pila de cocientes

En geometría algebraica , una pila cociente es una pila que parametriza objetos equivariantes. Geométricamente, generaliza un cociente de un esquema o una variedad por un grupo : una variedad de cociente, por ejemplo, sería una aproximación burda de una pila de cocientes.

La noción es de fundamental importancia en el estudio de las pilas: una pila que surge en la naturaleza es a menudo una pila de cocientes en sí misma o admite una estratificación por pilas de cocientes (p. ej., una pila de Deligne-Mumford ). Una pila de cocientes también se utiliza para construir otras pilas como pilas de clasificación .

Definición

Una pila de cocientes se define de la siguiente manera. Sea G un esquema de grupo suave afín sobre un esquema S y X un esquema S sobre el que actúa G. Sea la pila de cocientes la categoría sobre la categoría de S -esquemas: ${\displaystyle [X/G]}$

• un objeto sobre T es un paquete G principal junto con un mapa equivariante ; ${\displaystyle P\to T}$ ${\displaystyle P\to X}$
• una flecha desde a es un mapa de paquetes (es decir, forma un diagrama conmutativo) que es compatible con los mapas equivariantes y . ${\displaystyle P\to T}$ ${\displaystyle P'\to T'}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle P'\to X}$

Supongamos que el cociente existe como un espacio algebraico (por ejemplo, según el teorema de Keel-Mori ). El mapa canónico ${\displaystyle X/G}$

${\displaystyle [X/G]\to X/G}$,

que envía un paquete P sobre T a un punto T correspondiente , ^[1] no necesita ser un isomorfismo de pilas; es decir, el espacio "X/G" suele ser más tosco. El mapa canónico es un isomorfismo si y solo si los estabilizadores son triviales (en cuyo caso existe). ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle X/G}$

En general, es una pila de Artin (también llamada pila algebraica). Si los estabilizadores de los puntos geométricos son finitos y reducidos, entonces se trata de una pila de Deligne-Mumford . ${\displaystyle [X/G]}$

Burt Totaro  (2004) ha demostrado: sea X una pila algebraica noetheriana normal cuyos grupos estabilizadores en puntos cerrados son afines. Entonces X es una pila de cocientes si y sólo si tiene la propiedad de resolución ; es decir, cada haz coherente es un cociente de un paquete de vectores. Anteriormente, Robert Wayne Thomason demostró que una pila de cocientes tiene la propiedad de resolución.

Ejemplos

Un cociente orbital eficaz , por ejemplo, donde la acción sólo tiene estabilizadores finitos en el espacio liso , es un ejemplo de pila de cociente. ^[2] ${\displaystyle [M/G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$

Si con la acción trivial de (a menudo es un punto), entonces se llama pila clasificadora de (en analogía con el espacio clasificador de ) y generalmente se denota por . El teorema de Borel describe el anillo de cohomología de la pila clasificadora. ${\displaystyle X=S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [S/G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$

Módulos de haces de líneas

Uno de los ejemplos básicos de pilas de cocientes proviene de la pila de módulos de paquetes de líneas over , o over para la acción trivial on . Para cualquier esquema (o -esquema) , los -puntos de la pila de módulos son el grupoide de los -paquetes principales . ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle [*/\mathbb {G} _{m}]}$ ${\displaystyle {\text{Sch}}}$ ${\displaystyle [S/\mathbb {G} _{m}]}$ ${\displaystyle {\text{Sch}}/S}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle P\to X}$

Módulos de haces de líneas con n secciones

Hay otra pila de módulos estrechamente relacionada dada por la cual es la pila de módulos de paquetes de líneas con secciones. Esto se deriva directamente de la definición de pilas de cocientes evaluadas en puntos. Para un esquema , los puntos son el grupoide cuyos objetos están dados por el conjunto ${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/\mathbb {G} _{m}]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/\mathbb {G} _{m}](X)=\left\{{\begin{matrix}P&\to &\mathbb {A} ^{n}\\\downarrow &&\\X\end{matrix}}:{\begin{aligned}&P\to \mathbb {A} ^{n}{\text{ is }}\mathbb {G} _{m}{\text{ equivariant and}}\\&P\to X{\text{ is a principal }}\mathbb {G} _{m}{\text{-bundle}}\end{aligned}}\right\}}$

El morfismo en la fila superior corresponde a las secciones del paquete de líneas asociado sobre . Esto se puede encontrar observando que al dar un mapa equivalente y restringirlo a la fibra se obtienen los mismos datos que una sección del haz. Esto se puede verificar mirando un gráfico y enviando un punto al mapa , observando que el conjunto de mapas equivalentes es isomorfo a . Esta construcción luego se globaliza pegando gráficos afines, dando una sección global del paquete. Dado que -equivariante se asigna a es equivalentemente una tupla de -equivariante se asigna a , el resultado se mantiene. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \phi :P\to \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle P|_{x}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \phi _{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle P|_{x}\to \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

Módulos de leyes formales de grupos.

Ejemplo: ^[3] Sea L el anillo de Lazard ; es decir, . Entonces el cociente se apila por , ${\displaystyle L=\pi _{*}\operatorname {MU} }$ ${\displaystyle [\operatorname {Spec} L/G]}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(R)=\{g\in R[\![t]\!]|g(t)=b_{0}t+b_{1}t^{2}+\cdots ,b_{0}\in R^{\times }\}}$,

se llama pila de módulos de leyes formales de grupos , denotado por . ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{FG}}}$

Ver también

• Cociente de homotopía
• Pila de módulos de paquetes principales (que, aproximadamente, es un producto infinito de la clasificación de pilas).
• Acción de esquema de grupo
• Módulos de curvas algebraicas.

Referencias

1. El punto T se obtiene completando el diagrama . ${\displaystyle T\leftarrow P\to X\to X/G}$
2. "Definición 1.7". Orbifolds y topología fibrosa . Tratados de Cambridge en Matemáticas. pag. 4.
3. Tomado de http://www.math.harvard.edu/~lurie/252xnotes/Lecture11.pdf

• Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969), "La irreductibilidad del espacio de curvas de un género dado", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75–109, CiteSeerX  10.1.1.589.288 , doi :10.1007/BF02684599, MR  0262240
• Totaro, Burt (2004). "La propiedad de resolución de esquemas y pilas". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 577 : 1–22. arXiv : matemáticas/0207210 . doi :10.1515/crll.2004.2004.577.1. SEÑOR  2108211.

Algunas otras referencias son

• Behrend, Kai (1991). La fórmula de traza de Lefschetz para la pila de módulos de paquetes principales (PDF) (Tesis). Universidad de California, Berkeley.
• Edidin, Dan. «Apuntes sobre la construcción del espacio de módulos de curvas» (PDF) .