Orbifold

variedad generalizada

No se me debe culpar a mí por esta terminología. Se obtuvo mediante un proceso democrático en mi curso de 1976-1977. Un orbifold es algo con muchos pliegues; Desafortunadamente, la palabra "múltiple" ya tiene una definición diferente. Probé "foldamani", que rápidamente fue desplazado por la sugerencia de "multifolded". Después de dos meses de decir pacientemente "no, no un múltiple, un múltiple muerto ", realizamos una votación y ganó "orbifold".

Thurston (1978-1981, p. 300, sección 13.2) explica el origen de la palabra "orbifold"

Ejemplo de Orbifold de 23 estrellas

En las disciplinas matemáticas de topología y geometría , un orbifold (para "órbita múltiple") es una generalización de una variedad . En términos generales, un orbifold es un espacio topológico que es localmente un cociente de grupo finito de un espacio euclidiano .

Se han dado definiciones de orbifold varias veces: por Ichirō Satake en el contexto de formas automórficas en la década de 1950 bajo el nombre V-manifold ; ^[1] por William Thurston en el contexto de la geometría de 3 variedades en la década de 1970 ^[2] cuando acuñó el nombre orbifold , después de una votación de sus alumnos; y por André Haefliger en la década de 1980 en el contexto del programa de Mikhail Gromov sobre espacios CAT(k) bajo el nombre de orbiedro . ^[3]

Históricamente, los orbifolds surgieron primero como superficies con puntos singulares mucho antes de que fueran definidos formalmente. ^[4] Uno de los primeros ejemplos clásicos surgió en la teoría de las formas modulares ^[5] con la acción del grupo modular en el semiplano superior : una versión del teorema de Riemann-Roch se cumple después de que el cociente se compacta mediante la suma de dos puntos de las cúspides orbitales. En la teoría de 3 variedades , la teoría de los espacios de fibras de Seifert , iniciada por Herbert Seifert , puede expresarse en términos de orbifolds bidimensionales. ^[6] En la teoría de grupos geométricos , post-Gromov, los grupos discretos se han estudiado en términos de las propiedades de curvatura local de los orbiedros y sus espacios de cobertura. ^[7] ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$

En teoría de cuerdas , la palabra "orbifold" tiene un significado ligeramente diferente, ^[8] que se analiza en detalle a continuación. En teoría de campos conforme bidimensional , se refiere a la teoría adjunta a la subálgebra de punto fijo de un álgebra de vértices bajo la acción de un grupo finito de automorfismos .

El principal ejemplo de espacio subyacente es un espacio cociente de una variedad bajo la acción propiamente discontinua de un grupo posiblemente infinito de difeomorfismos con subgrupos de isotropía finitos . ^[9] En particular, esto se aplica a cualquier acción de un grupo finito ; así una variedad con límite lleva una estructura orbifold natural, ya que es el cociente de su doble por una acción de . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Un espacio topológico puede contener diferentes estructuras orbitales. Por ejemplo, considere el orbifold O asociado con un espacio cociente de la 2 esferas a lo largo de una rotación de ; es homeomorfo a las 2 esferas, pero la estructura orbital natural es diferente. Es posible adoptar la mayoría de las características de las variedades a las orbitales y estas características suelen ser diferentes de las características correspondientes del espacio subyacente. En el ejemplo anterior, el grupo fundamental orbifold de O es y su característica de Euler orbifold es 1. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Definiciones formales

Definición utilizando el atlas orbifold

Al igual que una variedad, una órbita está especificada por las condiciones locales; sin embargo, en lugar de modelarse localmente en subconjuntos abiertos de , un orbifold se modela localmente en cocientes de subconjuntos abiertos de mediante acciones de grupos finitos. La estructura de un orbifold codifica no solo la del espacio cociente subyacente, que no necesita ser una variedad, sino también la de los subgrupos de isotropía . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Un orbifold -dimensional es un espacio topológico de Hausdorff , llamado espacio subyacente , cubierto por una colección de conjuntos abiertos , cerrados bajo una intersección finita. Para cada uno hay ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$

• un subconjunto abierto de , invariante bajo una acción lineal fiel de un grupo finito ; ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma _{i}}$
• un mapa continuo de sobre invariante bajo , llamado gráfico orbifold , que define un homeomorfismo entre y . ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ${\displaystyle V_{i}/\Gamma _{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$

La colección de cartas orbifold se denomina atlas orbifold si se cumplen las siguientes propiedades:

• para cada inclusión existe un homomorfismo de grupo inyectivo . ${\displaystyle U_{i}\subset U_{j}}$ ${\displaystyle f_{ij}:\Gamma _{i}\rightarrow \Gamma _{j}}$
• para cada inclusión existe un homeomorfismo equivalente , llamado mapa de pegado , de sobre un subconjunto abierto de . ${\displaystyle U_{i}\subset U_{j}}$ ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ${\displaystyle \psi _{ij}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V_{j}}$
• los mapas de pegado son compatibles con las cartas, es decir . ${\displaystyle \varphi _{j}\circ \psi _{ij}=\varphi _{i}}$
• Los mapas de pegado son únicos hasta la composición con elementos de grupo, es decir, cualquier otro posible mapa de pegado de a tiene la forma de un único . ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V_{j}}$ ${\displaystyle g\circ \psi _{ij}}$ ${\displaystyle g\in \Gamma _{j}}$

En cuanto a los atlas sobre variedades , dos atlas orbifold son equivalentes si se pueden combinar consistentemente para dar un atlas orbifold más grande. Una estructura orbifold es, por tanto, una clase de equivalencia de atlas orbifold. ${\displaystyle X}$

Tenga en cuenta que la estructura orbifold determina el subgrupo de isotropía de cualquier punto del orbifold hasta el isomorfismo: se puede calcular como el estabilizador del punto en cualquier gráfico orbifold. Si U _i U _j U _k , entonces hay un elemento de transición único g _ijk en Γ _k tal que ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \subset }$

g _ijk · ψ _ik = ψ _jk · ψ _ij

Estos elementos de transición satisfacen

(Ad g _ijk )· f _ik = f _jk · f _ij

así como la relación cociclo (garantizando la asociatividad)

f _km ( g _ijk )· g _ikm = g _ijm · g _jkm .

De manera más general, unidos a una cubierta abierta de un orbifold por orbifold charts, se encuentran los datos combinatorios de un llamado complejo de grupos (ver más abajo).

Exactamente como en el caso de las variedades, se pueden imponer condiciones de diferenciabilidad en los mapas de pegado para dar una definición de un orbifold diferenciable . Será un orbifold riemanniano si además hay métricas riemannianas invariantes en las cartas orbifold y los mapas de pegado son isometrías .

Definición usando grupoides de Lie

Recuerde que un grupoide consta de un conjunto de objetos , un conjunto de flechas y mapas estructurales que incluyen los mapas de origen y de destino y otros mapas que permiten componer e invertir las flechas. Se llama grupoide de Lie si ambos y son variedades suaves, todos los mapas estructurales son suaves y tanto el mapa de origen como el de destino son inmersiones. La intersección de la fibra fuente y objetivo en un punto dado , es decir, el conjunto , es el grupo de Lie llamado grupo de isotropía de at . Un grupoide de Lie se llama apropiado si el mapa es un mapa adecuado , y étale si tanto el mapa de origen como el de destino son difeomorfismos locales . ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle s,t:G_{1}\to G_{0}}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle x\in G_{0}}$ ${\displaystyle (G_{1})_{x}:=s^{-1}(x)\cap t^{-1}(x)}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (s,t):G_{1}\to G_{0}\times G_{0}}$

Un grupoide orbifold viene dado por una de las siguientes definiciones equivalentes:

• un grupoide étale Lie adecuado;
• un grupoide de Lie adecuado cuyas isotropías son espacios discretos .

