curva algebraica

Curve defined as zeros of polynomials

La cúbica de Tschirnhausen es una curva algebraica de grado tres.

En matemáticas , una curva plana algebraica afín es el conjunto cero de un polinomio en dos variables. Una curva plana algebraica proyectiva es el cero establecido en un plano proyectivo de un polinomio homogéneo en tres variables. Una curva plana algebraica afín se puede completar en una curva plana algebraica proyectiva homogeneizando su polinomio definitorio. Por el contrario, una curva proyectiva del plano algebraico de la ecuación homogénea h ( x , y , t ) = 0 puede restringirse a la curva del plano algebraico afín de la ecuación h ( x , y , 1) = 0 . Estas dos operaciones son cada una inversa de la otra; por lo tanto, la frase curva plana algebraica se utiliza a menudo sin especificar explícitamente si se considera el caso afín o proyectivo.

Si el polinomio que define una curva algebraica plana es irreducible , entonces se tiene una curva algebraica plana irreducible . De lo contrario, la curva algebraica es la unión de una o varias curvas irreducibles, llamadas sus componentes , que están definidas por los factores irreducibles.

De manera más general, una curva algebraica es una variedad algebraica de dimensión uno. (En algunos contextos, un conjunto algebraico de dimensión uno también se denomina curva algebraica, pero este no será el caso en este artículo). De manera equivalente, una curva algebraica es una variedad algebraica que es biracionalmente equivalente a una curva plana algebraica irreducible. Si la curva está contenida en un espacio afín o un espacio proyectivo , se puede tomar una proyección para tal equivalencia biracional.

Estas equivalencias birracionales reducen la mayor parte del estudio de curvas algebraicas al estudio de curvas planas algebraicas. Sin embargo, algunas propiedades no se mantienen bajo equivalencia biracional y deben estudiarse en curvas no planas. Éste es, en particular, el caso del grado y la suavidad . Por ejemplo, existen curvas suaves de género 0 y grado mayor que dos, pero cualquier proyección plana de tales curvas tiene puntos singulares (ver Fórmula género-grado ).

Una curva no plana a menudo se denomina curva espacial o curva sesgada .

En geometría euclidiana

Una curva algebraica en el plano euclidiano es el conjunto de puntos cuyas coordenadas son las soluciones de una ecuación polinómica bivariada p ( x , y ) = 0. Esta ecuación suele denominarse ecuación implícita de la curva, en contraste con las curvas que son la gráfica de una función que define explícitamente y como función de x .

Con una curva dada por tal ecuación implícita, los primeros problemas son determinar la forma de la curva y dibujarla. Estos problemas no son tan fáciles de resolver como en el caso de la gráfica de una función, para la cual y puede calcularse fácilmente para varios valores de x . El hecho de que la ecuación definitoria sea un polinomio implica que la curva tiene algunas propiedades estructurales que pueden ayudar a resolver estos problemas.

Cada curva algebraica puede descomponerse únicamente en un número finito de arcos monótonos suaves (también llamados ramas ) a veces conectados por algunos puntos llamados a veces "puntos notables", y posiblemente un número finito de puntos aislados llamados acnodos . Un arco monótono suave es la gráfica de una función suave que está definida y es monótona en un intervalo abierto del eje x . En cada dirección, un arco es ilimitado (generalmente llamado arco infinito ) o tiene un punto final que es un punto singular (esto se definirá más adelante) o un punto con una tangente paralela a uno de los ejes de coordenadas.

Por ejemplo, para la cúbica de Tschirnhausen , hay dos arcos infinitos que tienen como punto final el origen (0,0). Este punto es el único punto singular de la curva. También hay dos arcos que tienen este punto singular como un punto final y un segundo punto final con una tangente horizontal. Finalmente, hay otros dos arcos, cada uno de los cuales tiene uno de estos puntos con tangente horizontal como primer punto final y tiene el único punto con tangente vertical como segundo punto final. Por el contrario, la sinusoide ciertamente no es una curva algebraica, ya que tiene un número infinito de arcos monótonos.

