puntos cerrados de L son exactamente aquellos ( x , y ) de tales que x es cero o la imagen de x en es y . Por tanto, L es el paquete de líneas tautológicas como se definió anteriormente si k es el cuerpo de números reales o complejos. ${\displaystyle x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}\mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

En términos más concisos, L es la ampliación del origen del espacio afín , donde el lugar geométrico x = 0 en L es el divisor excepcional . (cf. Hartshorne, Capítulo I, final del § 4.) ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}}$

En general, es el paquete de vectores algebraicos correspondiente a una gavilla E localmente libre de rango finito. ^[4] Ya que tenemos la secuencia exacta: ${\displaystyle \mathbf {Spec} (\operatorname {Sym} {\check {E}})}$

${\displaystyle 0\to I\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]{\overset {x_{i}\mapsto y_{i}}{\longrightarrow }}\operatorname {Sym} {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)\to 0,}$

el haz de líneas tautológicas L , como se definió anteriormente, corresponde al dual de la gavilla retorcida de Serre . En la práctica, ambas nociones (haz de líneas tautológicas y dual de la gavilla retorcida) se utilizan indistintamente. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)}$

Sobre un campo, su haz de líneas dual es el haz de líneas asociado al divisor del hiperplano H , cuyas secciones globales son las formas lineales . Su clase Chern es − H . Este es un ejemplo de un paquete de líneas anti-amplia . Más de esto equivale a decir que es un paquete de líneas negativas, lo que significa que menos su clase Chern es la clase de Rham de la forma estándar de Kähler. ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Hechos

• El paquete de líneas tautológicas γ _{1, k} es localmente trivial pero no trivial , para k ≥ 1. Esto sigue siendo cierto en otros campos. ^{[ cita necesaria ]}

De hecho, es sencillo demostrar que, para k = 1, el verdadero fibrado de líneas tautológicas no es otro que el conocido fibrado cuyo espacio total es la cinta de Möbius . Para una prueba completa del hecho anterior, consulte. ^[5]

• El grupo Picard de haces de líneas es cíclico infinito y el haz de líneas tautológico es un generador. ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$

• En el caso del espacio proyectivo, donde el haz tautológico es un haz de líneas , el haz de secciones invertible asociado es el tensor inverso ( es decir, el haz de vectores duales) del haz de hiperplano o haz de torsión de Serre ; en otras palabras, el paquete hiperplano es el generador del grupo Picard que tiene grado positivo (como divisor ) y el paquete tautológico es su opuesto: el generador de grado negativo. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Ver también

• paquete hopf
• Clase Stiefel-Whitney
• secuencia de Euler
• Clase Chern (las clases Chern de paquetes tautológicos son los generadores algebraicamente independientes del anillo de cohomología del infinito Grassmanniano).
• Teorema de Borel
• Espacio Thom (los espacios Thom de paquetes tautológicos γ _n cuando n →∞ se denominan espectro Thom ).
• paquete de Grassmann

Referencias

1. Sobre una base no compacta pero paracompacta, esto sigue siendo cierto siempre que se utilice Grassmanniano infinito.
2. En la literatura y los libros de texto, a ambos se les suele denominar generadores canónicos.
3. U está abierto ya que se le da una topología tal que ${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$

   ${\displaystyle {\begin{cases}G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\to \operatorname {End} (\mathbb {R} ^{n+k})\\V\mapsto p_{V}\end{cases}}}$

   donde está la proyección ortogonal sobre V , es un homeomorfismo sobre la imagen. ${\displaystyle p_{V}}$
4. Nota editorial: esta definición difiere de la de Hartshorne en que no toma dual, pero es consistente con la práctica estándar y las otras partes de Wikipedia.
5. Milnor y Stasheff 1974, §2. Teorema 2.1.

Fuentes

• Atiyah, Michael Francis (1989), K-theory , Advanced Book Classics (2ª ed.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-09394-0, señor  1043170
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica (PDF) , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, señor  1288523.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157, OCLC  13348052.
• Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974), Clases características , Annals of Mathematics Studies, vol. 76, Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, SEÑOR  0440554
• Rubei, Elena (2014), Geometría algebraica: un diccionario conciso , Berlín/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3