Dado que los grupos de isotropía de grupoides adecuados son automáticamente compactos , la condición de discreción implica que las isotropías deben ser en realidad grupos finitos . ^[10]

Los grupoides orbifold desempeñan el mismo papel que los atlas orbifold en la definición anterior. De hecho, una estructura orbifold en un espacio topológico de Hausdorff se define como la clase de equivalencia de Morita de un grupoide orbifold junto con un homeomorfismo , donde está el espacio orbital del grupoide de Lie (es decir, el cociente de por la relación equivalente cuando si hay un con y ). Esta definición muestra que los orbifolds son un tipo particular de pila diferenciable . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle |M/G|\simeq X}$ ${\displaystyle |M/G|}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle s(g)=x}$ ${\displaystyle t(g)=y}$

Relación entre las dos definiciones

Dado un atlas orbifold en un espacio , se puede construir un pseudogrupo formado por todos los difeomorfismos entre conjuntos abiertos de los cuales se conservan las funciones de transición . A su vez, el espacio de gérmenes de sus elementos es un grupoide orbital. Además, dado que, por definición de atlas orbifold, cada grupo finito actúa fielmente sobre , el grupoide es automáticamente efectivo, es decir, el mapa es inyectivo para cada . Dos atlas orbifold diferentes dan lugar a la misma estructura orbifold si y sólo si sus grupoides orbifold asociados son equivalentes a Morita. Por lo tanto, cualquier estructura orbifold según la primera definición (también llamada orbifold clásica ) es un tipo especial de estructura orbifold según la segunda definición. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle G_{X}}$ ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle G_{X}}$ ${\displaystyle g\in (G_{X})_{x}\mapsto \mathrm {germ} _{x}(t\circ s^{-1})}$ ${\displaystyle x\in X}$

Por el contrario, dado un grupoide orbifold , hay un atlas orbifold canónico sobre su espacio orbital, cuyo grupoide orbifold efectivo asociado es equivalente a Morita . Dado que los espacios orbitales de los grupoides equivalentes de Morita son homeomórficos, una estructura orbifold según la segunda definición reduce una estructura orbifold según la primera definición en el caso efectivo. ^[11] ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$

En consecuencia, si bien la noción de atlas orbifold es más simple y está más comúnmente presente en la literatura, la noción de grupoide orbifold es particularmente útil cuando se analizan orbifolds no efectivos y mapas entre orbifolds. Por ejemplo, un mapa entre orbifolds puede describirse mediante un homomorfismo entre grupoides, que transporta más información que el mapa continuo subyacente entre los espacios topológicos subyacentes.

Ejemplos

• Cualquier variedad sin límite es trivialmente una orbifold, donde cada uno de los grupos Γ _i es el grupo trivial . De manera equivalente, corresponde a la clase de equivalencia de Morita del grupoide unitario.
• Si N es una variedad compacta con límite , su doble M se puede formar pegando una copia de N y su imagen especular a lo largo de su límite común. Hay una acción de reflexión natural de Z ₂ sobre el colector M que fija el límite común; el espacio cociente se puede identificar con N , de modo que N tiene una estructura orbital natural.
• Si M es una variedad n de Riemann con una acción isométrica propia cocompacta de un grupo discreto Γ, entonces el espacio orbital X = M /Γ tiene una estructura orbifold natural: para cada x en X, tome un m representativo en M y una vecindad abierta V _m de m invariante bajo el estabilizador Γ _m , identificado equivariantemente con un Γ _m -subconjunto de T _m M bajo el mapa exponencial en m ; un número finito de vecindades cubren X y cada una de sus intersecciones finitas, si no está vacía, está cubierta por una intersección de Γ-se traduce g _m · V _m con el grupo correspondiente g _m Γ g _m ⁻¹ . Los orbifolds que surgen de esta forma se denominan desarrollables o buenos .
• Un teorema clásico de Henri Poincaré construye los grupos fucsianos como grupos de reflexión hiperbólicos generados por reflexiones en los bordes de un triángulo geodésico en el plano hiperbólico para la métrica de Poincaré . Si el triángulo tiene ángulos π / n _i para enteros positivos n _i , el triángulo es un dominio fundamental y, naturalmente, un orbifold bidimensional. El grupo correspondiente es un ejemplo de grupo de triángulos hiperbólicos . Poincaré también dio una versión tridimensional de este resultado para grupos kleinianos : en este caso el grupo kleiniano Γ se genera por reflexiones hiperbólicas y el orbifold es H ³ / Γ.
• Si M es una variedad cerrada de 2, se pueden definir nuevas estructuras orbifold en M i eliminando un número finito de discos cerrados disjuntos de M y pegando copias de los discos D / Γ _i donde D es el disco unitario cerrado y Γ _i es un finito grupo cíclico de rotaciones. Esto generaliza la construcción de Poincaré.

Grupo fundamental Orbifold

Hay varias formas de definir el grupo fundamental orbifold . Enfoques más sofisticados utilizan espacios de cobertura orbifold o espacios de clasificación de grupoides . El enfoque más simple (adoptado por Haefliger y conocido también por Thurston) amplía la noción habitual de bucle utilizada en la definición estándar del grupo fundamental .

Una ruta orbifold es una ruta en el espacio subyacente provista de una elevación explícita por partes de segmentos de ruta para gráficos orbifold y elementos de grupo explícitos que identifican rutas en gráficos superpuestos; si la ruta subyacente es un bucle, se denomina bucle orbifold . Se identifican dos caminos orbifold si están relacionados mediante la multiplicación por elementos de grupo en cartas orbifold. El grupo fundamental orbifold es el grupo formado por clases de homotopía de bucles orbifold.

Si el orbifold surge como el cociente de una variedad simplemente conectada M por una acción rígida adecuada de un grupo discreto Γ, el grupo fundamental orbifold se puede identificar con Γ. En general es una extensión de Γ por π ₁ M .

Se dice que el orbifold es desarrollable o bueno si surge como cociente de una acción grupal; de lo contrario se llama malo . Se puede construir un orbifold de cobertura universal para un orbifold por analogía directa con la construcción del espacio de cobertura universal de un espacio topológico, es decir, como el espacio de pares que consisten en puntos de las clases de orbifold y homotopía de caminos orbifold que los unen al punto base. Este espacio es naturalmente un orbital.

Tenga en cuenta que si una carta orbital en un subconjunto abierto contráctil corresponde a un grupo Γ, entonces existe un homomorfismo local natural de Γ en el grupo fundamental orbital.

De hecho las siguientes condiciones son equivalentes:

• El orbifold es desarrollable.
• La estructura orbifold del orbifold de cobertura universal es trivial.
• Todos los homomorfismos locales son inyectivos para una cobertura por conjuntos abiertos contráctiles.

Orbifolds como difeologías

Los orbifolds se pueden definir en el marco general de la difeología ^[12] y se ha demostrado que son equivalentes ^[13] a la definición original de Ichirô Satake : ^[1]

Definición: Un orbifold es un espacio difeológico localmente difeomorfo en cada punto hasta algún punto , donde es un número entero y es un grupo lineal finito que puede cambiar de un punto a otro. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$

Esta definición requiere algunas observaciones:

• Esta definición imita la definición de variedad en difeología, que es un espacio difeológico localmente difeomorfo en cada punto . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Un orbifold se considera en primer lugar como un espacio difeológico, un conjunto dotado de una difeología. Luego, se prueba que la difeología es localmente difeomorfa en cada punto de un cociente con un grupo lineal finito. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/G}$ ${\displaystyle G}$
• Esta definición es equivalente ^[14] a los orbifolds de Haefliger. ^[15]
• {Orbifolds} crea una subcategoría de la categoría {Diffeology} cuyos objetos son espacios difeológicos y mapas suaves de morfismos. Un mapa fluido entre orbifolds es cualquier mapa que sea fluido para sus difeologías. Esto resuelve, en el contexto de la definición de Satake, su observación: ^[16] " La noción de -map así definida es inconveniente en el sentido de que un compuesto de dos -map definido en una elección diferente de definición de familias no siempre es un -map". " ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ De hecho, existen mapas fluidos entre orbifolds que no se elevan localmente como mapas equivariantes. ^[17]

Tenga en cuenta que el grupo fundamental de un orbifold como espacio difeológico no es el mismo que el grupo fundamental definido anteriormente. Este último está relacionado con la estructura grupoide ^[18] y sus grupos de isotropía.

Orbiespacios

Para aplicaciones en teoría geométrica de grupos , suele ser conveniente tener una noción un poco más general de orbifold, debido a Haefliger. Un orbiespacio es para los espacios topológicos lo que un orbifold es para las variedades. Un orbiespacio es una generalización topológica del concepto de orbifold. Se define reemplazando el modelo de las cartas orbifold por un espacio localmente compacto con una acción rígida de un grupo finito, es decir, uno para el cual los puntos con isotropía trivial son densos. (Esta condición se satisface automáticamente mediante acciones lineales fieles, porque los puntos fijados por cualquier elemento de grupo no trivial forman un subespacio lineal adecuado ). También es útil considerar estructuras espaciales métricas en un orbiespacio, dadas por métricas invariantes en las cartas orbiespaciales. para lo cual los mapas de pegado preservan la distancia. En este caso, generalmente se requiere que cada carta orbiespacial sea un espacio de longitud con geodésicas únicas que conecten dos puntos cualesquiera.

