Los ángulos de Euler son tres ángulos introducidos por Leonhard Euler para describir la orientación de un cuerpo rígido con respecto a un sistema de coordenadas fijo . [1]
También pueden representar la orientación de un sistema de referencia móvil en física o la orientación de una base general en álgebra lineal tridimensional .
Los ángulos clásicos de Euler suelen tomar el ángulo de inclinación de tal manera que cero grados representan la orientación vertical. Más tarde, Peter Guthrie Tait y George H. Bryan introdujeron formas alternativas destinadas a su uso en aeronáutica e ingeniería en las que los cero grados representan la posición horizontal.
Los ángulos de Euler se pueden definir por geometría elemental o por composición de rotaciones. La definición geométrica demuestra que tres rotaciones elementales compuestas (rotaciones alrededor de los ejes de un sistema de coordenadas ) son siempre suficientes para alcanzar cualquier cuadro objetivo.
Las tres rotaciones elementales pueden ser extrínsecas (rotaciones alrededor de los ejes xyz del sistema de coordenadas original, que se supone permanece inmóvil), o intrínsecas (rotaciones alrededor de los ejes del sistema de coordenadas giratorio XYZ , solidario con el cuerpo en movimiento, que cambia su orientación con respecto al marco extrínseco después de cada rotación elemental).
En las secciones siguientes, una designación de eje con un superíndice de marca principal (por ejemplo, z ″) denota el nuevo eje después de una rotación elemental.
Los ángulos de Euler normalmente se indican como α , β , γ o ψ , θ , φ . Diferentes autores pueden usar diferentes conjuntos de ejes de rotación para definir los ángulos de Euler, o diferentes nombres para los mismos ángulos. Por lo tanto, cualquier discusión que emplee los ángulos de Euler siempre debe ir precedida de su definición.
Sin considerar la posibilidad de utilizar dos convenciones diferentes para la definición de los ejes de rotación (intrínsecos o extrínsecos), existen doce posibles secuencias de ejes de rotación, divididas en dos grupos:
Los ángulos de Tait-Bryan también se denominan ángulos de Cardán ; ángulos náuticos ; rumbo , elevación y peralte ; o guiñada, cabeceo y balanceo . A veces, ambos tipos de secuencias se denominan "ángulos de Euler". En ese caso, las sucesiones del primer grupo se denominan ángulos de Euler propios o clásicos .
Los ejes del marco original se indican como x , y , z y los ejes del marco rotado como X , Y , Z. La definición geométrica (a veces denominada estática) comienza definiendo la línea de nodos (N) como la intersección de los planos xy y XY (también puede definirse como la perpendicular común a los ejes z y Z y luego escribirse como la producto vectorial N = z × Z ). Usándolo, los tres ángulos de Euler se pueden definir de la siguiente manera:
Los ángulos de Euler entre dos sistemas de referencia se definen sólo si ambos sistemas tienen la misma lateralidad .
Las rotaciones intrínsecas son rotaciones elementales que ocurren alrededor de los ejes de un sistema de coordenadas XYZ unido a un cuerpo en movimiento. Por tanto, cambian su orientación después de cada rotación elemental. El sistema XYZ gira, mientras que xyz está fijo. Comenzando con XYZ superpuesto a xyz , se puede usar una composición de tres rotaciones intrínsecas para alcanzar cualquier orientación objetivo para XYZ .
