ecuación de Thue

Ecuación diofántica que implica una forma bivariada irreducible de deg > 2 sobre los racionales

En matemáticas , una ecuación de Thue es una ecuación diofántica de la forma

$${\displaystyle f(x,y)=r,}$$

donde es una forma bivariada irreducible de grado al menos 3 sobre los números racionales, y es un número racional distinto de cero . Recibe su nombre en honor a Axel Thue , quien en 1909 demostró que una ecuación de Thue solo puede tener un número finito de soluciones en números enteros y , un resultado conocido como el teorema de Thue . ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

La ecuación de Thue es resoluble de manera efectiva : existe un límite explícito para las soluciones , de la forma donde las constantes y dependen solo de la forma . Se obtiene un resultado más sólido: si es el campo generado por las raíces de , entonces la ecuación solo tiene un número finito de soluciones con y enteros de , y nuevamente estas pueden determinarse de manera efectiva. ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (C_{1}r)^{C_{2}}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle K}$

Finitud de soluciones y aproximación diofántica

La prueba original de Thue de que la ecuación nombrada en su honor tiene un número finito de soluciones se basa en la prueba de lo que ahora se conoce como el teorema de Thue : afirma que para cualquier número algebraico que tenga grado y para cualquier solo existe un número finito de números enteros coprimos con tales que . La aplicación de este teorema permite deducir casi inmediatamente la finitud de las soluciones. Sin embargo, la prueba de Thue, así como las mejoras posteriores de Siegel , Dyson y Roth fueron ineficaces. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle d\geq 3}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle |\alpha -p/q|<q^{-(d+1+\varepsilon )/2}}$

Algoritmo de solución

Encontrar todas las soluciones de una ecuación de Thue se puede lograr mediante un algoritmo práctico, ^[3] que se ha implementado en los siguientes sistemas de álgebra computacional :

• en PARI/GP como funciones thueinit() y thue() .
• en Magma como funciones ThueObject() y ThueSolve() .
• en Mathematica a través de Reduce[]
• en Maple a través de ThueSolve()

Limitar el número de soluciones

Si bien existen varios métodos efectivos para resolver ecuaciones de Thue (incluidos el método de Baker y el método ádico de Skolem ), estos no son capaces de proporcionar los mejores límites teóricos para el número de soluciones. Se puede calificar un límite efectivo de la ecuación de Thue por los parámetros de los que depende y cuán "buena" es la dependencia. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle C(f,r)}$ ${\displaystyle f(x,y)=r}$

El mejor resultado conocido hoy, basado esencialmente en el trabajo pionero de Bombieri y Schmidt , ^[4] da un límite de la forma , donde es una constante absoluta (es decir, independiente tanto de como ) y es el número de divisores primos distintos de . La mejora cualitativa más significativa del teorema de Bombieri y Schmidt se debe a Stewart , ^[5] quien obtuvo un límite de la forma donde es un divisor de que excede en valor absoluto. Se conjetura que se puede tomar el límite ; es decir, que dependa solo del grado de pero no de sus coeficientes, y sea completamente independiente del entero en el lado derecho de la ecuación. ${\displaystyle C(f,r)=C\cdot (\deg f)^{1+\omega (r)}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \omega (\cdot )}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle C(f,r)=C\cdot (\deg f)^{1+\omega (g)}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle |r|^{3/4}}$ ${\displaystyle C(f,r)=C(\deg f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r}$

Esta es una forma más débil de una conjetura de Stewart y es un caso especial de la conjetura de acotación uniforme para puntos racionales . Esta conjetura ha sido probada para números enteros "pequeños" , donde la pequeñez se mide en términos del discriminante de la forma , por varios autores, incluidos Evertse, Stewart y Akhtari . Stewart y Xiao demostraron una forma fuerte de esta conjetura, afirmando que el número de soluciones está absolutamente acotado, se cumple en promedio (como rangos sobre el intervalo con ) ^[6] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle |r|\leq Z}$ ${\displaystyle Z\rightarrow \infty }$

Véase también

• Teorema de Roth
• Teorema de Faltings

Referencias

1. A. jueves (1909). "Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1909 (135): 284–305. doi :10.1515/crll.1909.135.284. S2CID  125903243.
2. Baker, Alan (1975). Teoría de números trascendentales . Cambridge University Press . pág. 38. ISBN. 0-521-20461-5.
3. N. Tzanakis y BMM de Weger (1989). "Sobre la solución práctica de la ecuación de Thue". Journal of Number Theory . 31 (2): 99–132. doi : 10.1016/0022-314X(89)90014-0 .
4. E. Bombieri y WM Schmidt (1987). "Sobre la ecuación de Thue". Invenciones Mathematicae . 88 (2): 69–81. Código Bib : 1987 InMat..88...69B. doi :10.1007/BF01405092. S2CID  119634267.
5. CL Stewart (1991). "Sobre el número de soluciones para congruencias polinómicas y ecuaciones de Thue". Revista de la Sociedad Matemática Americana . 4 (4): 793–835. doi : 10.2307/2939289 . JSTOR  2939289.
6. CL Stewart y Stanley Yao Xiao (2019). "Sobre la representación de números enteros mediante formas binarias". Mathematische Annalen . 375 (4): 133–163. arXiv : 1605.03427 . doi : 10.1007/s00208-019-01855-y .

Lectura adicional

• Baker, Alan ; Wüstholz, Gisbert (2007). Formas logarítmicas y geometría diofántica . Nuevas monografías matemáticas. Vol. 9. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-88268-2.