Teoría de Kummer

Teoría en álgebra abstracta

En álgebra abstracta y teoría de números , la teoría de Kummer proporciona una descripción de ciertos tipos de extensiones de campo que involucran la unión de raíces n- ésimas de elementos del campo base . La teoría fue desarrollada originalmente por Ernst Eduard Kummer alrededor de la década de 1840 en su trabajo pionero sobre el último teorema de Fermat . Los enunciados principales no dependen de la naturaleza del campo –aparte de su característica , que no debe dividir al número entero n– y, por tanto, pertenecen al álgebra abstracta. La teoría de las extensiones cíclicas del campo K cuando la característica de K divide a n se llama teoría de Artin-Schreier .

La teoría de Kummer es básica, por ejemplo, en la teoría de campos de clases y en general para comprender las extensiones abelianas ; dice que en presencia de suficientes raíces de unidad, las extensiones cíclicas pueden entenderse en términos de extracción de raíces. La principal carga de la teoría de campos de clases es prescindir de raíces adicionales de unidad ('descender' de regreso a campos más pequeños); que es algo mucho más grave.

Extensiones Kummer

Una extensión de Kummer es una extensión de campo L / K , donde para algún entero dado n > 1 tenemos

• K contiene n raíces enésimas distintas de la unidad (es decir, raíces de X ⁿ − 1)
• L / K tiene un grupo abeliano de Galois de exponente n .

Por ejemplo, cuando n = 2, la primera condición siempre es verdadera si K tiene la característica ≠ 2. Las extensiones de Kummer en este caso incluyen extensiones cuadráticas donde a en K es un elemento no cuadrado. Según la solución habitual de ecuaciones cuadráticas , cualquier extensión de grado 2 de K tiene esta forma. Las extensiones de Kummer en este caso también incluyen extensiones bicuadráticas y extensiones multicuadráticas más generales . Cuando K tiene la característica 2, no existen tales extensiones de Kummer. ${\displaystyle L=K({\sqrt {a}})}$

Tomando n = 3, no hay extensiones de Kummer de grado 3 del campo de números racionales Q , ya que para tres raíces cúbicas de 1 se requieren números complejos . Si se toma L como el campo de división de X ³ − a sobre Q , donde a no es un cubo en los números racionales, entonces L contiene un subcampo K con tres raíces cúbicas de 1; eso se debe a que si α y β son raíces del polinomio cúbico, tendremos (α/β) ³ =1 y el cúbico es un polinomio separable . Entonces L / K es una extensión de Kummer.

De manera más general, es cierto que cuando K contiene n raíces n- ésimas distintas de la unidad, lo que implica que la característica de K no divide a n , entonces al unir a K la raíz n- ésima de cualquier elemento a de K se crea una extensión de Kummer ( de grado m , para algunos m dividiendo n ). Como campo de división del polinomio X ⁿ − a , la extensión de Kummer es necesariamente Galois , con un grupo de Galois que es cíclico de orden m . Es fácil seguir la acción de Galois a través de la raíz de la unidad frente a ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}.}$

La teoría de Kummer proporciona afirmaciones inversas. Cuando K contiene n raíces n- ésimas distintas de la unidad, se establece que cualquier extensión abeliana de K del exponente que divide a n se forma mediante la extracción de raíces de elementos de K. Además, si K ^× denota el grupo multiplicativo de elementos distintos de cero de K , las extensiones abelianas de K del exponente n corresponden biyectivamente con subgrupos de

${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

es decir, elementos de K ^× módulo n- ésimas potencias. La correspondencia se puede describir explícitamente de la siguiente manera. Dado un subgrupo

${\displaystyle \Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

la extensión correspondiente viene dada por

${\displaystyle K\left(\Delta ^{\frac {1}{n}}\right),}$

dónde

${\displaystyle \Delta ^{\frac {1}{n}}=\left\{{\sqrt[{n}]{a}}:a\in K^{\times },a\cdot \left(K^{\times }\right)^{n}\in \Delta \right\}.}$

De hecho, basta con unir la raíz n- ésima de un representante de cada elemento de cualquier conjunto de generadores del grupo Δ. Por el contrario, si L es una extensión de Kummer de K , entonces Δ se recupera mediante la regla

${\displaystyle \Delta =\left(K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}\right)/(K^{\times })^{n}.}$

En este caso existe un isomorfismo.

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$

dada por

${\displaystyle a\mapsto \left(\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}\right),}$

donde α es cualquier n- ésima raíz de a en L. Aquí denota el grupo multiplicativo de n- ésimas raíces de la unidad (que pertenecen a K ) y es el grupo de homomorfismos continuos desde equipado con topología Krull hasta con topología discreta (con operación de grupo dada por multiplicación puntual). Este grupo (con topología discreta) también puede verse como el dual de Pontryagin , suponiendo que lo consideremos un subgrupo del grupo circular . Si la extensión L / K es finita, entonces es un grupo discreto finito y tenemos ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})\cong \operatorname {Gal} (L/K),}$

sin embargo, el último isomorfismo no es natural .

