Instante gravitacional

Variedad de Riemann completa de cuatro dimensiones que satisface las ecuaciones de Einstein del vacío

En física matemática y geometría diferencial , un instantón gravitacional es una variedad riemanniana completa de cuatro dimensiones que satisface las ecuaciones de Einstein del vacío . Se denominan así porque son análogos en las teorías cuánticas de la gravedad de los instantones en la teoría de Yang-Mills . De acuerdo con esta analogía con los instantones autoduales de Yang-Mills , se suele suponer que los instantones gravitacionales se parecen al espacio euclidiano de cuatro dimensiones a grandes distancias y que tienen un tensor de Riemann autodual . Matemáticamente, esto significa que son 4-variedades hiperkähler asintóticamente localmente euclidianas (o quizás asintóticamente localmente planas) y, en este sentido, son ejemplos especiales de variedades de Einstein . Desde un punto de vista físico, un instantón gravitacional es una solución no singular de las ecuaciones de Einstein del vacío con métrica positiva-definida , a diferencia de la lorentziana .

Existen muchas generalizaciones posibles de la concepción original de un instantón gravitacional: por ejemplo, se puede permitir que los instantones gravitacionales tengan una constante cosmológica distinta de cero o un tensor de Riemann que no sea autodual. También se puede relajar la condición de contorno de que la métrica sea asintóticamente euclidiana.

Existen muchos métodos para construir instantones gravitacionales, incluido el Ansatz de Gibbons-Hawking , la teoría de twistores y la construcción del cociente de hiperkähler .

Introducción

Los instantones gravitacionales son interesantes, ya que ofrecen información sobre la cuantificación de la gravedad. Por ejemplo, se necesitan métricas euclidianas locales asintóticamente definidas positivas, ya que obedecen a la conjetura de acción positiva; las acciones que no tienen límites por debajo crean divergencia en la integral de trayectoria cuántica .

• Una variedad Kähler Ricci-plana de cuatro dimensiones tiene un tensor de Riemann anti-auto-dual con respecto a la orientación compleja.
• En consecuencia, un instantón gravitacional anti-auto-dual simplemente conexo es una variedad hiperkähler completa de cuatro dimensiones .
• Los instantones gravitacionales son análogos a los instantones autoduales de Yang-Mills .

Se pueden hacer varias distinciones con respecto a la estructura del tensor de curvatura de Riemann , relacionadas con la planitud y la autodualidad. Estas incluyen:

• Einstein (constante cosmológica distinta de cero)
• Planitud de Ricci (tensor de Ricci que desaparece)
• Planitud conforme (tensor de Weyl evanescente)
• Autodualidad
• Anti-dualidad del yo
• Conformemente auto-dual
• Conformemente anti-auto-dual

Taxonomía

Al especificar las 'condiciones de contorno', es decir, las asíntotas de la métrica 'en el infinito' en una variedad riemanniana no compacta, los instantones gravitacionales se dividen en unas pocas clases, como espacios asintóticamente localmente euclidianos (espacios ALE) y espacios asintóticamente localmente planos (espacios ALF).

Pueden caracterizarse además por si el tensor de Riemann es autodual, si el tensor de Weyl es autodual o ninguno de los dos; si son o no variedades de Kähler ; y varias clases características , como la característica de Euler , la firma de Hirzebruch ( clase de Pontryagin ), el índice de Rarita-Schwinger (índice de espín 3/2) o, en general, la clase de Chern . La capacidad de soportar una estructura de espín ( es decir , permitir espinores de Dirac consistentes ) es otra característica atractiva.