Los ángulos de Euler se pueden definir mediante rotaciones intrínsecas. Se puede imaginar que el marco rotado XYZ está inicialmente alineado con xyz , antes de sufrir las tres rotaciones elementales representadas por los ángulos de Euler. Sus sucesivas orientaciones pueden denotarse de la siguiente manera:
Para la secuencia de rotaciones mencionada anteriormente, la línea de nodos N se puede definir simplemente como la orientación de X después de la primera rotación elemental. Por tanto, N puede denotarse simplemente por x ′. Además , dado que la tercera rotación elemental ocurre alrededor de Z , no cambia la orientación de Z. Por tanto Z coincide con z ″. Esto nos permite simplificar la definición de los ángulos de Euler de la siguiente manera:
Las rotaciones extrínsecas son rotaciones elementales que ocurren alrededor de los ejes del sistema de coordenadas fijo xyz . El sistema XYZ gira, mientras que xyz está fijo. Comenzando con XYZ superpuesto a xyz , se puede usar una composición de tres rotaciones extrínsecas para alcanzar cualquier orientación objetivo para XYZ . Los ángulos de Euler o Tait-Bryan ( α , β , γ ) son las amplitudes de estas rotaciones elementales. Por ejemplo, la orientación objetivo se puede alcanzar de la siguiente manera (obsérvese el orden inverso de la aplicación del ángulo de Euler):
En resumen, las tres rotaciones elementales ocurren alrededor de z , x y z . De hecho, esta secuencia a menudo se denomina z - x - z (o 3-1-3). Los conjuntos de ejes de rotación asociados tanto con los ángulos propios de Euler como con los ángulos de Tait-Bryan se denominan comúnmente utilizando esta notación (ver arriba para más detalles).
Si cada paso de la rotación actúa sobre el sistema de coordenadas giratorio XYZ, la rotación es intrínseca ( ZX'-Z'' ). La rotación intrínseca también se puede indicar 3-1-3.
Los ángulos se definen comúnmente según la regla de la mano derecha . Es decir, tienen valores positivos cuando representan una rotación que aparece en el sentido de las agujas del reloj cuando se mira en la dirección positiva del eje, y valores negativos cuando la rotación aparece en el sentido contrario a las agujas del reloj. La convención opuesta (regla de la mano izquierda) se adopta con menos frecuencia.
Acerca de los rangos (usando notación de intervalo ):
Los ángulos α , β y γ están determinados de forma única excepto en el caso singular de que los planos xy y XY sean idénticos, es decir, cuando el eje z y el eje Z tienen direcciones iguales o opuestas. De hecho, si el eje z y el eje Z son iguales, β = 0 y sólo ( α + γ ) está definido de forma única (no los valores individuales) y, de manera similar, si el eje z y el eje Z son opuestos, β = π y solo ( α − γ ) está definido de forma única (no los valores individuales). Estas ambigüedades se conocen como bloqueo de cardán en las aplicaciones.
Hay seis posibilidades para elegir los ejes de rotación para los ángulos de Euler adecuados. En todos ellos el primer y tercer eje de rotación son iguales. Las seis secuencias posibles son:
La precesión , nutación y rotación intrínseca (giro) se definen como los movimientos que se obtienen al cambiar uno de los ángulos de Euler dejando los otros dos constantes. Estos movimientos no se expresan en términos del marco externo, o en términos del marco del cuerpo rotado en movimiento conjunto, sino en una mezcla. Constituyen un sistema de ejes de rotación mixto , donde el primer ángulo mueve la línea de nodos alrededor del eje externo z , el segundo gira alrededor de la línea de nodos N y el tercero es una rotación intrínseca alrededor de Z , eje fijo en el cuerpo. que se mueve.
La definición estática implica que:
Si β es cero, no hay rotación alrededor de N. Como consecuencia, Z coincide con z , α y γ representan rotaciones alrededor del mismo eje ( z ), y la orientación final se puede obtener con una sola rotación alrededor de z , en un ángulo igual a α + γ .
Como ejemplo, considere un top . La peonza gira alrededor de su propio eje de simetría; esto corresponde a su rotación intrínseca. También gira alrededor de su eje de pivote, con su centro de masa orbitando el eje de pivote; esta rotación es una precesión. Finalmente, la capota puede oscilar hacia arriba y hacia abajo; el ángulo de inclinación es el ángulo de nutación. El mismo ejemplo se puede ver con los movimientos de la tierra.