Recuperando un 1/ n de un elemento primitivo

Para primo, sea un campo que contenga una extensión de Galois de grado. Tenga en cuenta que el grupo de Galois es cíclico, generado por . Dejar ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \zeta _{p}}$ ${\displaystyle K(\beta )/K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \alpha =\sum _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{l}\sigma ^{l}(\beta )\in K(\beta )}$

Entonces

${\displaystyle \zeta _{p}\sigma (\alpha )=\sum _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{l+1}\sigma ^{l+1}(\beta )=\alpha .}$

Desde y ${\displaystyle \alpha \neq \sigma (\alpha ),K(\alpha )=K(\beta )}$

${\displaystyle \alpha ^{p}=\pm \prod _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{-l}\alpha =\pm \prod _{l=0}^{p-1}\sigma ^{l}(\alpha )=\pm N_{K(\beta )/K}(\alpha )\in K}$,

donde el signo es si es impar y si . ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle p=2}$

Cuando una extensión abeliana de grado es libre de cuadrados tal que , se aplica el mismo argumento a los subcampos Galois de grado para obtener ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle n=\prod _{j=1}^{m}p_{j}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}\in K}$ ${\displaystyle K(\beta _{j})/K}$ ${\displaystyle p_{j}}$

${\displaystyle L=K\left(a_{1}^{1/p_{1}},\ldots ,a_{m}^{1/p_{m}}\right)=K\left(A^{1/p_{1}},\ldots ,A^{1/p_{m}}\right)=K\left(A^{1/n}\right)}$

dónde

${\displaystyle A=\prod _{j=1}^{m}a_{j}^{n/p_{j}}\in K}$.

El mapa de Kummer

Una de las principales herramientas de la teoría de Kummer es el mapa de Kummer. Sea un número entero positivo y sea un campo, que no necesariamente contiene las raíces enésimas de la unidad. Denotando la clausura algebraica de , hay una secuencia exacta corta ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }[m]\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {z\mapsto z^{m}} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {} 0}$

Eligiendo una extensión y tomando -cohomología se obtiene la secuencia ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \mathrm {Gal} ({\overline {K}}/L)}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} L^{\times }/(L^{\times })^{m}\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[m]\right)\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)[m]\xrightarrow {} 0}$

Por el teorema 90 de Hilbert , y por tanto obtenemos un isomorfismo . Este es el mapa de Kummer. También existe una versión de este mapa cuando se consideran todos simultáneamente. Es decir, dado que , tomar el límite directo produce un isomorfismo ${\displaystyle H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)=0}$ ${\displaystyle \delta :L^{\times }/\left(L^{\times }\right)^{m}\xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[m]\right)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L^{\times }/(L^{\times })^{m}=L^{\times }\otimes m^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \delta :L^{\times }\otimes \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}_{tors}\right)}$,

donde tors denota el subgrupo de torsión de raíces de unidad.

Para curvas elípticas

La teoría de Kummer se utiliza a menudo en el contexto de curvas elípticas. Sea una curva elíptica. Hay una secuencia corta y exacta. ${\displaystyle E/K}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} E[m]\xrightarrow {} E\xrightarrow {P\mapsto m\cdot P} E\xrightarrow {} 0}$,

donde la multiplicación por map es sobreyectiva ya que es divisible. Eligiendo una extensión algebraica y tomando cohomología, obtenemos la secuencia de Kummer para : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle 0\xrightarrow {} E(L)/mE(L)\xrightarrow {} H^{1}(L,E[m])\xrightarrow {} H^{1}(L,E)[m]\xrightarrow {} 0}$.

El cálculo del grupo débil de Mordell-Weil es una parte clave de la demostración del teorema de Mordell-Weil . El hecho de que no desaparezca añade una complejidad clave a la teoría. ${\displaystyle E(L)/mE(L)}$ ${\displaystyle H^{1}(L,E)}$

Generalizaciones

Supongamos que G es un grupo finito que actúa sobre un módulo A con un homomorfismo sobreyectivo π del G -módulo A a sí mismo. Supongamos también que G actúa trivialmente sobre el núcleo C de π y que el primer grupo de cohomología H ¹ ( G , A ) es trivial. Entonces ^{, la secuencia exacta de cohomología de grupo muestra que existe un isomorfismo entre AG /π( AG} ) y Hom ( G , C ) .

La teoría de Kummer es el caso especial de esto cuando A es el grupo multiplicativo del cierre separable de un campo k , G es el grupo de Galois, π es el n- ésimo mapa de potencia y C el grupo de n- ésimas raíces de la unidad. La teoría de Artin-Schreier es el caso especial cuando A es el grupo aditivo del cierre separable de un campo k de característica positiva p , G es el grupo de Galois, π es el mapa de Frobenius menos la identidad y C el campo finito de orden p. . Tomar A como un anillo de vectores de Witt truncados da la generalización de Witt de la teoría de Artin-Schreier a extensiones del exponente que divide p ⁿ .

Ver también

• campo cuadrático

Referencias

• "Extensión de Kummer", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Bryan Birch , "Campos ciclotómicos y extensiones de Kummer", en JWS Cassels y A. Frohlich (edd), Teoría algebraica de números , Academic Press , 1973. Capítulo III, págs.