Cobertura ramificada

En matemáticas , una cobertura ramificada es un mapa que es casi un mapa de cobertura , excepto en un conjunto pequeño.

En topología

En topología, un mapa es una cobertura ramificada si es un mapa que cubre todas partes excepto un conjunto denso en ninguna parte conocido como conjunto de sucursales. Los ejemplos incluyen el mapa de una cuña de círculos a un solo círculo, donde el mapa es un homeomorfismo en cada círculo.

En geometría algebraica

En geometría algebraica , el término cobertura ramificada se utiliza para describir morfismos de una variedad algebraica a otra , siendo las dos dimensiones iguales, y la fibra típica de ser de dimensión 0. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$

En ese caso, habrá un conjunto abierto de (para la topología de Zariski ) que es denso en , de manera que la restricción de a (es decir, de a ) no está ramificada . ^{[ aclaración necesaria ]} Dependiendo del contexto, podemos tomar esto como un homeomorfismo local para la topología fuerte , sobre los números complejos , o como un morfismo étale en general (bajo algunas hipótesis ligeramente más fuertes, sobre planitud y separabilidad ). Entonces, genéricamente, tal morfismo se asemeja a un espacio de cobertura en el sentido topológico. Por ejemplo, si y son ambas superficies compactas de Riemann , solo requerimos que sea holomorfa y no constante, y entonces hay un conjunto finito de puntos de , fuera del cual encontramos una cobertura honesta. ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle V'=f^{-1}(W')}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle V'\to W'}$.

locus de ramificación

El conjunto de puntos excepcionales se denomina lugar de ramificación (es decir, es el complemento del conjunto abierto más grande posible ). En general, la monodromía se produce según el grupo fundamental de acción sobre las láminas del revestimiento (este cuadro topológico se puede precisar también en el caso de un campo base general). ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle W'}$

Extensiones Kummer

Las coberturas ramificadas se construyen fácilmente como extensiones de Kummer , es decir, como extensión algebraica del campo funcional . Las curvas hiperelípticas son ejemplos prototípicos.

Cobertura no ramificada

Una cobertura no ramificada es entonces la aparición de un lugar de ramificación vacío.

Ejemplos

Curva elíptica

Los morfismos de curvas proporcionan muchos ejemplos de coberturas ramificadas. Por ejemplo, sea C la curva elíptica de la ecuación

${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-2)=0.}$

La proyección de C sobre el eje x es una cubierta ramificada con un lugar de ramificación dado por

${\displaystyle x(x-1)(x-2)=0.}$

Esto se debe a que para estos tres valores de x la fibra es el punto doble, mientras que para cualquier otro valor de x , la fibra consta de dos puntos distintos (sobre un campo algebraicamente cerrado ). ${\displaystyle y^{2}=0,}$

Esta proyección induce una extensión algebraica de grado dos de los campos funcionales : además, si tomamos los campos fraccionarios de los anillos conmutativos subyacentes, obtenemos el morfismo

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to \mathbb {C} (x)[y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))}$

Por tanto, esta proyección es una cobertura ramificada de grado 2. Esto se puede homogeneizar para construir una cobertura ramificada de grado 2 de la curva elíptica proyectiva correspondiente a la línea proyectiva.

Curva algebraica plana

El ejemplo anterior se puede generalizar a cualquier curva plana algebraica de la siguiente manera. Sea C una curva plana definida por la ecuación f ( x , y ) = 0 , donde f es un polinomio separable e irreducible en dos indeterminados. Si n es el grado de f en y , entonces la fibra consta de n puntos distintos, excepto por un número finito de valores de x . Por tanto, esta proyección es una cobertura ramificada de grado n .

Los valores excepcionales de x son las raíces del coeficiente de en f y las raíces del discriminante de f con respecto a y . ${\displaystyle y^{n}}$

Sobre una raíz r del discriminante, hay al menos un punto ramificado, que es un punto crítico o un punto singular . Si r también es una raíz del coeficiente de en f , entonces este punto ramificado está " en el infinito ". ${\displaystyle y^{n}}$

Sobre una raíz s del coeficiente de en f , la curva C tiene una rama infinita y la fibra en s tiene menos de n puntos. Sin embargo, si se extiende la proyección a las terminaciones proyectivas de C y el eje x , y si s no es una raíz del discriminante, la proyección se convierte en una cobertura sobre una vecindad de s . ${\displaystyle y^{n}}$

El hecho de que esta proyección sea una cobertura ramificada de grado n también puede verse considerando los campos funcionales . De hecho, esta proyección corresponde a la extensión de campo de grado n