Sea X un orbiespacio dotado de una estructura espacial métrica para la cual las cartas son espacios de longitud geodésica. Las definiciones y resultados anteriores para orbifolds se pueden generalizar para dar definiciones de grupo fundamental orbiespacial y orbiespacio de cobertura universal , con criterios análogos de desarrollabilidad. Las funciones de distancia en las cartas orbiespaciales se pueden utilizar para definir la longitud de una trayectoria orbiespacial en el orbiespacio de cobertura universal. Si la función de distancia en cada gráfico no tiene una curva positiva , entonces el argumento de acortamiento de la curva de Birkhoff se puede utilizar para demostrar que cualquier camino orbiespacial con puntos finales fijos es homotópico de una geodésica única. Aplicando esto a trayectorias constantes en una carta orbiespacial, se deduce que cada homomorfismo local es inyectivo y por lo tanto:

• Todo orbiespacio con curvatura no positiva es desarrollable (es decir, bueno ).

Complejos de grupos

Cada orbifold tiene asociada una estructura combinatoria adicional dada por un complejo de grupos .

Definición

Un complejo de grupos ( Y , f , g ) en un complejo simplicial abstracto Y viene dado por

• un grupo finito Γ _σ para cada simplex σ de Y
• un homomorfismo inyectivo f _στ  : Γ _τ Γ _σ siempre que σ τ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \subset }$
• para cada inclusión ρ σ τ, un elemento de grupo g _ρστ en Γ _ρ tal que (Ad g _ρστ )· f _ρτ = f _ρσ · f _στ (aquí Ad denota la acción adjunta por conjugación) ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \subset }$

Los elementos del grupo deben además cumplir la condición de cociclo.

f _{π ρ} ( g _ρστ ) g _πρτ = g _{π στ} g _{π ρσ}

para cada cadena de simples (Esta condición es vacía si Y tiene dimensión 2 o menos). ${\displaystyle \pi \subset \rho \subset \sigma \subset \tau .}$

Cualquier elección de elementos h _στ en Γ _σ produce un complejo equivalente de grupos definiendo

• f' _στ = (Ad h _στ )· f _στ
• g' _ρστ = h _ρσ · f _ρσ ( h _στ )· g _ρστ · h _ρτ ⁻¹

Un complejo de grupos se llama simple siempre que g _ρστ = 1 en todas partes.

• Un argumento inductivo sencillo muestra que todo complejo de grupos en un simplex es equivalente a un complejo de grupos con g _ρστ = 1 en todas partes.

A menudo es más conveniente y conceptualmente atractivo pasar a la subdivisión baricéntrica de Y. Los vértices de esta subdivisión corresponden a los simples de Y , de modo que cada vértice tiene un grupo adjunto. Los bordes de la subdivisión baricéntrica están orientados naturalmente (correspondientes a inclusiones de simples) y cada borde dirigido da una inclusión de grupos. Cada triángulo tiene un elemento de transición adjunto que pertenece al grupo de exactamente un vértice; y los tetraedros, si los hay, dan relaciones de ciclo para los elementos de transición. Así, un complejo de grupos implica sólo el esqueleto 3 de la subdivisión baricéntrica; y sólo el 2-esqueleto si es simple.

Ejemplo

Si X es un orbifold (u orbiespacio), elija una cobertura por subconjuntos abiertos de entre las cartas orbifold f _i : V _i U _i . Sea Y el complejo simplicial abstracto dado por el nervio de la cubierta : sus vértices son los conjuntos de la cubierta y sus n -símplices corresponden a intersecciones no vacías U _α = U _{i 1} ··· U _{i n} . Para cada simplex hay un grupo asociado Γ _α y los homomorfismos f _ij se convierten en homomorfismos f _στ . Por cada triple ρ σ τ correspondiente a intersecciones ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \subset }$

${\displaystyle U_{i}\supset U_{i}\cap U_{j}\supset U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$

hay gráficos φ _i  : V _i U _i , φ _ij  : V _ij U _i U _j y φ _ijk  : V _ijk U _i U _j U _k y mapas de pegado ψ : V _ij V _i , ψ' : V _ijk V _ij y ψ" : V _ijk V _i . ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$

Hay un elemento de transición único g _ρστ en Γ _i tal que g _ρστ · ψ " = ψ · ψ ′ . Las relaciones satisfechas por los elementos de transición de un orbifold implican las requeridas para un complejo de grupos. De esta manera, un complejo de grupos puede asociarse canónicamente al nervio de una cubierta abierta mediante cartas orbifold (u orbiespaciales). En el lenguaje de la teoría de gavillas no conmutativas y de gerbes , el complejo de grupos en este caso surge como un haz de grupos asociados a la cubierta U _i. ; los datos g _{ρστ son un 2-cociclo en} cohomología de gavilla no conmutativa y los datos h _στ dan una perturbación de 2 colímites.

Grupo de ruta de borde

El grupo de caminos de bordes de un complejo de grupos se puede definir como una generalización natural del grupo de caminos de bordes de un complejo simplicial. En la subdivisión baricéntrica de Y , tomar generadores e _ij correspondientes a aristas de i a j donde i j , de modo que haya una inyección ψ _ij  : Γ _i Γ _j . Sea Γ el grupo generado por e _ij y Γ _k con relaciones ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$

mi _ij ⁻¹ · gramo · mi _ij = ψ _ij ( gramo )

para g en Γ _i y

e _ik = e _jk · e _ij · g _ijk

si j k .​ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$

Para un vértice fijo i ₀ , el grupo de trayectoria de borde Γ( i ₀ ) se define como el subgrupo de Γ generado por todos los productos

g ₀ · e _{i 0 i 1} · g ₁ · e _{i 1 i 2} · ··· · g _n · e _{i n i 0}

donde i ₀ , i ₁ , ..., i _n , i ₀ es una ruta de borde, g _k se encuentra en Γ _{i k} y e _ji = e _ij ⁻¹ si i j . ${\displaystyle \rightarrow }$

Complejos desarrollables

Una acción propia simplicial de un grupo discreto Γ sobre un complejo simplicial X con cociente finito se dice que es regular si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes: ^[9]

• X admite un subcomplejo finito como dominio fundamental ;
• el cociente Y = X /Γ tiene una estructura simplicial natural;
• la estructura simplicial del cociente en los representantes de órbitas de los vértices es consistente;
• si ( v ₀ , ..., v _k ) y ( g ₀ · v ₀ , ..., g _k · v _k ) son simples, entonces g · v _i = g _i · v _i para algún g en Γ.

El dominio fundamental y el cociente Y = X / Γ pueden identificarse naturalmente como complejos simpliciales en este caso, dados por los estabilizadores de los simples en el dominio fundamental. Se dice que un complejo de grupos Y es desarrollable si surge de esta forma.

• Un complejo de grupos es desarrollable si y sólo si los homomorfismos de Γ _σ en el grupo de camino de borde son inyectivos.
• Un complejo de grupos es desarrollable si y sólo si para cada simplex σ hay un homomorfismo inyectivo θ _σ de Γ _σ en un grupo discreto fijo Γ tal que θ _τ · f _στ = θ _σ . En este caso, el complejo simplicial X se define canónicamente: tiene k -símplices (σ, xΓ _σ ) donde σ es un k -simplex de Y y x pasa por Γ / Γ _σ . La coherencia se puede comprobar utilizando el hecho de que la restricción del complejo de grupos a un simplex es equivalente a una con cociclo trivial g _ρστ .

La acción de Γ sobre la subdivisión baricéntrica X ' de X siempre satisface la siguiente condición, más débil que la regularidad:

• siempre que σ y g ·σ sean subsímplices de algún simplex τ, son iguales, es decir, σ = g ·σ

De hecho, los símplices en X ' corresponden a cadenas de símplices en X , de modo que un subsímplice, dado por subcadenas de símplices, está determinado únicamente por los tamaños de los símplices en la subcadena. Cuando una acción satisface esta condición, entonces g necesariamente fija todos los vértices de σ. Un argumento inductivo sencillo muestra que tal acción se vuelve regular en la subdivisión baricéntrica; En particular

• la acción sobre la segunda subdivisión baricéntrica X " es regular;
• Γ es naturalmente isomorfo al grupo de trayectorias de bordes definido utilizando trayectorias de bordes y estabilizadores de vértices para la subdivisión baricéntrica del dominio fundamental en X ".

De hecho, no es necesario pasar a una tercera subdivisión baricéntrica: como observa Haefliger utilizando el lenguaje de la teoría de categorías , en este caso el esqueleto tridimensional del dominio fundamental de X "ya contiene todos los datos necesarios, incluidos los elementos de transición para triángulos". – definir un grupo de trayectorias de bordes isomorfo a Γ.

En dos dimensiones esto es particularmente sencillo de describir. El dominio fundamental de X " tiene la misma estructura que la subdivisión baricéntrica Y ' de un complejo de grupos Y , a saber:

• un complejo simplicial bidimensional finito Z ;
• una orientación para todos los bordes i j ; ${\displaystyle \rightarrow }$
• si i j y j k son aristas, entonces i k es una arista y ( i , j , k ) es un triángulo; ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$
• grupos finitos unidos a vértices, inclusiones a aristas y elementos de transición, que describen compatibilidad, a triángulos.