Para dibujar una curva algebraica es importante conocer los puntos destacables y sus tangentes, las ramas infinitas y sus asíntotas (si las hay) y la forma en que los arcos las conectan. También es útil considerar los puntos de inflexión como puntos destacables. Cuando toda esta información se dibuja en una hoja de papel, la forma de la curva suele aparecer con bastante claridad. Si no, basta con añadir algunos puntos más y sus tangentes para obtener una buena descripción de la curva.

Los métodos para calcular los puntos destacables y sus tangentes se describen a continuación en la sección Puntos destacables de una curva plana.

Curvas proyectivas planas

A menudo es deseable considerar curvas en el espacio proyectivo . Una curva algebraica en el plano proyectivo o plano proyectivo curva es el conjunto de los puntos de un plano proyectivo cuyas coordenadas proyectivas son ceros de un polinomio homogéneo en tres variables P ( x , y , z ).

Cada curva algebraica afín de la ecuación p ( x , y ) = 0 puede completarse en la curva proyectiva de la ecuación donde ${\displaystyle ^{h}p(x,y,z)=0,}$

$${\displaystyle ^{h}p(x,y,z)=z^{\deg(p)}p\left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)}$$

homogeneizaciónpPxyzPxypPz ${\displaystyle ^{h}p(x,y,1)=p(x,y)}$ ${\displaystyle p(x,y)=P(x,y,1)}$ ${\displaystyle ^{h}p(x,y,z)=P(x,y,z),}$

Por ejemplo, la curva proyectiva de la ecuación x ² + y ² − z ² es la compleción proyectiva del círculo unitario de la ecuación x ² + y ² − 1 = 0.

Esto implica que una curva afín y su finalización proyectiva son las mismas curvas o, más precisamente, que la curva afín es una parte de la curva proyectiva que es lo suficientemente grande como para definir bien la curva "completa". Este punto de vista se expresa comúnmente llamando "puntos en el infinito" de la curva afín a los puntos (en número finito) de la terminación proyectiva que no pertenecen a la parte afín.

Las curvas proyectivas se estudian frecuentemente por sí mismas. También son útiles para el estudio de curvas afines. Por ejemplo, si p ( x , y ) es el polinomio que define una curva afín, además de las derivadas parciales y , es útil considerar la derivada en el infinito. ${\displaystyle p'_{x}}$ ${\displaystyle p'_{y}}$

$${\displaystyle p'_{\infty }(x,y)={^{h}p'_{z}(x,y,1)}.}$$

Por ejemplo, la ecuación de la tangente de la curva afín de la ecuación p ( x , y ) = 0 en un punto ( a , b ) es

$${\displaystyle xp'_{x}(a,b)+yp'_{y}(a,b)+p'_{\infty }(a,b)=0.}$$

Puntos destacables de una curva plana.

En esta sección, consideramos una curva algebraica plana definida por un polinomio bivariado p ( x , y ) y su terminación proyectiva, definida por la homogeneización de p . ${\displaystyle P(x,y,z)={}^{h}p(x,y,z)}$

Intersección con una línea

Con frecuencia resulta útil conocer los puntos de intersección de una curva con una recta determinada. La intersección con los ejes de coordenadas y las asíntotas son útiles para dibujar la curva. La intersección con una línea paralela a los ejes permite encontrar al menos un punto en cada rama de la curva. Si se dispone de un algoritmo eficiente de búsqueda de raíces , esto permite dibujar la curva trazando el punto de intersección con todas las líneas paralelas al eje y y pasando por cada píxel en el eje x .

Si el polinomio que define la curva tiene un grado d , cualquier línea corta la curva como máximo en d puntos. El teorema de Bézout afirma que este número es exactamente d , si se buscan los puntos en el plano proyectivo sobre un campo algebraicamente cerrado (por ejemplo, los números complejos ) y se cuentan con su multiplicidad . El método de cálculo que sigue demuestra nuevamente este teorema, en este caso simple.