Aunque los tres movimientos pueden representarse mediante un operador de rotación con coeficientes constantes en algún cuadro, estos operadores no pueden representarlos todos al mismo tiempo. Dado un sistema de referencia, como máximo uno de ellos estará libre de coeficientes. Sólo la precesión puede expresarse en general como una matriz en la base del espacio sin dependencias de los otros ángulos.
Estos movimientos también se comportan como un conjunto de cardán. Si nosotros [ ¿ quién? ] supongamos un conjunto de cuadros, capaces de moverse cada uno respecto del anterior según un solo ángulo, a modo de cardán, existirá un cuadro externo fijo, un cuadro final y dos cuadros intermedios, que se denominan "cuadros intermedios". ". Los dos del medio funcionan como dos anillos de cardán que permiten que el último cuadro alcance cualquier orientación en el espacio.
El segundo tipo de formalismo se llama ángulos de Tait-Bryan , en honor a Peter Guthrie Tait y George H. Bryan . Es la convención normalmente utilizada para aplicaciones aeroespaciales, de modo que la elevación de cero grados representa la actitud horizontal. Los ángulos de Tait-Bryan representan la orientación de la aeronave con respecto al marco mundial. Cuando se trata de otros vehículos, son posibles diferentes convenciones de ejes .
Las definiciones y notaciones utilizadas para los ángulos de Tait-Bryan son similares a las descritas anteriormente para los ángulos propios de Euler (definición geométrica, definición de rotación intrínseca, definición de rotación extrínseca). La única diferencia es que los ángulos de Tait-Bryan representan rotaciones alrededor de tres ejes distintos (por ejemplo, x - y - z , o x - y ′- z ″), mientras que los ángulos propios de Euler utilizan el mismo eje para la primera y la tercera rotación elemental ( por ejemplo, z - x - z , o z - x ′- z ″).
Esto implica una definición diferente de la línea de nodos en la construcción geométrica. En el caso de los ángulos propios de Euler, se definió como la intersección entre dos planos cartesianos homólogos (paralelos cuando los ángulos de Euler son cero; por ejemplo, xy y XY ). En el caso de los ángulos de Tait-Bryan, se define como la intersección de dos planos no homólogos (perpendiculares cuando los ángulos de Euler son cero; por ejemplo, xy e YZ ).
Las tres rotaciones elementales pueden ocurrir ya sea alrededor de los ejes del sistema de coordenadas original, que permanece inmóvil (rotaciones extrínsecas), o alrededor de los ejes del sistema de coordenadas giratorio, que cambia su orientación después de cada rotación elemental (rotaciones intrínsecas).
Hay seis posibilidades para elegir los ejes de rotación para los ángulos de Tait-Bryan. Las seis secuencias posibles son:
La convención de Tait-Bryan se utiliza ampliamente en ingeniería con diferentes propósitos. En la práctica existen varias convenciones de ejes para elegir los ejes móvil y fijo, y estas convenciones determinan los signos de los ángulos. Por tanto, es necesario estudiar con atención los signos en cada caso.
El rango de los ángulos ψ y φ cubre 2 π radianes. Para θ el rango cubre π radianes.
Estos ángulos normalmente se toman como uno en el sistema de referencia externo ( rumbo , rumbo ), uno en el sistema móvil intrínseco ( banco ) y otro en un sistema medio, representando una elevación o inclinación con respecto al plano horizontal, que equivale a la línea de nodos para este propósito.
Para un avión, se pueden obtener con tres rotaciones alrededor de sus ejes principales si se hacen en el orden correcto. Una guiñada obtendrá el rumbo, un cabeceo producirá la elevación y un balanceo dará el ángulo de inclinación. Por lo tanto, en el sector aeroespacial a veces se les llama guiñada, cabeceo y balanceo . Tenga en cuenta que esto no funcionará si las rotaciones se aplican en cualquier otro orden o si los ejes del avión comienzan en cualquier posición no equivalente al marco de referencia.