Lista de ejemplos

Eguchi et al. enumeran varios ejemplos de instantones gravitacionales. ^[1] Estos incluyen, entre otros:

• El espacio plano , el toro y el espacio euclidiano de Sitter , es decir, la métrica estándar en la 4-esfera . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}$
• El producto de esferas . ${\displaystyle S^{2}\times S^{2}}$
• La métrica de Schwarzschild y la métrica de Kerr . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{2}}$
• El instantón de Eguchi-Hanson , que se muestra a continuación. ${\displaystyle T^{*}\mathbb {CP} (1)}$
• La solución Taub–NUT , que se muestra a continuación.
• La métrica de Fubini-Study en el plano proyectivo complejo ^{[2] Nótese que el plano proyectivo complejo no admite} espinores de Dirac bien definidos . Es decir, no es una estructura de espín . Sin embargo, se le puede dar una estructura de espín . ${\displaystyle \mathbb {CP} (2).}$
• El espacio de Page, que exhibe una métrica de Einstein explícita en la suma conectada de dos planos proyectivos complejos orientados de manera opuesta . ${\displaystyle \mathbb {CP} (2)\#{\overline {\mathbb {CP} }}(2)}$
• Las métricas multicéntricas de Gibbons-Hawking se muestran a continuación.
• La métrica Taub-bolt y la métrica Taub-bolt rotatoria. Las métricas de "bolt" tienen una singularidad de coordenadas de tipo cilíndrico en el origen, en comparación con las métricas de "nut", que tienen una singularidad de coordenadas de tipo esférica. En ambos casos, la singularidad de coordenadas se puede eliminar cambiando a coordenadas euclidianas en el origen. ${\displaystyle \mathbb {CP} (2)\setminus \{0\}}$
• Las superficies K3 .
• Las variedades anti-auto-duales ALE (asintóticamente localmente euclidianas). Entre estas, las simplemente conexas son todas hiper-Kähler , y cada una es asintótica a un cono plano sobre módulo un subgrupo finito. Cada subgrupo finito de realmente ocurre. La lista completa de posibilidades consiste en los grupos cíclicos junto con las imágenes inversas de los grupos diedros , el grupo tetraédrico , el grupo octaédrico y el grupo icosaédrico bajo la doble cubierta . Nótese que corresponde al instantón de Eguchi–Hanson, mientras que para k más alto , el grupo cíclico corresponde a las métricas multicéntricas de Gibbons–Hawking, cada una de las cuales difeomorfa al espacio obtenido de la unión disjunta de k copias de utilizando el diagrama de Dynkin como diagrama de plomería . ${\displaystyle S^{3}=SU(2)}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{k+1}}$ ${\displaystyle SU(2)\to SO(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{k+1}}$ ${\displaystyle T^{*}S^{2}}$ ${\displaystyle A_{k}}$

Ésta es una lista muy incompleta; hay muchas otras posibilidades, no todas ellas clasificadas.

Ejemplos

Será conveniente escribir las soluciones de instantón gravitacional a continuación utilizando 1-formas invariantes por la izquierda en la esfera tridimensional S ³ (vista como el grupo Sp(1) o SU(2)). Estas pueden definirse en términos de ángulos de Euler mediante

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&=\sin \psi \,d\theta -\cos \psi \sin \theta \,d\phi \\\sigma _{2}&=\cos \psi \,d\theta +\sin \psi \sin \theta \,d\phi \\\sigma _{3}&=d\psi +\cos \theta \,d\phi .\\\end{aligned}}}$

Téngase en cuenta que para cíclico. ${\displaystyle d\sigma _{i}+\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}=0}$ ${\displaystyle i,j,k=1,2,3}$

Métrica Taub-NUT

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{4}}{\frac {r+n}{r-n}}dr^{2}+{\frac {r-n}{r+n}}n^{2}{\sigma _{3}}^{2}+{\frac {1}{4}}(r^{2}-n^{2})({\sigma _{1}}^{2}+{\sigma _{2}}^{2})}$

Métrica de Eguchi-Hanson

El espacio de Eguchi-Hanson se define por una métrica, el fibrado cotangente de la 2-esfera . Esta métrica es ${\displaystyle T^{*}\mathbb {CP} (1)=T^{*}S^{2}}$