Para calcular la intersección de la curva definida por el polinomio p con la recta de la ecuación ax + by + c = 0, se resuelve la ecuación de la recta para x (o para y si a = 0). Sustituyendo el resultado en p , se obtiene una ecuación univariada q ( y ) = 0 (o q ( x ) = 0, si la ecuación de la recta ha sido resuelta en y ), cada una de cuyas raíces es una coordenada de un punto de intersección . La otra coordenada se deduce de la ecuación de la recta. La multiplicidad de un punto de intersección es la multiplicidad de la raíz correspondiente. Hay un punto de intersección en el infinito si el grado de q es menor que el grado de p ; la multiplicidad de tal punto de intersección en el infinito es la diferencia de los grados de p y q .

Tangente en un punto

La tangente en un punto ( a , b ) de la curva es la recta de la ecuación , como para toda curva diferenciable definida por una ecuación implícita. En el caso de los polinomios, otra fórmula para la tangente tiene un término constante más simple y es más simétrica: ${\displaystyle (x-a)p'_{x}(a,b)+(y-b)p'_{y}(a,b)=0}$

$${\displaystyle xp'_{x}(a,b)+yp'_{y}(a,b)+p'_{\infty }(a,b)=0,}$$

¿Dónde está la derivada en el infinito? La equivalencia de las dos ecuaciones resulta del teorema de la función homogénea de Euler aplicado a P . ${\displaystyle p'_{\infty }(x,y)=P'_{z}(x,y,1)}$

Si la tangente no está definida y el punto es un punto singular . ${\displaystyle p'_{x}(a,b)=p'_{y}(a,b)=0,}$

Esto se extiende inmediatamente al caso proyectivo: La ecuación de la tangente de en el punto de coordenadas proyectivas ( a : b : c ) de la curva proyectiva de la ecuación P ( x , y , z ) = 0 es

$${\displaystyle xP'_{x}(a,b,c)+yP'_{y}(a,b,c)+zP'_{z}(a,b,c)=0,}$$

y los puntos de las curvas que son singulares son los puntos tales que

$${\displaystyle P'_{x}(a,b,c)=P'_{y}(a,b,c)=P'_{z}(a,b,c)=0.}$$

(La condición P ( a , b , c ) = 0 está implícita en estas condiciones, en el teorema de la función homogénea de Euler).

Asíntotas

Cada rama infinita de una curva algebraica corresponde a un punto en el infinito de la curva, es decir, un punto de finalización proyectiva de la curva que no pertenece a su parte afín. La asíntota correspondiente es la tangente de la curva en ese punto. Puede aplicarse la fórmula general para una tangente a una curva proyectiva, pero vale la pena hacerla explícita en este caso.

Sea la descomposición del polinomio que define la curva en sus partes homogéneas, donde p _i es la suma de los monomios de p de grado i . Resulta que ${\displaystyle p=p_{d}+\cdots +p_{0}}$

$${\displaystyle P={^{h}p}=p_{d}+zp_{d-1}+\cdots +z^{d}p_{0}}$$

$${\displaystyle P'_{z}(a,b,0)=p_{d-1}(a,b).}$$

Un punto en el infinito de la curva es un cero de p de la forma ( a , b , 0). De manera equivalente, ( a , b ) es un cero de p _d . El teorema fundamental del álgebra implica que, sobre un campo algebraicamente cerrado (típicamente, el campo de números complejos), p _d se factoriza en un producto de factores lineales. Cada factor define un punto en el infinito de la curva: si bx  −  ay es tal factor, entonces define el punto en el infinito ( a , b , 0). Sobre los reales, p _d se factoriza en factores lineales y cuadráticos. Los factores cuadráticos irreducibles definen puntos no reales en el infinito, y los puntos reales están dados por los factores lineales. Si ( a , b , 0) es un punto en el infinito de la curva, se dice que ( a , b ) es una dirección asintótica . Estableciendo q = p _d la ecuación de la asíntota correspondiente es

$${\displaystyle xq'_{x}(a,b)+yq'_{y}(a,b)+p_{d-1}(a,b)=0.}$$

Si y la asíntota es la recta del infinito, y, en el caso real, la curva tiene una rama que parece una parábola . En este caso se dice que la curva tiene una rama parabólica . Si ${\displaystyle q'_{x}(a,b)=q'_{y}(a,b)=0}$ ${\displaystyle p_{d-1}(a,b)\neq 0,}$