Los ángulos de Tait-Bryan, siguiendo la convención z - y ′- x ″ (rotaciones intrínsecas), también se conocen como ángulos náuticos , porque pueden usarse para describir la orientación de un barco o avión, o ángulos de Cardán , en honor al matemático italiano y El físico Gerolamo Cardano , quien fue el primero en describir en detalle la suspensión Cardán y la articulación Cardán .
Un problema común es encontrar los ángulos de Euler de un sistema dado. La forma más rápida de obtenerlos es escribir los tres vectores dados como columnas de una matriz y compararlos con la expresión de la matriz teórica (ver tabla de matrices más adelante). Por tanto, se pueden calcular los tres ángulos de Euler. Sin embargo, se puede llegar al mismo resultado evitando el álgebra matricial y utilizando únicamente geometría elemental. Aquí presentamos los resultados de las dos convenciones más utilizadas: ZXZ para ángulos propios de Euler y ZYX para Tait-Bryan. Observe que se puede obtener cualquier otra convención simplemente cambiando el nombre de los ejes.
Suponiendo un marco con vectores unitarios ( X , Y , Z ) dados por sus coordenadas como en el diagrama principal, se puede ver que:
Y desde
porque tenemos
Como es la doble proyección de un vector unitario,
Existe una construcción similar para , proyectándola primero sobre el plano definido por el eje z y la línea de nodos. Como el ángulo entre los planos es y , esto lleva a:
y finalmente, usando la función coseno inverso ,
Suponiendo un marco con vectores unitarios ( X , Y , Z ) dados por sus coordenadas como en este nuevo diagrama (obsérvese que el ángulo theta es negativo), se puede ver que:
Como antes,
porque tenemos
de forma análoga a la anterior:
Buscando expresiones similares a las anteriores:
Tenga en cuenta que las funciones seno y coseno inversas producen dos valores posibles para el argumento. En esta descripción geométrica sólo una de las soluciones es válida. Cuando los ángulos de Euler se definen como una secuencia de rotaciones, todas las soluciones pueden ser válidas, pero solo habrá una dentro de los rangos de los ángulos. Esto se debe a que la secuencia de rotaciones para llegar al cuadro objetivo no es única si los rangos no están definidos previamente. [2]
Para fines computacionales, puede resultar útil representar los ángulos usando atan2 ( y , x ) . Por ejemplo, en el caso de los ángulos propios de Euler:
Los ángulos de Euler son una forma de representar orientaciones. Hay otras, y es posible cambiar hacia y desde otras convenciones. Siempre se requieren tres parámetros para describir orientaciones en un espacio euclidiano tridimensional . Se pueden dar de varias formas, siendo los ángulos de Euler una de ellas; consulte los gráficos sobre SO (3) para otros.
Las representaciones de orientación más utilizadas son las matrices de rotación , el eje-ángulo y los cuaterniones , también conocidos como parámetros de Euler-Rodrigues , que proporcionan otro mecanismo para representar rotaciones 3D. Esto equivale a la descripción de grupo unitario especial.
Expresar rotaciones en 3D como cuaterniones unitarios en lugar de matrices tiene algunas ventajas:
De todos modos, el cálculo de la matriz de rotación es el primer paso para obtener las otras dos representaciones.
Se puede lograr cualquier orientación componiendo tres rotaciones elementales, a partir de una orientación estándar conocida. De manera equivalente, cualquier matriz de rotación R se puede descomponer como un producto de tres matrices de rotación elementales. Por ejemplo:
es una matriz de rotación que puede usarse para representar una composición de rotaciones extrínsecas alrededor de los ejes z , y , x , (en ese orden), o una composición de rotaciones intrínsecas alrededor de los ejes x - y ′- z ″ (en ese orden). Sin embargo, tanto la definición de las matrices de rotación elementales X , Y , Z , como su orden de multiplicación dependen de las elecciones tomadas por el usuario sobre la definición de ambas matrices de rotación y ángulos de Euler (ver, por ejemplo, Ambigüedades en la definición de rotación matrices ). Desafortunadamente, los usuarios adoptan diferentes conjuntos de convenciones en diferentes contextos. La siguiente tabla se construyó de acuerdo con este conjunto de convenciones:
En aras de la simplicidad, la siguiente tabla de productos matriciales utiliza la siguiente nomenclatura:
Estos resultados tabulares están disponibles en numerosos libros de texto. [3] Para cada columna, la última fila constituye la convención más utilizada.