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right)^{-1}dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right){\sigma _{3}}^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}).}$

donde . Esta métrica es suave en todas partes si no tiene singularidad cónica en , . Para esto sucede si tiene un período de , lo que da una métrica plana en R ⁴ ; Sin embargo, para esto sucede si tiene un período de . ${\displaystyle r\geq a^{1/4}}$ ${\displaystyle r\rightarrow a^{1/4}}$ ${\displaystyle \theta =0,\pi }$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle 4\pi }$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Asintóticamente (es decir, en el límite ) la métrica se ve así ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\sigma _{3}^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}$

que ingenuamente parece la métrica plana en R ⁴ . Sin embargo, para , tiene solo la mitad de la periodicidad habitual, como hemos visto. Por lo tanto, la métrica es asintóticamente R ⁴ con la identificación , que es un subgrupo Z 2 de SO(4) , el grupo de rotación de R ⁴ . Por lo tanto, se dice que la métrica es asintóticamente R ⁴ / Z ₂ . ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi \,{\sim }\,\psi +2\pi }$

Hay una transformación a otro sistema de coordenadas , en el que la métrica se ve así

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\psi +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ,}$

dónde ${\displaystyle \nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}$

(Para a = 0, , y las nuevas coordenadas se definen de la siguiente manera: primero se define y luego se parametriza , y por las coordenadas R ³ , es decir ). ${\displaystyle V={\frac {1}{|\mathbf {x} |}}}$ ${\displaystyle \rho =r^{2}/4}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta )}$

En las nuevas coordenadas, tiene la periodicidad habitual ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi \ {\sim }\ \psi +4\pi .}$

Se puede sustituir V por

${\displaystyle \quad V=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}$

Para algunos n puntos , i  = 1, 2...,  n . Esto da un instantón gravitacional de Eguchi-Hanson multicéntrico, que nuevamente es uniforme en todas partes si las coordenadas angulares tienen las periodicidades habituales (para evitar singularidades cónicas ). El límite asintótico ( ) es equivalente a tomar todo a cero, y al cambiar las coordenadas nuevamente a r, y , y redefiniendo , obtenemos la métrica asintótica ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle r\rightarrow r/{\sqrt {n}}}$

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\left({d\psi \over n}+\cos \theta \,d\phi \right)^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}[(\sigma _{1}^{L})^{2}+(\sigma _{2}^{L})^{2}].}$

Esto es R ⁴ / Z _n = C ² / Z _n , porque es R ⁴ con la coordenada angular reemplazada por , que tiene la periodicidad incorrecta ( en lugar de ). En otras palabras, es R ⁴ identificado bajo , o, equivalentemente, C ² identificado bajo z _i ~ z _i para i = 1, 2. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi /n}$ ${\displaystyle 4\pi /n}$ ${\displaystyle 4\pi }$ ${\displaystyle \psi \ {\sim }\ \psi +4\pi k/n}$ ${\displaystyle e^{2\pi ik/n}}$

En conclusión, la geometría multicéntrica de Eguchi-Hanson es una geometría plana de Kähler Ricci que es asintóticamente C ² / Z _n . Según el teorema de Yau, esta es la única geometría que satisface estas propiedades. Por lo tanto, esta es también la geometría de un orbifold C ² / Z _n en la teoría de cuerdas después de que su singularidad cónica haya sido suavizada por su "explosión" (es decir, deformación). ^[3]

Métricas multicéntricas de Gibbons-Hawking

Las métricas multicéntricas de Gibbons-Hawking se dan por ^{[4] [5]}

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\tau +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ,}$

dónde

${\displaystyle \nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\varepsilon +2M\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}$

Aquí, corresponde a multi-Taub–NUT, y es un espacio plano, y y es la solución de Eguchi–Hanson (en diferentes coordenadas). ${\displaystyle \epsilon =1}$ ${\displaystyle \epsilon =0}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \epsilon =0}$ ${\displaystyle k=2}$