$${\displaystyle q'_{x}(a,b)=q'_{y}(a,b)=p_{d-1}(a,b)=0,}$$

Puntos singulares

Los puntos singulares de una curva de grado d definida por un polinomio p ( x , y ) de grado d son las soluciones del sistema de ecuaciones:

$${\displaystyle p'_{x}(x,y)=p'_{y}(x,y)=p(x,y)=0.}$$

característica cero

$${\displaystyle p'_{x}(x,y)=p'_{y}(x,y)=p'_{\infty }(x,y)=0,}$$

teorema de la función homogénea de Eulerdd ${\displaystyle p'_{\infty }(x,y)=P'_{z}(x,y,1).}$

De manera similar, para una curva proyectiva definida por un polinomio homogéneo P ( x , y , z ) de grado d , los puntos singulares tienen las soluciones del sistema

$${\displaystyle P'_{x}(x,y,z)=P'_{y}(x,y,z)=P'_{z}(x,y,z)=0}$$

coordenadas homogéneas ${\displaystyle P(x,y,z)}$

Esto implica que el número de puntos singulares es finito siempre que p ( x , y ) o P ( x , y , z ) sean cuadrados libres . El teorema de Bézout implica así que el número de puntos singulares es como máximo ( d  − 1) ² , pero este límite no es definido porque el sistema de ecuaciones está sobredeterminado . Si se permiten polinomios reducibles , el límite definido es d ( d  − 1)/2, este valor se alcanza cuando el polinomio se factoriza en factores lineales, es decir, si la curva es la unión de d rectas. Para curvas y polinomios irreducibles, el número de puntos singulares es como máximo ( d  − 1)( d  − 2)/2, debido a la fórmula que expresa el género en términos de las singularidades (ver más abajo). El máximo lo alcanzan las curvas de género cero cuyas singularidades tienen multiplicidad dos y tangentes distintas (ver más abajo).

La ecuación de las tangentes en un punto singular viene dada por la parte homogénea distinta de cero del grado más bajo en la serie de Taylor del polinomio en el punto singular. Cuando se cambian las coordenadas para poner el punto singular en el origen, la ecuación de las tangentes en el punto singular es, por tanto, la parte homogénea distinta de cero del grado más bajo del polinomio, y la multiplicidad del punto singular es el grado de este punto singular. parte.

Estructura analítica

El estudio de la estructura analítica de una curva algebraica en la vecindad de un punto singular proporciona información precisa de la topología de singularidades. De hecho, cerca de un punto singular, una curva algebraica real es la unión de un número finito de ramas que se cruzan sólo en el punto singular y parecen una cúspide o una curva suave.

Cerca de un punto regular, una de las coordenadas de la curva puede expresarse como una función analítica de la otra coordenada. Este es un corolario del teorema de la función implícita analítica e implica que la curva es suave cerca del punto. Cerca de un punto singular, la situación es más complicada e involucra series de Puiseux , que proporcionan ecuaciones paramétricas analíticas de las ramas.

Para describir una singularidad, vale la pena traducir la curva para tener la singularidad en el origen. Este consiste en un cambio de variable de la forma donde están las coordenadas del punto singular. En lo sucesivo se supone que el punto singular considerado siempre está en el origen. ${\displaystyle X=x-a,Y=y-b,}$ ${\displaystyle a,b}$

La ecuación de una curva algebraica es donde f es un polinomio en x e y . Este polinomio puede considerarse como un polinomio en y , con coeficientes en el campo algebraicamente cerrado de la serie de Puiseux en x . Por tanto , f puede factorizarse en factores de la forma donde P es una serie de Puiseux. Todos estos factores son diferentes si f es un polinomio irreducible , porque esto implica que f no tiene cuadrados , una propiedad que es independiente del campo de coeficientes. ${\displaystyle f(x,y)=0,}$ ${\displaystyle y-P(x),}$

