Curva superelíptica

En matemáticas, una curva superelíptica es una curva algebraica definida por una ecuación de la forma

${\displaystyle y^{m}=f(x),}$

donde es un número entero y f es un polinomio de grado con coeficientes en un campo ; más precisamente, es la curva proyectiva suave cuyo campo de función está definido por esta ecuación. El caso y es una curva elíptica , el caso y es una curva hiperelíptica , y el caso y es un ejemplo de curva trigonal . ${\displaystyle m\geq 2}$ ${\displaystyle d\geq 3}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m=2}$ ${\displaystyle d=3}$ ${\displaystyle m=2}$ ${\displaystyle d\geq 5}$ ${\displaystyle m=3}$ ${\displaystyle d\geq 4}$

Algunos autores imponen restricciones adicionales, por ejemplo, que el número entero no debe ser divisible por la característica de , que el polinomio debe ser libre de cuadrados , que los números enteros m y d deben ser coprimos , o alguna combinación de estos. ^[1] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$

El problema diofántico de encontrar puntos enteros en una curva superelíptica se puede resolver mediante un método similar al utilizado para la resolución de ecuaciones hiperelípticas: se utiliza una identidad de Siegel para reducir a una ecuación de Thue .

Definición

De manera más general, una curva superelíptica es una cobertura ramificada cíclica.

${\displaystyle C\to \mathbb {P} ^{1}}$

de la línea proyectiva de grado coprimo a la característica del campo de definición. El grado del mapa de cobertura también se conoce como grado de la curva. Por cobertura cíclica queremos decir que el grupo de Galois de la cobertura (es decir, la extensión del campo de función correspondiente ) es cíclico . ${\displaystyle m\geq 2}$ ${\displaystyle m}$

El teorema fundamental de la teoría de Kummer implica ^{[ cita necesaria ]} que una curva superelíptica de grado definida sobre un campo tiene un modelo afín dado por una ecuación ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle y^{m}=f(x)}$

para algún polinomio de grado con cada raíz teniendo orden , siempre que tenga un punto definido sobre , es decir, si el conjunto de puntos racionales de no está vacío. Por ejemplo, este es siempre el caso cuando es algebraicamente cerrado . En particular, la extensión del campo de función es una extensión de Kummer . ${\displaystyle f\in k[x]}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle <m}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k(C)/k(x)}$

Ramificación

Sea una curva superelíptica definida sobre un campo algebraicamente cerrado y denotemos el conjunto de raíces de in . Definir conjunto Entonces es el conjunto de puntos de ramificación del mapa de cobertura dado por . ${\displaystyle C:y^{m}=f(x)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B'\subset k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle B={\begin{cases}B'&{\text{ if }}m{\text{ divides }}\deg(f),\\B'\cup \{\infty \}&{\text{ otherwise.}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle B\subset \mathbb {P} ^{1}(k)}$ ${\displaystyle C\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle x}$

Para un punto de ramificación afín , denotemos el orden de como raíz de . Como antes, asumimos que . Luego está el índice de ramificación en cada uno de los puntos de ramificación de la curva que se encuentra encima (que en realidad es cierto para cualquiera ). ${\displaystyle \alpha \in B}$ ${\displaystyle r_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1\leq r_{\alpha }<m}$ $${\displaystyle e_{\alpha }={\frac {m}{(m,r_{\alpha })}}}$$ ${\displaystyle e(P_{\alpha ,i})}$ ${\displaystyle (m,r_{\alpha })}$ ${\displaystyle P_{\alpha ,i}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} ^{1}(k)\subset \mathbb {P} ^{1}(k)}$ ${\displaystyle \alpha \in k}$

Para el punto en el infinito, defina el número entero de la siguiente manera. Si entonces . Tenga en cuenta que . Luego, de manera análoga a los demás puntos de ramificación, se calcula el índice de ramificación en los puntos que se encuentran por encima de . En particular, la curva no está ramificada sobre el infinito si y sólo si su grado divide a . ${\displaystyle 0\leq r_{\infty }<m}$ $${\displaystyle s=\min\{t\in \mathbb {Z} \mid mt\geq \deg(f)\},}$$ ${\displaystyle r_{\infty }=ms-\deg(f)}$ ${\displaystyle (m,r_{\infty })=(m,\deg(f))}$ $${\displaystyle e_{\infty }={\frac {m}{(m,r_{\infty })}}}$$ ${\displaystyle e(P_{\infty ,i})}$ ${\displaystyle (m,r_{\infty })}$ ${\displaystyle P_{\infty ,i}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \deg(f)}$

La curva definida como arriba está conectada precisamente cuando y son primos relativos (no necesariamente por pares), lo cual se supone que es el caso. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r_{\alpha }}$

Género

Según la fórmula de Riemann-Hurwitz , el género de una curva superelíptica viene dado por

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}\left(m(|B|-2)-\sum _{\alpha \in B}(m,r_{\alpha })\right)+1.}$

Ver también

• Curva hiperelíptica
• Cobertura ramificada
• Curva de Artin-Schreier
• Teoría de Kummer
• superelipse

Referencias

1. Galbraith, SD; Paulhus, SM; Inteligente, NP (2002). "Aritmética sobre curvas superelípticas". Matemáticas de la Computación . 71 : 394–405. doi : 10.1090/S0025-5718-00-01297-7 . SEÑOR  1863009.

• Hindry, Marc; Silverman, José H. (2000). Geometría diofántica: una introducción . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 201. Springer-Verlag . pag. 361.ISBN​ 0-387-98981-1. Zbl  0948.11023.
• Koo, Ja Kyung (1991). "Sobre diferenciales holomórficos de algún campo de función algebraica de una variable sobre ". Toro. Austral. Matemáticas. Soc . 43 (3): 399–405. doi :10.1017/S0004972700029245. ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Lang, Serge (1978). Curvas elípticas: análisis diofántico . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 231. Springer-Verlag . ISBN 0-387-08489-4.
• Shorey, Tennessee; Tijdeman, R. (1986). Ecuaciones diofánticas exponenciales . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 87. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-26826-5. Zbl  0606.10011.
• Inteligente, NP (1998). La resolución algorítmica de ecuaciones diofánticas . Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 41. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-64633-2.