Luego se puede definir un grupo de rutas de borde. La subdivisión baricéntrica Z ' hereda una estructura similar y su grupo de trayectoria de borde es isomorfo al de Z.

Orbiedros

Si un grupo discreto contable actúa mediante una acción propia simplicial regular sobre un complejo simplicial , al cociente se le puede dar no sólo la estructura de un complejo de grupos, sino también la de un orbiespacio. Esto lleva de manera más general a la definición de "orbiedro", el análogo simple de un orbifold.

Definición

Sea X un complejo simplicial finito con subdivisión baricéntrica X '. Una estructura de orbiedro consta de:

• para cada vértice i de X ', un complejo simplicial L _i ' dotado de una acción simplicial rígida de un grupo finito Γ _i .
• un mapa simplicial φ _i de Li _' sobre el enlace Li _de i en X ' , identificando el cociente Li _' / Γ _i con Li _.

Esta acción de Γ _i sobre Li _' se extiende a una acción simplicial sobre el cono simplicial C _i sobre Li _' (la unión simplicial de i y Li _' ), fijando el centro i del cono. El mapa φ _i se extiende a un mapa simplicial de C _i sobre la estrella St( i ) de i , llevando el centro a i ; así φ _i identifica C _i / Γ _i , el cociente de la estrella de i en C _i , con St ( i ) y da un gráfico de orbiedro en i .

• para cada borde dirigido i j de X ', un homomorfismo inyectivo f _ij de Γ _i en Γ _j . ${\displaystyle \rightarrow }$
• para cada borde dirigido i j , un mapa de pegado simplicial equivariante Γ _i ψ _ij de C _i en C _j . ${\displaystyle \rightarrow }$
• los mapas de pegado son compatibles con las cartas, es decir φ _j ·ψ _ij = φ _i .
• los mapas de pegado son únicos hasta la composición con elementos de grupo, es decir, cualquier otro mapa de pegado posible de _{Vi a} Vj tiene la forma g ·ψ _ij para un g único en Γ _j .

Si i j k , entonces hay un elemento de transición único g _ijk en Γ _k tal que ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$

g _ijk ·ψ _ik = ψ _jk ·ψ _ij

Estos elementos de transición satisfacen

(Ad g _ijk )· f _ik = f _jk · f _ij

así como la relación cociclo

ψ _km ( g _ijk ) · g _ikm = g _ijm · g _jkm .

Propiedades principales

• Los datos teóricos de grupos de un orbiedro dan un complejo de grupos en X , porque los vértices i de la subdivisión baricéntrica X ' corresponden a los simples en X.
• Cada complejo de grupos en X está asociado con una estructura de orbiedro esencialmente única en X. Este hecho clave se desprende al señalar que la estrella y el enlace de un vértice i de X ', correspondiente a un simplex σ de X , tienen descomposiciones naturales: la estrella es isomorfa al complejo simplicial abstracto dado por la unión de σ y la subdivisión baricéntrica σ' de σ; y el enlace es isomorfo a la unión del enlace de σ en X y el enlace del baricentro de σ en σ'. Restringiendo el complejo de grupos al enlace de σ en X , todos los grupos Γ _τ vienen con homomorfismos inyectivos en Γ _σ . Dado que el enlace de i en X ' está canónicamente cubierto por un complejo simplicial sobre el cual actúa Γ σ _, esto define una estructura orbiedro en X.
• El grupo fundamental del orbiedro es (tautológicamente) sólo el grupo de trayectoria de borde del complejo de grupos asociado.
• Todo orbiedro es también naturalmente un orbiespacio: de hecho, en la realización geométrica del complejo simplicial, las cartas orbiespaciales pueden definirse utilizando el interior de las estrellas.
• El grupo fundamental del orbiedro se puede identificar naturalmente con el grupo fundamental del orbiespacio del orbiespacio asociado. Esto se consigue aplicando el teorema de aproximación simplicial a segmentos de una trayectoria orbiespacial que se encuentran en una carta orbiespacial: es una variante sencilla de la demostración clásica de que el grupo fundamental de un poliedro puede identificarse con su grupo de trayectorias de bordes .
• El orbiespacio asociado a un orbiedro tiene una estructura métrica canónica , proveniente localmente de la métrica de longitud en la realización geométrica estándar en el espacio euclidiano, con vértices mapeados sobre una base ortonormal. También se utilizan otras estructuras métricas, que involucran métricas de longitud obtenidas al realizar los simples en el espacio hiperbólico , con los simples identificados isométricamente a lo largo de límites comunes.
• El orbiespacio asociado a un orbiedro no tiene curvatura positiva si y sólo si el eslabón en cada carta del orbiedro tiene una circunferencia mayor o igual a 6, es decir, cualquier circuito cerrado en el eslabón tiene una longitud de al menos 6. Esta condición, bien conocida por la La teoría de los espacios de Hadamard depende únicamente del complejo de grupos subyacente.
• Cuando el orbiedro de cobertura universal tiene una curvatura no positiva, el grupo fundamental es infinito y se genera mediante copias isomorfas de los grupos de isotropía. Esto se desprende del resultado correspondiente para orbiespacios.

Triangulos de grupos

Históricamente, una de las aplicaciones más importantes de los orbifolds en la teoría geométrica de grupos ha sido la de los triángulos de grupos . Este es el ejemplo bidimensional más simple que generaliza el "intervalo de grupos" unidimensional discutido en las conferencias de Serre sobre árboles, donde los productos libres amalgamados se estudian en términos de acciones sobre los árboles. Tales triángulos de grupos surgen cada vez que un grupo discreto actúa simplemente transitivamente sobre los triángulos en el edificio afín de Bruhat-Tits para SL ₃ ( Q _p ); En 1979, Mumford descubrió el primer ejemplo para p = 2 (ver más abajo) como un paso para producir una superficie algebraica no isomorfa al espacio proyectivo , pero que tiene los mismos números de Betti . Gersten y Stallings elaboraron en detalle los triángulos de grupos, mientras que Haefliger desarrolló de forma independiente el caso más general de complejos de grupos, descrito anteriormente. El método geométrico subyacente para analizar grupos presentados finitamente en términos de espacios métricos de curvatura no positiva se debe a Gromov. En este contexto, los triángulos de grupos corresponden a complejos simpliciales bidimensionales curvados no positivamente con la acción regular de un grupo, transitivo sobre triángulos .

Un triángulo de grupos es un complejo simple de grupos que consta de un triángulo con vértices A , B , C. hay grupos

• Γ _A , Γ _B , Γ _C en cada vértice
• Γ _BC , Γ _CA , Γ _AB para cada arista
• Γ _ABC para el triángulo mismo.

Hay homomorfismos inyectivos de Γ _ABC en todos los demás grupos y de un grupo de bordes Γ _XY en Γ _X y Γ _Y. Las tres formas de mapear Γ _ABC en un grupo de vértices concuerdan. (A menudo, Γ _ABC es el grupo trivial). La estructura métrica euclidiana en el orbiespacio correspondiente no tiene una curva positiva si y sólo si el vínculo de cada uno de los vértices en la carta del orbiedro tiene una circunferencia de al menos 6.

Esta circunferencia en cada vértice es siempre par y, como observó Stallings, puede describirse en un vértice A , digamos, como la longitud de la palabra más pequeña en el núcleo del homomorfismo natural en Γ _A del producto libre amalgamado sobre Γ _ABC. de los grupos de aristas Γ _AB y Γ _AC :

${\displaystyle \Gamma _{AB}\star _{\,\Gamma _{ABC}}\Gamma _{AC}\rightarrow \Gamma _{A}.}$

El resultado utilizando la estructura métrica euclidiana no es óptimo. Stallings definió los ángulos α, β, γ en los vértices A , B y C como 2π dividido por la circunferencia. En el caso euclidiano α, β, γ ≤ π/3. Sin embargo, si sólo se requiere que α + β + γ ≤ π, es posible identificar el triángulo con el triángulo geodésico correspondiente en el plano hiperbólico con la métrica de Poincaré (o el plano euclidiano si se cumple la igualdad). Es un resultado clásico de la geometría hiperbólica que las medianas hiperbólicas se cruzan en el baricentro hiperbólico, ^[19] tal como en el conocido caso euclidiano. La subdivisión baricéntrica y la métrica de este modelo producen una estructura métrica curvada no positivamente en el orbiespacio correspondiente. Por lo tanto, si α+β+γ≤π,

• el orbiespacio del triángulo de grupos es desarrollable;
• el correspondiente grupo de trayectorias de bordes, que también puede describirse como el colímite del triángulo de grupos, es infinito;
• los homomorfismos de los grupos de vértices en el grupo de ruta de borde son inyecciones.