Para cambiar las fórmulas de rotaciones pasivas (o encontrar rotación activa inversa), transponga las matrices (luego cada matriz transforma las coordenadas iniciales de un vector que permanece fijo en las coordenadas del mismo vector medido en el sistema de referencia rotado; mismo eje de rotación, mismo ángulos, pero ahora el sistema de coordenadas gira, en lugar del vector).
La siguiente tabla contiene fórmulas para los ángulos α , β y γ de elementos de una matriz de rotación . [4]
Los ángulos de Euler forman un gráfico en todo SO(3) , el grupo ortogonal especial de rotaciones en el espacio 3D. El gráfico es fluido excepto por una singularidad de estilo de coordenadas polares a lo largo de β = 0 . Consulte los cuadros sobre SO (3) para un tratamiento más completo.
El espacio de rotaciones se llama en general "La Hiperesfera de rotaciones ", aunque este es un nombre inapropiado: el grupo Spin(3) es isométrico a la hiperesfera S 3 , pero el espacio de rotación SO(3) es en cambio isométrico al proyectivo real espacio RP 3 que es un espacio cociente doble de la hiperesfera. Esta ambigüedad 2 a 1 es el origen matemático del espín en física .
Una descomposición similar de tres ángulos se aplica a SU(2) , el grupo unitario especial de rotaciones en el espacio 2D complejo, con la diferencia de que β varía de 0 a 2 π . También se denominan ángulos de Euler.
La medida de Haar para SO(3) en ángulos de Euler viene dada por la parametrización del ángulo de Hopf de SO(3), [ 5] donde parametrizar , el espacio de los ejes de rotación.
Por ejemplo, para generar orientaciones uniformemente aleatorias, sean α y γ uniformes de 0 a 2 π , sean z uniformes de −1 a 1 y sean β = arccos( z ) .
Otras propiedades de los ángulos de Euler y de las rotaciones en general se pueden encontrar en el álgebra geométrica , una abstracción de nivel superior, en la que los cuaterniones son una subálgebra par. La herramienta principal en álgebra geométrica es el rotor donde el ángulo de rotación es el eje de rotación (vector unitario) y es el pseudoescalar (trivector en )
Es posible definir parámetros análogos a los ángulos de Euler en dimensiones superiores a tres. [6] [ ¿ fuente poco confiable? ] En cuatro dimensiones y superiores, el concepto de "rotación alrededor de un eje" pierde significado y en su lugar se convierte en "rotación en un plano". El número de ángulos de Euler necesarios para representar el grupo SO( n ) es n ( n − 1)/2 , igual al número de planos que contienen dos ejes de coordenadas distintos en el espacio euclidiano de n dimensiones.
En SO(4), una matriz de rotación está definida por dos cuaterniones unitarios y, por lo tanto, tiene seis grados de libertad, tres de cada cuaternión.