Métricas FLRW como instantones gravitacionales

En 2021 se encontró ^[6] que si se considera el parámetro de curvatura de un espacio foliado de máxima simetría como una función continua, la acción gravitacional, como suma de la acción de Einstein-Hilbert y el término límite de Gibbons-Hawking-York , se convierte en la de una partícula puntual. Entonces, la trayectoria es el factor de escala y el parámetro de curvatura se considera el potencial. Para las soluciones restringidas de esta manera, la relatividad general toma la forma de una teoría topológica de Yang-Mills .

Véase también

• Anomalía gravitacional
• Colector de hiperkähler

Referencias

1. Eguchi, Tohru; Gilkey, Peter B.; Hanson, Andrew J. (1980). "Gravitación, teorías de calibración y geometría diferencial". Physics Reports . 66 (6): 213–393. Bibcode :1980PhR....66..213E. doi :10.1016/0370-1573(80)90130-1. ISSN  0370-1573.
2. Eguchi, Tohru; Freund, Peter GO (8 de noviembre de 1976). "Gravedad cuántica y topología del mundo". Physical Review Letters . 37 (19): 1251–1254. Código Bibliográfico :1976PhRvL..37.1251E. doi :10.1103/physrevlett.37.1251. ISSN  0031-9007.
3. Douglas, Michael R.; Moore, Gregory (1996). "D-branas, quivers y instantones ALE". arXiv : hep-th/9603167 .
4. Hawking, SW (1977). "Instantones gravitacionales". Physics Letters A . 60 (2): 81–83. Bibcode :1977PhLA...60...81H. doi :10.1016/0375-9601(77)90386-3. ISSN  0375-9601.
5. Gibbons, GW; Hawking, SW (1978). "Multiinstantones gravitacionales". Physics Letters B . 78 (4): 430–432. Código Bibliográfico :1978PhLB...78..430G. doi :10.1016/0370-2693(78)90478-1. ISSN  0370-2693.
6. J. Hristov;. Teoría cuántica de las -métricas, su conexión con los modelos de Chern-Simons y la estructura de vacío theta de la gravedad cuántica https://doi.org/10.1140/epjc/s10052-021-09315-1 ${\displaystyle k(\phi )}$

• Gibbons, GW; Hawking, SW (octubre de 1978). "Multiinstantones gravitacionales". Physics Letters B . 78 (4): 430–432. Bibcode :1978PhLB...78..430G. doi :10.1016/0370-2693(78)90478-1.
• Gibbons, GW; Hawking, SW (octubre de 1979). "Clasificación de simetrías de instantón gravitacional". Communications in Mathematical Physics . 66 (3): 291–310. Bibcode :1979CMaPh..66..291G. doi :10.1007/BF01197189. S2CID  123183399.
• Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J. (abril de 1978). "Soluciones autoduales asintóticamente planas para la gravedad euclidiana". Physics Letters B . 74 (3): 249–251. Bibcode :1978PhLB...74..249E. doi :10.1016/0370-2693(78)90566-X. OSTI  1446816. S2CID  16380482.
• Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J (julio de 1979). "Soluciones autoduales a la gravedad euclidiana". Anales de Física . 120 (1): 82–106. Bibcode :1979AnPhy.120...82E. doi :10.1016/0003-4916(79)90282-3. OSTI  1447072. S2CID  48866858.
• Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J. (diciembre de 1979). "Instantones gravitacionales". Relatividad general y gravitación . 11 (5): 315–320. Código Bibliográfico :1979GReGr..11..315E. doi :10.1007/BF00759271. S2CID  123806150.
• Kronheimer, PB (1989). "La construcción de espacios ALE como cocientes hiper-Kähler". Journal of Differential Geometry . 29 (3): 665–683. doi : 10.4310/jdg/1214443066 .