La serie Puiseux que ocurre aquí tiene la forma

$${\displaystyle P(x)=\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}x^{n/d},}$$

ddcoprimon ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$

Sea una primitiva d- ésima raíz de la unidad . Si la serie de Puiseux anterior ocurre en la factorización de , entonces la serie d ${\displaystyle \omega _{d}}$ ${\displaystyle f(x,y)=0}$

$${\displaystyle P_{i}(x)=\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}\omega _{d}^{i}x^{n/d}}$$

la teoría de Galoisdconjugadasde ramificación d

En el caso de una curva real, es decir una curva definida por un polinomio con coeficientes reales, pueden ocurrir tres casos. Si ninguno tiene coeficientes reales, entonces uno tiene una rama no real. Si alguno tiene coeficientes reales, entonces se puede elegir como . Si d es impar, entonces cada valor real de x proporciona un valor real de y uno tiene una rama real que parece regular, aunque es singular si d > 1 . Si d es par, entonces y tiene valores reales, pero sólo para x ≥ 0 . En este caso, la rama real parece una cúspide (o es una cúspide, dependiendo de la definición de cúspide que se utilice). ${\displaystyle P_{i}(x)}$ ${\displaystyle P_{i}(x)}$ ${\displaystyle P_{0}(x)}$ ${\displaystyle P_{0}(x)}$ ${\displaystyle P_{0}(x)}$ ${\displaystyle P_{d/2}(x)}$

Por ejemplo, la cúspide ordinaria tiene una sola rama. Si está definido por la ecuación, entonces la factorización es el índice de ramificación es 2, y los dos factores son reales y definen cada uno una media rama. Si se gira la cúspide, la ecuación se convierte en y la factorización es con (el coeficiente no se ha simplificado a j para mostrar cómo se especializa la definición anterior de ). Aquí el índice de ramificación es 3 y sólo un factor es real; esto demuestra que, en el primer caso, los dos factores deben considerarse como definidores de la misma rama. ${\displaystyle y^{2}-x^{3}=0,}$ ${\displaystyle (y-x^{3/2})(y+x^{3/2});}$ ${\displaystyle y^{3}-x^{2}=0,}$ ${\displaystyle (y-x^{2/3})(y-j^{2}x^{2/3})(y-(j^{2})^{2}x^{2/3}),}$ ${\displaystyle j=(1+{\sqrt {-3}})/2}$ ${\displaystyle (j^{2})^{2}}$ ${\displaystyle P_{i}(x)}$

Curvas algebraicas no planas

Una curva algebraica es una variedad algebraica de dimensión uno. Esto implica que una curva afín en un espacio afín de dimensión n está definida por, al menos, n  − 1 polinomios en n variables. Para definir una curva, estos polinomios deben generar un ideal primo de dimensión 1 de Krull . Esta condición no es fácil de probar en la práctica. Por lo tanto, puede preferirse la siguiente forma de representar curvas no planas.

Sean n polinomios en dos variables x ₁ y x ₂ tales que f es irreducible. Los puntos en el espacio afín de dimensión n cuyas coordenadas satisfacen las ecuaciones e inecuaciones ${\displaystyle f,g_{0},g_{3},\ldots ,g_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(x_{1},x_{2})=0\\&g_{0}(x_{1},x_{2})\neq 0\\x_{3}&={\frac {g_{3}(x_{1},x_{2})}{g_{0}(x_{1},x_{2})}}\\&{}\ \vdots \\x_{n}&={\frac {g_{n}(x_{1},x_{2})}{g_{0}(x_{1},x_{2})}}\end{aligned}}}$$

son todos los puntos de una curva algebraica en la que se ha eliminado un número finito de puntos. Esta curva está definida por un sistema de generadores del ideal de los polinomios h tal que existe un número entero k tal pertenece al ideal generado por . Esta representación es una equivalencia biracional entre la curva y la curva plana definida por f . Toda curva algebraica puede representarse de esta forma. Sin embargo, puede ser necesario un cambio lineal de variables para hacer casi siempre inyectiva la proyección sobre las dos primeras variables. Cuando se necesita un cambio de variables, casi todo cambio es conveniente, siempre que esté definido sobre un campo infinito. ${\displaystyle g_{0}^{k}h}$ ${\displaystyle f,x_{3}g_{0}-g_{3},\ldots ,x_{n}g_{0}-g_{n}}$

Esta representación nos permite deducir fácilmente cualquier propiedad de una curva algebraica no plana, incluida su representación gráfica, a partir de la propiedad correspondiente de su proyección plana.