El ejemplo de Mumford

El avión de Fano.

Sea α = dado por la expansión binomial de (1 − 8) ^1/2 en Q ₂ y establezca K = Q ( α ) Q ₂ . Dejar ${\displaystyle {\sqrt {-7}}}$ ${\displaystyle \subset }$

ζ = exp 2 π i /7

λ = ( α − 1)/2 = ζ + ζ ² + ζ ⁴

µ = λ / λ *.

Sea E = Q ( ζ ), un espacio vectorial tridimensional sobre K con base 1, ζ y ζ ² . Defina K -operadores lineales en E de la siguiente manera:

• σ es el generador del grupo de Galois de E sobre K , un elemento de orden 3 dado por σ(ζ) = ζ ²
• τ es el operador de multiplicación por ζ en E , un elemento de orden 7
• ρ es el operador dado por ρ ( ζ ) = 1, ρ ( ζ ² ) = ζ y ρ (1) = μ · ζ ² , de modo que ρ ³ es la multiplicación escalar por  μ .

Los elementos ρ , σ y τ generan un subgrupo discreto de GL ₃ ( K ) que actúa adecuadamente sobre el edificio afín de Bruhat-Tits correspondiente a SL ₃ ( Q ₂ ). Este grupo actúa transitivamente sobre todos los vértices, aristas y triángulos del edificio. Dejar

σ ₁ = σ , σ ₂ = ρσρ ⁻¹ , σ ₃ = ρ ² σρ ⁻² .

Entonces

• σ ₁ , σ ₂ y σ ₃ generan un subgrupo Γ de SL ₃ ( K ).
• Γ es el subgrupo más pequeño generado por σ y τ , invariante bajo conjugación por ρ .
• Γ actúa simplemente transitivamente sobre los triángulos del edificio.
• Existe un triángulo Δ tal que el estabilizador de sus aristas son los subgrupos de orden 3 generados por las σ _i .
• El estabilizador de un vértice de Δ es el grupo de Frobenius de orden 21 generado por los dos elementos de orden 3 que estabilizan los bordes que se encuentran en el vértice.
• El estabilizador de Δ es trivial.

Los elementos σ y τ generan el estabilizador de un vértice. El vínculo de este vértice se puede identificar con el edificio esférico de SL ₃ ( F ₂ ) y el estabilizador se puede identificar con el grupo de colineación del plano de Fano generado por una simetría triple σ que fija un punto y una permutación cíclica τ de los 7 puntos, satisfaciendo στ = τ ² σ . Al identificar F ₈ * con el plano de Fano, σ puede tomarse como la restricción del automorfismo de Frobenius σ ( x ) = x ²² de F ₈ y τ como una multiplicación por cualquier elemento que no esté en el campo primo F ₂ , es decir, un orden. 7 generador del grupo multiplicativo cíclico de F ₈ . Este grupo de Frobenius actúa de forma simplemente transitiva sobre las 21 banderas del plano de Fano, es decir, líneas con puntos marcados. Las fórmulas para σ y τ en E "levantan" así las fórmulas en F ₈ .

Mumford también obtiene una acción simplemente transitiva sobre los vértices del edificio pasando a un subgrupo de Γ ₁ = < ρ , σ , τ , − I >. El grupo Γ ₁ conserva la forma hermitiana valorada en Q ( α )

f ( x , y ) = xy * + σ ( xy *) + σ ² ( xy *)

en Q (ζ) y se puede identificar con U ₃ (f) GL ₃ ( S ) donde S = Z [ α , ⁠ ${\displaystyle \cap }$ 1/2⁠ ]. Dado que S /( α ) = F ₇ , existe un homomorfismo del grupo Γ ₁ en GL ₃ ( F ₇ ). Esta acción deja invariante un subespacio bidimensional en F ₇ ³ y por lo tanto da lugar a un homomorfismo Ψ de Γ ₁ en SL ₂ ( F ₇ ), un grupo de orden 16·3·7. Por otro lado, el estabilizador de un vértice es un subgrupo de orden 21 y Ψ es inyectivo sobre este subgrupo. Así, si el subgrupo de congruencia Γ ₀ se define como la imagen inversa bajo Ψ del subgrupo 2-Sylow de SL ₂ ( F ₇ ), la acción de Γ ₀ sobre los vértices debe ser simplemente transitiva.

Generalizaciones

Se pueden construir otros ejemplos de triángulos o complejos bidimensionales de grupos mediante variaciones del ejemplo anterior.

Cartwright et al. Considere acciones sobre edificios que sean simplemente transitivos en los vértices . Cada una de estas acciones produce una biyección (o dualidad modificada) entre los puntos x y las líneas x * en el complejo de banderas de un plano proyectivo finito y una colección de triángulos orientados de puntos ( x , y , z ), invariantes bajo permutación cíclica, tales que x está en z *, y está en x * y z está en y * y dos puntos cualesquiera determinan de forma única el tercero. Los grupos producidos tienen generadores x , etiquetados por puntos, y relaciones xyz = 1 para cada triángulo. Genéricamente esta construcción no corresponderá a una actuación sobre un edificio afín clásico.

De manera más general, como lo muestran Ballmann y Brin, datos algebraicos similares codifican todas las acciones que son simplemente transitivas en los vértices de un complejo simplicial bidimensional curvado no positivamente, siempre que el enlace de cada vértice tenga una circunferencia de al menos 6. Estos datos consisten de:

• un conjunto generador S que contiene inversas, pero no la identidad;
• un conjunto de relaciones g h k = 1, invariante bajo permutación cíclica.

Los elementos g en S etiquetan los vértices g · v en el enlace de un vértice fijo v ; y las relaciones corresponden a aristas ( g ⁻¹ · v , h · v ) en ese enlace. El gráfico con vértices S y aristas ( g , h ), para g ⁻¹ h en S , debe tener una circunferencia de al menos 6. El complejo simplicial original se puede reconstruir utilizando complejos de grupos y la segunda subdivisión baricéntrica.

El gráfico bipartito de Heawood

Swiatkowski ha construido más ejemplos de complejos de grupos bidimensionales curvados no positivamente basándose en acciones simplemente transitivas en bordes orientados e induciendo una simetría triple en cada triángulo; También en este caso el complejo de grupos se obtiene de la acción regular sobre la segunda subdivisión baricéntrica. El ejemplo más simple, descubierto anteriormente con Ballmann, comienza a partir de un grupo finito H con un conjunto simétrico de generadores S , que no contiene la identidad, de modo que el correspondiente gráfico de Cayley tiene una circunferencia de al menos 6. El grupo asociado es generado por H y una involución. τ sujeto a (τg) ³ = 1 para cada g en S .

De hecho, si Γ actúa de esta manera, fijando una arista ( v , w ), hay una involución τ intercambiando v y w . El vínculo de v se compone de vértices g · w para g en un subconjunto simétrico S de H = Γ _v , generando H si el vínculo es conexo. El supuesto sobre los triángulos implica que

τ·( g · w ) = g ⁻¹ · w

para g en S . Por lo tanto, si σ = τ g y u = g ⁻¹ · w , entonces

σ( v ) = w , σ( w ) = tu , σ( u ) = w .

Por simple transitividad en el triángulo ( v , w , u ), se deduce que σ ³ = 1.

La segunda subdivisión baricéntrica da un complejo de grupos que consisten en singletons o pares de triángulos subdivididos baricéntricamente unidos a lo largo de sus lados mayores: estos pares están indexados por el espacio cociente S /~ obtenido identificando inversos en S. Los triángulos simples o "acoplados" están a su vez unidos a lo largo de una "loma" común. Todos los estabilizadores de simples son triviales excepto los dos vértices en los extremos de la columna, con estabilizadores H y <τ>, y los vértices restantes de los triángulos grandes, con estabilizador generado por un σ apropiado. Tres de los triángulos más pequeños de cada triángulo grande contienen elementos de transición.

Cuando todos los elementos de S son involuciones, no es necesario duplicar ninguno de los triángulos. Si se toma H como el grupo diédrico D ₇ de orden 14, generado por una involución a y un elemento b de orden 7 tal que

ab = b ⁻¹ a ,

entonces H es generado por las 3 involuciones a , ab y ab ⁵ . El vínculo de cada vértice viene dado por el gráfico de Cayley correspondiente, por lo que es solo el gráfico bipartito de Heawood , es decir, exactamente igual que en el edificio afín para SL ₃ ( Q ₂ ). Esta estructura de vínculo implica que el complejo simplicial correspondiente es necesariamente un edificio euclidiano . En la actualidad, sin embargo, parece desconocerse si alguno de estos tipos de acción puede realizarse en un edificio afín clásico: el grupo Γ ₁ de Mumford (módulo escalar) es simplemente transitivo en aristas, no en aristas orientadas.

