En matemáticas , el plano proyectivo complejo , normalmente denominado P 2 ( C ), es el espacio proyectivo complejo bidimensional . Es una variedad compleja de dimensión compleja 2, descrita por tres coordenadas complejas.
donde, sin embargo, se identifican los tripletes que se diferencian por un reescalado global:
Es decir, se trata de coordenadas homogéneas en el sentido tradicional de la geometría proyectiva .
Los números de Betti del plano proyectivo complejo son
La dimensión media 2 se explica por la clase de homología de la línea proyectiva compleja, o esfera de Riemann , que se encuentra en el plano. Los grupos de homotopía no triviales del plano proyectivo complejo son . El grupo fundamental es trivial y todos los demás grupos de homotopía superior son los de la 5 esfera, es decir, la torsión.
En geometría biracional , una superficie racional compleja es cualquier superficie algebraica biracionalmente equivalente al plano proyectivo complejo. Se sabe que cualquier variedad racional no singular se obtiene del plano mediante una secuencia de transformaciones de explosión y sus inversas ("demolición") de curvas, que deben ser de un tipo muy particular. Como caso especial, una cuádrica compleja no singular en P 3 se obtiene desde el plano ampliando dos puntos hasta convertirlos en curvas y luego desplegando la línea que pasa por estos dos puntos; La inversa de esta transformación se puede ver tomando un punto P en la cuádrica Q , ampliándolo y proyectándolo sobre un plano general en P 3 trazando líneas que pasen por P.
El grupo de automorfismos biracionales del plano proyectivo complejo es el grupo de Cremona .
Como variedad de Riemann , el plano proyectivo complejo es una variedad de 4 dimensiones cuya curvatura seccional está pellizcada en un cuarto, pero no estrictamente. Es decir, alcanza ambos límites y, por lo tanto, evita ser una esfera, como lo exigiría el teorema de la esfera . Las normalizaciones rivales son para que la curvatura se pellizque entre 1/4 y 1; alternativamente, entre 1 y 4. Con respecto a la normalización anterior, la superficie incrustada definida por la línea proyectiva compleja tiene curvatura gaussiana 1. Con respecto a la última normalización, el plano proyectivo real incrustado tiene curvatura gaussiana 1.
En la subsección n = 2 del artículo sobre la métrica del estudio Fubini se ofrece una demostración explícita de los tensores de Riemann y Ricci .