Para una curva definida por sus ecuaciones implícitas, la representación anterior de la curva se puede deducir fácilmente a partir de una base de Gröbner para un ordenamiento de bloques tal que el bloque de las variables más pequeñas sea ( x ₁ , x ₂ ). El polinomio f es el único polinomio en la base que depende sólo de x ₁ y x ₂ . Las fracciones g _i / g ₀ se obtienen eligiendo, para i = 3, ..., n , un polinomio en la base que es lineal en x _i y depende sólo de x ₁ , x ₂ y x _i . Si estas elecciones no son posibles, esto significa que las ecuaciones definen un conjunto algebraico que no es una variedad, o que la variedad no es de dimensión uno, o que hay que cambiar de coordenadas. El último caso ocurre cuando f existe y es único, y, para i = 3,…, n , existen polinomios cuyo monomio principal depende sólo de x ₁ , x ₂ y x _i .

Campos de funciones algebraicas

El estudio de las curvas algebraicas se puede reducir al estudio de las curvas algebraicas irreducibles : aquellas curvas que no pueden escribirse como la unión de dos curvas más pequeñas. Hasta la equivalencia biracional , las curvas irreducibles sobre un campo F son categóricamente equivalentes a campos de funciones algebraicas en una variable sobre F . Tal campo de función algebraica es una extensión de campo K de F que contiene un elemento x que es trascendental sobre F , y tal que K es una extensión algebraica finita de F ( x ), que es el campo de funciones racionales en el indeterminado x sobre  F.​

Por ejemplo, considere el campo C de números complejos, sobre el cual podemos definir el campo C ( x ) de funciones racionales en  C . Si y ² = x ³ − x − 1 , entonces el campo C ( x ,  y ) es un campo de función elíptica . El elemento x no está determinado de forma única; el campo también puede considerarse, por ejemplo, como una extensión de C ( y ). La curva algebraica correspondiente al campo de función es simplemente el conjunto de puntos ( x ,  y ) en C ² que satisfacen y ² = x ³ − x − 1 .

Si el campo F no es algebraicamente cerrado, el punto de vista de los campos funcionales es un poco más general que el de considerar el lugar geométrico de los puntos, ya que incluimos, por ejemplo, "curvas" sin puntos sobre ellas. Por ejemplo, si el campo base F es el campo R de los números reales, entonces x ² + y ² = −1 define un campo de extensión algebraico de R ( x ), pero la curva correspondiente considerada como un subconjunto de R ² no tiene puntos. . La ecuación x ² + y ² = −1 define una curva algebraica irreducible sobre R en el sentido del esquema (un esquema integral , unidimensional separado de tipo finito sobre R ). En este sentido, la correspondencia uno a uno entre curvas algebraicas irreducibles sobre F (hasta equivalencia biracional) y campos de funciones algebraicas en una variable sobre F se mantiene en general.

Dos curvas pueden ser biracionalmente equivalentes (es decir, tener campos de función isomórficos ) sin ser isomórficas como curvas. La situación se vuelve más fácil cuando se trata de curvas no singulares , es decir, aquellas que carecen de singularidades. Dos curvas proyectivas no singulares sobre un campo son isomorfas si y sólo si sus campos funcionales son isomorfos.

El teorema de Tsen trata sobre el campo funcional de una curva algebraica sobre un campo algebraicamente cerrado.

Curvas complejas y superficies reales.

Una curva algebraica proyectiva compleja reside en el espacio proyectivo complejo CP ⁿ de n dimensiones . Este tiene dimensión compleja n , pero dimensión topológica, como una variedad real , 2 n , y es compacto , conexo y orientable . Una curva algebraica sobre C también tiene dimensión topológica dos; en otras palabras, es una superficie .