Su principal ventaja sobre otras descripciones de orientación es que se pueden medir directamente desde un cardán montado en un vehículo. Como los giroscopios mantienen constante su eje de rotación, los ángulos medidos en un marco de giroscopio son equivalentes a los ángulos medidos en un marco de laboratorio. Por lo tanto, los giroscopios se utilizan para conocer la orientación real de las naves espaciales en movimiento y los ángulos de Euler se pueden medir directamente. El ángulo de rotación intrínseco no se puede leer desde un solo cardán, por lo que tiene que haber más de un cardán en una nave espacial. Normalmente hay al menos tres por despido. También existe una relación con el conocido problema del bloqueo del cardán en la ingeniería mecánica . [7]
Cuando se estudian cuerpos rígidos en general, se llama al sistema xyz coordenadas espaciales y al sistema XYZ coordenadas corporales . Las coordenadas espaciales se consideran inmóviles, mientras que las coordenadas del cuerpo se consideran incrustadas en el cuerpo en movimiento. Los cálculos que involucran aceleración , aceleración angular , velocidad angular , momento angular y energía cinética suelen ser más fáciles en las coordenadas del cuerpo, porque entonces el momento del tensor de inercia no cambia con el tiempo. Si también se diagonaliza el tensor de momento de inercia del cuerpo rígido (con nueve componentes, seis de las cuales son independientes), entonces se tiene un conjunto de coordenadas (llamados ejes principales) en el que el tensor de momento de inercia tiene sólo tres componentes.
La velocidad angular de un cuerpo rígido toma una forma simple usando ángulos de Euler en el marco móvil. Además, las ecuaciones de cuerpos rígidos de Euler son más simples porque el tensor de inercia es constante en ese marco.
En ciencia de materiales, la textura cristalográfica (u orientación preferida) se puede describir utilizando ángulos de Euler. En el análisis de textura, los ángulos de Euler proporcionan una representación matemática de la orientación de cristalitos individuales dentro de un material policristalino, lo que permite la descripción cuantitativa del material macroscópico. [9] La definición más común de los ángulos se debe a Bunge y corresponde a la convención ZXZ . Es importante señalar, sin embargo, que la aplicación generalmente implica transformaciones de ejes de cantidades tensoriales, es decir, rotaciones pasivas. Así, la matriz que corresponde a los ángulos de Bunge Euler es la transpuesta de la que se muestra en la tabla anterior. [10]
Los ángulos de Euler, normalmente en la convención Tait-Bryan, también se utilizan en robótica para hablar de los grados de libertad de una muñeca . También se utilizan en el control electrónico de estabilidad de forma similar.
Los sistemas de control de disparos de armas requieren correcciones en los ángulos de orden de las armas (rumbo y elevación) para compensar la inclinación de la plataforma (inclinación y balanceo). En los sistemas tradicionales, un giroscopio estabilizador con un eje de giro vertical corrige la inclinación de la plataforma y estabiliza las miras ópticas y la antena del radar. Sin embargo, los cañones de las armas apuntan en una dirección diferente a la línea de visión del objetivo, para anticipar el movimiento del objetivo y la caída del proyectil debido a la gravedad, entre otros factores. Los soportes de armas giran y cabecean con el plano de la cubierta, pero también requieren estabilización. Las órdenes de los cañones incluyen ángulos calculados a partir de los datos del giroscopio vertical, y esos cálculos implican ángulos de Euler.
Los ángulos de Euler también se utilizan ampliamente en la mecánica cuántica del momento angular. En mecánica cuántica, las descripciones explícitas de las representaciones de SO(3) son muy importantes para los cálculos, y casi todo el trabajo se ha realizado utilizando ángulos de Euler. En la historia temprana de la mecánica cuántica, cuando los físicos y químicos tenían una reacción marcadamente negativa hacia los métodos abstractos de teoría de grupos (llamados Gruppenpest ), la dependencia de los ángulos de Euler también era esencial para el trabajo teórico básico.
Muchos dispositivos informáticos móviles contienen acelerómetros que pueden determinar los ángulos de Euler de estos dispositivos con respecto a la atracción gravitacional de la Tierra. Se utilizan en aplicaciones como juegos, simulaciones de niveles de burbujas y caleidoscopios . [ cita necesaria ]
![{\displaystyle \mathbf {R} =[\cos(\theta /2)-Iu\sin(\theta /2)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccaf9643d65a54a5bd1b4d962d07f605c9c67648)
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