Orbifolds bidimensionales

Los orbifolds bidimensionales tienen los siguientes tres tipos de puntos singulares:

• Un punto límite
• Un punto elíptico o punto de giro de orden n , como el origen de R ² cociente por un grupo cíclico de orden n de rotaciones.
• Un reflector de esquina de orden n : el origen de R ² cociente por un grupo diédrico de orden 2 n .

Un orbifold bidimensional compacto tiene una característica de Euler dada por ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi =\chi (X_{0})-\sum _{i}(1-1/n_{i})/2-\sum _{i}(1-1/m_{i})}$,

donde es la característica de Euler de la variedad topológica subyacente , y son los órdenes de los reflectores de las esquinas, y son los órdenes de los puntos elípticos. ${\displaystyle \chi (X_{0})}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$

Un orbifold conectado compacto bidimensional tiene una estructura hiperbólica si su característica de Euler es menor que 0, una estructura euclidiana si es 0, y si su característica de Euler es positiva es mala o tiene una estructura elíptica (un orbifold se llama malo si no tiene colector como espacio de cobertura). En otras palabras, su espacio de cobertura universal tiene una estructura hiperbólica, euclidiana o esférica.

Los orbifolds compactos bidimensionales conectados que no son hiperbólicos se enumeran en la siguiente tabla. Los 17 orbifolds parabólicos son los cocientes del avión por los 17 grupos de papel tapiz .

Orbifolds tridimensionales

Se dice que una variedad 3 es pequeña si es cerrada, irreducible y no contiene superficies incompresibles.

Teorema de Orbifold. Sea M una pequeña variedad de 3. Sea φ un difeomorfismo de M que preserva la orientación periódica no trivial . Entonces M admite una estructura hiperbólica o fibrosa de Seifert invariante φ.

Este teorema es un caso especial del teorema del orbifold de Thurston, anunciado sin prueba en 1981; forma parte de su conjetura de geometrización para 3 variedades . En particular, implica que si X es un 3-orbifold compacto, conectado, orientable, irreducible, atoroidal con un lugar singular no vacío, entonces M tiene una estructura geométrica (en el sentido de orbifolds). Boileau, Leeb y Porti publicaron una demostración completa del teorema en 2005. ^[20]

Aplicaciones

Orbifolds en la teoría de cuerdas

En teoría de cuerdas , la palabra "orbifold" tiene un significado ligeramente nuevo. Para los matemáticos, un orbifold es una generalización de la noción de variedad que permite la presencia de puntos cuya vecindad es difeomorfa a un cociente de R ⁿ por un grupo finito, es decir, R ⁿ / Γ . En física, la noción de órbita generalmente describe un objeto que puede escribirse globalmente como un espacio orbital M / G donde M es una variedad (o una teoría) y G es un grupo de sus isometrías (o simetrías), no necesariamente todos ellos. En la teoría de cuerdas, estas simetrías no tienen por qué tener una interpretación geométrica.

Una teoría cuántica de campos definida en un orbifold se vuelve singular cerca de los puntos fijos de G. Sin embargo , la teoría de cuerdas requiere que agreguemos nuevas partes del espacio de Hilbert de cuerdas cerradas , es decir, los sectores retorcidos donde los campos definidos en las cuerdas cerradas son periódicos hasta una acción de G. Por tanto, el orbifolding es un procedimiento general de la teoría de cuerdas para derivar una nueva teoría de cuerdas a partir de una antigua teoría de cuerdas en la que los elementos de G se han identificado con la identidad. Tal procedimiento reduce el número de estados porque los estados deben ser invariantes bajo G , pero también aumenta el número de estados debido a los sectores extra torcidos. El resultado suele ser una nueva teoría de cuerdas perfectamente fluida.

Las D-branas que se propagan en los orbitales se describen, a bajas energías, mediante teorías de calibre definidas por los diagramas de carcaj . Las cuerdas abiertas unidas a estas D-branas no tienen sector torcido, por lo que el procedimiento de plegado orbital reduce el número de estados de cuerdas abiertas.

Más específicamente, cuando el grupo orbital G es un subgrupo discreto de isometrías del espacio-tiempo, entonces, si no tiene un punto fijo, el resultado suele ser un espacio compacto y suave; el sector retorcido consta de cuerdas cerradas enrolladas alrededor de la dimensión compacta, que se denominan estados de bobinado .

Cuando el grupo orbifold G es un subgrupo discreto de isometrías del espacio-tiempo y tiene puntos fijos, entonces estos generalmente tienen singularidades cónicas , porque R ⁿ / Z k tiene tal singularidad en el punto fijo de Z k . En la teoría de cuerdas, las singularidades gravitacionales suelen ser un signo de grados de libertad adicionales que se encuentran en un punto geométrico del espacio-tiempo. En el caso del orbifold estos grados de libertad son los estados torcidos, que son cuerdas "pegados" en los puntos fijos. Cuando los campos relacionados con estos estados retorcidos adquieren un valor esperado de vacío distinto de cero , la singularidad se deforma, es decir, la métrica cambia y se vuelve regular en este punto y alrededor de él. Un ejemplo de geometría resultante es el espaciotiempo de Eguchi-Hanson .

Desde el punto de vista de las D-branas en las proximidades de los puntos fijos, la teoría efectiva de las cuerdas abiertas unidas a estas D-branas es una teoría de campo supersimétrica, cuyo espacio de vacío tiene un punto singular, donde grados adicionales sin masa de la libertad existe. Los campos relacionados con el sector retorcido de cuerda cerrada se acoplan a las cuerdas abiertas de tal manera que se agrega un término de Fayet-Iliopoulos a la teoría de campos supersimétricos lagrangianos, de modo que cuando dicho campo adquiere un valor esperado de vacío distinto de cero , el sector retorcido de Fayet –El término de Iliopoulos es distinto de cero y, por lo tanto, deforma la teoría (es decir, la cambia) de modo que la singularidad ya no existe [1], [2].

Colectores Calabi-Yau

En la teoría de supercuerdas , ^{[21] [22] la construcción de} modelos fenomenológicos realistas requiere una reducción dimensional porque las cuerdas se propagan naturalmente en un espacio de 10 dimensiones, mientras que la dimensión observada del espacio-tiempo del universo es 4. Sin embargo, existen restricciones formales sobre las teorías. imponer restricciones al espacio compactado en el que viven las variables "ocultas" adicionales: cuando se buscan modelos realistas de 4 dimensiones con supersimetría , el espacio compactado auxiliar debe ser una variedad Calabi-Yau de 6 dimensiones . ^[23]

Hay un gran número de posibles variedades Calabi-Yau (decenas de miles), de ahí el uso del término " paisaje " en la literatura actual de física teórica para describir la desconcertante elección. El estudio general de las variedades Calabi-Yau es matemáticamente complejo y durante mucho tiempo ha sido difícil construir ejemplos de forma explícita. Por tanto, los Orbifolds han resultado muy útiles ya que satisfacen automáticamente las limitaciones impuestas por la supersimetría. Proporcionan ejemplos degenerados de variedades Calabi-Yau debido a sus puntos singulares , ^[24] pero esto es completamente aceptable desde el punto de vista de la física teórica. Estas órbitas se denominan "supersimétricas": técnicamente son más fáciles de estudiar que las variedades generales de Calabi-Yau. Muy a menudo es posible asociar una familia continua de variedades Calabi-Yau no singulares a un orbifold supersimétrico singular. En 4 dimensiones esto se puede ilustrar utilizando superficies K3 complejas :

• Cada superficie K3 admite 16 ciclos de dimensión 2 que son topológicamente equivalentes a las 2 esferas habituales. Haciendo que la superficie de estas esferas tienda a cero, la superficie K3 desarrolla 16 singularidades. Este límite representa un punto en el límite del espacio de módulos de las superficies K3 y corresponde al orbifold obtenido tomando el cociente del toro por la simetría de inversión. ${\displaystyle T^{4}/\mathbb {Z} _{2}\,}$

El estudio de las variedades Calabi-Yau en la teoría de cuerdas y la dualidad entre diferentes modelos de teoría de cuerdas (tipo IIA y IIB) condujo a la idea de la simetría especular en 1988. El papel de las orbifolds fue señalado por primera vez por Dixon, Harvey, Vafa y Witten casi al mismo tiempo. ^[25]