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to \mathbb {C} (x)[y]/f(x,y).}$

Diversas ramificaciones

También podemos generalizar coberturas ramificadas de la línea con distintos grados de ramificación. Considere un polinomio de la forma

${\displaystyle f(x,y)=g(x)}$

A medida que elegimos diferentes puntos , las fibras dadas por el lugar de fuga varían. En cualquier punto donde la multiplicidad de uno de los términos lineales en la factorización de aumenta en uno, hay una ramificación. ${\displaystyle x=\alpha }$ ${\displaystyle f(\alpha ,y)-g(\alpha )}$ ${\displaystyle f(\alpha ,y)-g(\alpha )}$

Ejemplos teóricos de esquemas

Curvas elípticas

Los morfismos de curvas proporcionan muchos ejemplos de coberturas de esquemas ramificadas. Por ejemplo, el morfismo de una curva elíptica afín a una línea

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [x,y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2)}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x])}$

es una cubierta ramificada con un lugar de ramificación dado por

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [x]}/{(x(x-1)(x-2))}\right)}$

Esto se debe a que en cualquier punto de la fibra se encuentra el esquema. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [y]}/{(y^{2})}\right)}$

Además, si tomamos los campos fraccionarios de los anillos conmutativos subyacentes, obtenemos el homomorfismo de campo.

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to {\mathbb {C} (x)[y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2))},}$

que es una extensión algebraica de grado dos; por lo tanto, obtuvimos una cobertura ramificada de grado 2 de una curva elíptica a la línea afín. Esto se puede homogeneizar para construir un morfismo de una curva elíptica proyectiva . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Curva hiperelíptica

Una curva hiperelíptica proporciona una generalización de la cobertura de grado anterior de la línea afín, al considerar el esquema afín definido por un polinomio de la forma ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle y^{2}-\prod (x-a_{i})}$donde para ${\displaystyle a_{i}\neq a_{j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$

Coberturas de grado superior de la línea afín

Podemos generalizar el ejemplo anterior tomando el morfismo

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f(y)-g(x))}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x])}$

donde no tiene raíces repetidas. Entonces el lugar de ramificación está dado por ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{(f(x))}}\right)}$

donde las fibras están dadas por

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [y]}{(f(y))}}\right)}$

Entonces, obtenemos un morfismo inducido de campos fraccionarios.

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\to {\frac {\mathbb {C} (x)[y]}{(f(y)-g(x))}}}$

Hay un isomorfismo de módulo del objetivo con ${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$

${\displaystyle \mathbb {C} (x)\oplus \mathbb {C} (x)\cdot y\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} (x)\cdot y^{{\text{deg}}(f(y))}}$

De ahí que la cobertura sea de grado . ${\displaystyle {\text{deg}}(f)}$

Curvas superelípticas

Las curvas superelípticas son una generalización de las curvas hiperelípticas y una especialización de la familia de ejemplos anterior, ya que están dadas por esquemas afines a partir de polinomios de la forma ${\displaystyle X/\mathbb {C} }$

${\displaystyle y^{k}-f(x)}$donde y no tiene raíces repetidas. ${\displaystyle k>2}$ ${\displaystyle f(x)}$

Cubiertas ramificadas del espacio proyectivo

Otra clase útil de ejemplos proviene de las coberturas ramificadas del espacio proyectivo. Dado un polinomio homogéneo podemos construir una cobertura ramificada con lugar de ramificación ${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{f(x)}}\right)}$

considerando el morfismo de los esquemas proyectivos

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}][y]}{y^{{\text{deg}}(f)}-f(x)}}\right)\to \mathbb {P} ^{n}}$

Nuevamente, esto será una cobertura de grado . ${\displaystyle {\text{deg}}(f)}$

Aplicaciones

Las coberturas ramificadas vienen con un grupo de transformaciones de simetría . Dado que el grupo de simetría tiene estabilizadores en los puntos del lugar de ramificación, se pueden utilizar cubiertas ramificadas para construir ejemplos de orbifolds o pilas de Deligne-Mumford . ${\displaystyle C\to X}$ ${\displaystyle G}$

Ver también

• Morfismo Étale
• Orbifold
• Pila (matemáticas)

Referencias

• Dimca, Alexandru (1992), Singularidades y topología de hipersuperficies , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97709-6
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157, OCLC  13348052
• Osserman, Brian, Cubiertas ramificadas de la esfera de Riemann (PDF)