Teoría musical

Más allá de sus múltiples y diversas aplicaciones en matemáticas y física, los orbifolds se han aplicado a la teoría musical al menos desde 1985 en el trabajo de Guerino Mazzola ^{[26] [27]} y más tarde por Dmitri Tymoczko y sus colaboradores. ^{[28] [29] [30] [31]} Uno de los artículos de Tymoczko fue el primer artículo de teoría musical publicado por la revista Science . ^{[32] [33] [34]} Mazzola y Tymoczko han participado en debates sobre sus teorías documentadas en una serie de comentarios disponibles en sus respectivos sitios web. ^{[35] [36]}

Rebanadas animadas del orbifold tridimensional . Rebanadas de cubos colocados sobre sus extremos (con sus largas diagonales perpendiculares al plano de la imagen) forman regiones Voronoi coloreadas (coloreadas según el tipo de acorde) que representan los acordes de tres notas en sus centros, con tríadas aumentadas en el mismo centro, rodeadas de tríadas mayores y menores (verde lima y azul marino). Las regiones blancas son tricordios degenerados (una nota repetida tres veces), con las tres líneas (que representan acordes de dos notas) que conectan sus centros formando las paredes del prisma triangular retorcido, los planos 2D perpendiculares al plano de la imagen actúan como espejos. ${\displaystyle T^{3}/S_{3}}$

Tymoczko modela acordes musicales que constan de n notas, que no son necesariamente distintas, como puntos en el orbifold : el espacio de n puntos desordenados (no necesariamente distintos) en el círculo, realizado como el cociente del n - toroide (el espacio de n puntos ordenados en el círculo) por el grupo simétrico (correspondiente al paso de un conjunto ordenado a un conjunto desordenado). ${\displaystyle T^{n}/S_{n}}$ ${\displaystyle T^{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$

Musicalmente esto se explica de la siguiente manera:

• Los tonos musicales dependen de la frecuencia (tono) de su fundamental y, por lo tanto, están parametrizados por los números reales positivos, R ⁺ .
• Los tonos musicales que difieren en una octava (una duplicación de la frecuencia) se consideran el mismo tono; esto corresponde a tomar el logaritmo en base 2 de las frecuencias (produciendo los números reales, como ), luego cocientes por los números enteros (correspondiente a diferir en algún número de octavas), produciendo un círculo (como ). ${\displaystyle \mathbf {R} =\log _{2}\mathbf {R} ^{+}}$ ${\displaystyle S^{1}=\mathbf {R} /\mathbf {Z} }$
• Los acordes corresponden a múltiples tonos sin respetar el orden; por lo tanto, t notas (con orden) corresponden a t puntos ordenados en el círculo, o equivalentemente a un solo punto en el t -toro y omitir el orden corresponde a tomar el cociente produciendo un orbifold. ${\displaystyle T^{t}:=S^{1}\times \cdots \times S^{1},}$ ${\displaystyle S_{t},}$

Para díadas (dos tonos), esto produce la tira de Möbius cerrada ; para tríadas (tres tonos), esto produce un orbifold que puede describirse como un prisma triangular con las caras triangulares superior e inferior identificadas con un giro de 120° (a ⁠1/3⁠ giro) – equivalentemente, como un toro sólido en 3 dimensiones con una sección transversal de un triángulo equilátero y tal giro.

El orbifold resultante está naturalmente estratificado por tonos repetidos (correctamente, por particiones enteras de t ): el conjunto abierto consta de tonos distintos (la partición ), mientras que hay un conjunto singular unidimensional que consta de todos los tonos iguales (la partición ), que topológicamente es un círculo, y varias particiones intermedias. También hay un círculo notable que pasa por el centro del conjunto abierto y que consta de puntos equiespaciados. En el caso de las tríadas, las tres caras laterales del prisma corresponden a dos tonos iguales y el tercero diferente (la partición ), mientras que las tres aristas del prisma corresponden al conjunto singular unidimensional. Las caras superior e inferior son parte del conjunto abierto y solo aparecen porque se ha cortado el orbifold; si se ve como un toro triangular con una torsión, estos artefactos desaparecen. ${\displaystyle t=1+1+\cdots +1}$ ${\displaystyle t=t}$ ${\displaystyle 3=2+1}$

Tymoczko sostiene que los acordes cercanos al centro (con tonos igualmente o casi igualmente espaciados) forman la base de gran parte de la armonía occidental tradicional, y que visualizarlos de esta manera ayuda en el análisis. Hay 4 acordes en el centro (equivalentemente espaciados bajo temperamento igual – espaciado de 4/4/4 entre tonos), correspondientes a las tríadas aumentadas (consideradas como conjuntos musicales ) C♯FA, DF♯A♯, D♯GB, y EG♯C (luego realizan un ciclo: FAC♯ = C♯FA), siendo los 12 acordes mayores y los 12 acordes menores los puntos al lado del centro, pero no en ellos, espaciados casi uniformemente pero no del todo. Los acordes mayores corresponden a un espaciado de 4/3/5 (o equivalentemente, 5/4/3), mientras que los acordes menores corresponden a un espaciado de 3/4/5. Los cambios clave entonces corresponden al movimiento entre estos puntos en el orbital, con cambios más suaves efectuados por el movimiento entre puntos cercanos.

Ver también

• Cobertura ramificada
• Característica de Euler de un orbifold
• cociente geométrico
• Fórmula Riemann-Roch de Kawasaki
• Notación orbifold
• Orientable
• Anillo de formas modulares.
• Pila (matemáticas)

Notas

1. Satake 1956.
2. Thurston 1978-1981, Capítulo 13.
3. Haefliger 1990.
4. Poincaré 1985.
5. Serré 1970.
6. Scott 1983.
7. Bridson y Haefliger 1999.
8. Di Francesco, Mathieu y Sénéchal 1997.
9. Bredon 1972.
10. Moerdijk, Ieke (2002). Orbifolds como grupoides: una introducción. Orbifolds en matemáticas y física. Matemáticas Contemporáneas. vol. 310. Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 205–222. arXiv : matemáticas/0203100 . ISBN 978-0-8218-2990-5.
11. Moerdijk, Ieke ; Mrcun, Janez (2003). Introducción a las foliaciones y grupoides de mentira. Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 140-144. doi :10.1017/cbo9780511615450. ISBN 978-0-521-83197-0.
12. Iglesias-Zemmour 2013.
13. Iglesias, Karshon y Zadka 2010.
14. Iglesias et al. 2010, Teorema 46.
15. Haefliger 1984.
16. Satake 1957, nota al pie p.469.
17. Iglesias et al. 2010, Ejemplo 25.
18. Iglesias-Zemmour & Laffineur 2017.
19. Teorema de las medianas hiperbólicas
20. Las introducciones generales a este material se pueden encontrar en las notas de Peter Scott de 1983 y en las exposiciones de Boileau, Maillot & Porti y Cooper, Hodgson & Kerckhoff.
21. M. Green, J. Schwartz y E. Witten, Teoría de supercuerdas , vol. 1 y 2, Cambridge University Press, 1987, ISBN 0521357527
22. J. Polchinski, Teoría de cuerdas , vol. 2, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0-521-63304-4 
23. P. Candelas, Lectures On Complex Manifolds , en *Trieste 1987, Actas, Superstrings '87* 1-88, 1987
24. Blumenhagen, Ralph; Lujuria, Dieter; Theisen, Stefan (2012), Conceptos básicos de teoría de cuerdas, física teórica y matemática, Springer, p. 487, Bibcode : 2013bcst.book......B, ISBN 9783642294969, Los Orbifolds pueden verse como límites singulares de variedades suaves de Calabi-Yau..
25. Dixon, L.; Harvey, JA; Vafa, C.; Witten, E. (1 de enero de 1985). "Cuerdas en orbifolds". Física Nuclear B. 261 : 678–686. Código bibliográfico : 1985NuPhB.261..678D. doi :10.1016/0550-3213(85)90593-0. ISSN  0550-3213.
26. Mazzola, Guerino (1985). Gruppen und Kategorien in der Musik: Entwurf einer mathematischen Musiktheorie. Helderman. ISBN 978-3-88538-210-2. Consultado el 26 de febrero de 2012 .
27. Mazzola, Guerino; Müller, Stefan (2002). El topos de la música: lógica geométrica de conceptos, teoría e interpretación. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-5731-3. Consultado el 26 de febrero de 2012 .
28. Tymoczko 2006.
29. Callender, Quinn y Tymoczko 2008.
30. Dmitri Tymoczko, La geometría de la música : enlaces a artículos y software de visualización.
31. El espacio de módulos de acordes: Dmitri Tymoczko sobre "Geometría y música", viernes 7 de marzo, 2:30 p. m., publicado el 28 de febrero de 2008 - charla abstracta y descripción matemática de alto nivel.
32. Michael D. Lemonick, La geometría de la música, Time , 26 de enero de 2007
33. Elizabeth Gudrais, Mapping Music, Revista Harvard, enero/febrero de 2007
34. Tony Phillips, La visión de Tony Phillips sobre las matemáticas en los medios, Sociedad Matemática Estadounidense , octubre de 2006
35. Agustín-Aquino, Octavio Alberto; Mazzola, Guerino (14 de junio de 2011). «Sobre la crítica de D. Tymoczko a la teoría del contrapunto de Mazzola» (PDF) .
36. Tymoczko, Dmitri. «Teoría del contrapunto de Mazzola» (PDF) .

Referencias

• Adem, Alejandro; Leida, Johann; Ruan, Yongbin (2007). Orbifolds y topología fibrosa . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 171. Prensa de la Universidad de Cambridge . doi :10.1017/CBO9780511543081. ISBN 9780521870047.
• Ballmann, Werner (1990). "Espacios singulares de curvatura no positiva". En Ghys, Étienne ; de La Harpe, Pierre (eds.). Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov . Progreso en Matemáticas. vol. 83. Boston: Birkhäuser. págs. 189-201. ISBN 0-8176-3508-4.
• Ballmann, Werner; Brin, Michael (1994). "Complejos poligonales y teoría combinatoria de grupos". Geometriae Dedicata . 50 (2): 165-191. doi : 10.1007/BF01265309 . S2CID  119617693.
• Boileau, Michel. "Geometrizaciones de 3 variedades con simetrías" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 30 de septiembre de 2011 . Consultado el 6 de diciembre de 2007 .
• Boileau, Michel; Maillot, Sylvain; Portí, Joan (2003). Orbifolds tridimensionales y sus estructuras geométricas . Panoramas y Síntesis. vol. 15. París: Société Mathématique de France. ISBN 2-85629-152-X. OCLC  56349823..
• Boileau, Michel; Leeb, Bernhard; Portí, Joan (2005). "Geometrización de orbifolds tridimensionales". Anales de Matemáticas . 162 : 195–290. arXiv : matemáticas/0010185 . doi : 10.4007/annals.2005.162.195. S2CID  119624092.
• Bredon, Glen (1972). Introducción a los Grupos de Transformación Compactos . Prensa académica . ISBN 0-12-128850-1.
• Bridson, Martín; Haefliger, André (1999). Espacios métricos de curvatura no positiva . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 319. Saltador. doi : 10.1007/978-3-662-12494-9 . ISBN 3-540-64324-9.
• Brin, Mateo (2007). "Seifert Fibered Spaces: notas para un curso impartido en la primavera de 1993". arXiv : 0711.1346 [matemáticas.GT].
• Callender, Clifton; Quinn, Ian; Tymoczko, Dmitri (18 de abril de 2008). "Espacios de liderazgo de voz generalizados" (PDF) . Ciencia . 320 (5874): 346–348. Código Bib : 2008 Ciencia... 320.. 346C. doi : 10.1126/ciencia.1153021. PMID  18420928. S2CID  35229232.
• Cartwright, Donald; Mantero, Anna María; Steger, Tim; Zappa, Anna (1993). "Grupos que actúan simplemente transitivamente sobre los vértices de un edificio de tipo Ã2, I". Geometriae Dedicata . 47 (2): 143–166. doi : 10.1007/BF01266617 .
• Cooper, Daryl; Hodgson, Craig; Kerckhoff, Steven (2000). Orbifolds tridimensionales y colectores de cono . Memorias MSJ. vol. 5. Tokio: Sociedad Matemática de Japón. ISBN 4-931469-05-1..
• de la Harpe, Pierre (1991). Ghys, Étienne (ed.). Una invitación al grupo Coxeter . Teoría de grupos desde un punto de vista geométrico, 26 de marzo - 6 de abril de 1990, ICPT, Trieste, Italia (actas). Singapur: World Scientific. págs. 193-253. doi :10.1142/1235. ISBN 981-02-0442-6..
• Di Francesco, Philippe; Mathieu, Pedro; Sénéchal, David (1997). Teoría de campos conforme . Textos de Posgrado en Física Contemporánea. Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-2256-9 . ISBN 0-387-94785-X..

• Haefliger, André (1984). Groupoides d'holonomie et classifiants . Astérisco. vol. 116. París: Société Mathématique de France. págs. 70–97.
• Haefliger, André (1990). "Orbi-espacios". En Ghys, Étienne ; de la Harpe, Pierre (eds.). Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov . Progreso en Matemáticas. vol. 83. Birkhäuser. págs. 203-213. doi : 10.1007/978-1-4684-9167-8_11 . ISBN 0-8176-3508-4.
• Haefliger, André (1991). Ghys, Étienne (ed.). Complejos de grupos y orbiedros . Teoría de grupos desde un punto de vista geométrico, 26 de marzo - 6 de abril de 1990, ICPT, Trieste, Italia (actas). Singapur: World Scientific. págs. 504–540. doi :10.1142/1235. ISBN 981-02-0442-6.
• Iglesias, Patricio; Karsón, Yael; Zadka, Moshe (junio de 2010). "Orbifolds como difeologías". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 362 (6): 2811–2831. arXiv : matemáticas/0501093 . doi :10.1090/S0002-9947-10-05006-3. S2CID  15210173.
• Iglesias-Zemmour, Patrick (2013). Difeología . Encuestas y monografías matemáticas. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-9131-5.
• Iglesias-Zemmour, Patrick; Laffineur, Jean-Pierre (2017). "Geometría y difeología no conmutativas: el caso de Orbifolds". Revista de geometría no conmutativa . 12 (4): 1551-1572. doi :10.4171/JNCG/319. S2CID  126092375.
• Kawakubo, Katsuo (1991). La Teoría de los Grupos de Transformación . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-853212-1.
• Kohler, Peter; Meixner, Thomas; Wester, Michael (1985). "El edificio afín 2-ádico de tipo Ã2 y sus proyecciones finitas". Revista de teoría combinatoria . Serie A. 38 (2): 203–209. doi : 10.1016/0097-3165(85)90070-6 .
• Mumford, David (1979). "Una superficie algebraica con K amplia, (K2) = 9, pg = q = 0". Revista Estadounidense de Matemáticas . 101 (1): 233–244. doi :10.2307/2373947. JSTOR  2373947.
• Poincaré, Henri (1985). Artículos sobre funciones fucsianas . Traducido por Stillwell, John . Saltador. ISBN 3-540-96215-8.
• Satake, Ichiro (1956). "Sobre una generalización de la noción de variedad". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 42 (6): 359–363. Código bibliográfico : 1956PNAS...42..359S. doi : 10.1073/pnas.42.6.359 . PMC  528292 . PMID  16578464.
• Satake, Ichiro (1957). "El teorema de Gauss-Bonnet para variedades en V". Revista de la Sociedad Matemática de Japón . 9 (4): 464–492. doi : 10.2969/jmsj/00940464 .
• Scott, Peter (1983). "Las geometrías de 3 variedades" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 15 (5): 401–487. doi :10.1112/blms/15.5.401. hdl :2027.42/135276.
  Fe de erratas: Scott, Peter . "Errata de" Las geometrías de 3 variedades ", Bull. London Math. Soc. 15 (1983), 401-487" (PDF) .
• Serre, Jean-Pierre (1970). Curso de aritmética . Prensa Universitaria de Francia.
• Serre, Jean-Pierre (2003). Árboles . Traducido por Stillwell, John . Berlín: Springer. doi :10.1007/978-3-642-61856-7. ISBN 978-3-642-61858-1.
  Traducción inglesa de: Serre, Jean-Pierre (1983). Arbres, amalgamas, SL ₂ . Astérisco. vol. 46 (3ª ed.). París: Société Mathématique de France.
• Puestos, John (1991). Ghys, Étienne (ed.). Triángulos de grupos . Teoría de grupos desde un punto de vista geométrico, 26 de marzo - 6 de abril de 1990, ICPT, Trieste, Italia (actas). Singapur: World Scientific. págs. 491–503. doi :10.1142/1235. ISBN 981-02-0442-6.
• Świątkowski, Jacek (2001). "Una clase de grupos de automorfismo de complejos poligonales". Revista Trimestral de Matemáticas . 52 (2): 231–247. doi :10.1093/qjmath/52.2.231.
• Thurston, William (1978-1981). La geometría y topología de tres variedades. Notas de conferencias de la Universidad de Princeton.
• Thurston, William (1982). "Variedades tridimensionales, grupos kleinianos y geometría hiperbólica". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 6 (3): 357–381. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 .
• Tymoczko, Dmitri (7 de julio de 2006). «La geometría de los acordes musicales» (PDF) . Ciencia . 313 (5783): 72–74. Código Bib : 2006 Ciencia... 313... 72T. CiteSeerX  10.1.1.215.7449 . doi : 10.1126/ciencia.1126287. PMID  16825563. S2CID  2877171.