El género topológico de esta superficie, es decir, el número de asas o agujeros de rosquilla, es igual al género geométrico de la curva algebraica que puede calcularse por medios algebraicos. En resumen, si se considera una proyección plana de una curva no singular que tiene grado d y solo singularidades ordinarias (singularidades de multiplicidad dos con tangentes distintas), entonces el género es ( d − 1)( d − 2)/2 − k , donde k es el número de estas singularidades.

Superficies compactas de Riemann

Una superficie de Riemann es una variedad analítica compleja conectada de una dimensión compleja, lo que la convierte en una variedad real conectada de dos dimensiones. Es compacto si es compacto como espacio topológico.

Existe una triple equivalencia de categorías entre la categoría de curvas algebraicas proyectivas suaves e irreducibles sobre C (con mapas regulares no constantes como morfismos), la categoría de superficies compactas de Riemann (con mapas holomorfos no constantes como morfismos) y lo opuesto a la categoría de campos de funciones algebraicas en una variable sobre C (con homomorfismos de campo que fijan C como morfismos). Esto significa que al estudiar estos tres temas estamos, en cierto sentido, estudiando la misma cosa. Permite utilizar métodos analíticos complejos en geometría algebraica y métodos algebraico-geométricos en análisis complejos y métodos de teoría de campos en ambos. Esto es característico de una clase mucho más amplia de problemas de geometría algebraica.

Véase también geometría algebraica y geometría analítica para obtener una teoría más general.

Singularidades

Utilizando el concepto intrínseco de espacio tangente , los puntos P de una curva algebraica C se clasifican en suaves (sinónimo: no singular ), o bien singulares . Dados n  − 1 polinomios homogéneos en n  + 1 variables, podemos encontrar la matriz jacobiana como la matriz ( n  − 1)×( n  + 1) de las derivadas parciales. Si el rango de esta matriz es n  − 1, entonces los polinomios definen una curva algebraica (de lo contrario definen una variedad algebraica de dimensión superior). Si el rango sigue siendo n  − 1 cuando la matriz jacobiana se evalúa en un punto P de la curva, entonces el punto es un punto suave o regular; de lo contrario es un punto singular . En particular, si la curva es una curva algebraica proyectiva plana, definida por una única ecuación polinómica homogénea f ( x , y , z ) = 0, entonces los puntos singulares son precisamente los puntos P donde el rango de 1×( n  + 1) la matriz es cero, es decir, donde

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)={\frac {\partial f}{\partial z}}(P)=0.}$$

Dado que f es un polinomio, esta definición es puramente algebraica y no hace suposiciones sobre la naturaleza del campo F , que en particular no necesita ser números reales o complejos. Por supuesto, debe recordarse que (0,0,0) no es un punto de la curva y, por tanto, no es un punto singular.

De manera similar, para una curva algebraica afín definida por una única ecuación polinómica f ( x , y ) = 0, entonces los puntos singulares son precisamente los puntos P de la curva donde el rango de la matriz jacobiana 1× n es cero, es decir, dónde

$${\displaystyle f(P)={\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)=0.}$$

Las singularidades de una curva no son invariantes biracionales. Sin embargo, localizar y clasificar las singularidades de una curva es una forma de calcular el género , que es una invariante biracional. Para que esto funcione, debemos considerar la curva proyectivamente y exigir que F sea algebraicamente cerrada, de modo que se consideren todas las singularidades que pertenecen a la curva.

Clasificación de singularidades

x3  = y2^​​

Los puntos singulares incluyen múltiples puntos donde la curva se cruza sobre sí misma, y ​​también varios tipos de cúspide , por ejemplo la que muestra la curva con ecuación x ³  = y ² en (0,0).

Una curva C tiene como máximo un número finito de puntos singulares. Si no tiene ninguno, se le puede llamar suave o no singular . Comúnmente, esta definición se entiende para un campo algebraicamente cerrado y para una curva C en un espacio proyectivo (es decir, completo en el sentido de geometría algebraica). Por ejemplo, la curva plana de la ecuación se considera singular, ya que tiene un punto singular (una cúspide) en el infinito. ${\displaystyle y-x^{3}=0}$

En el resto de esta sección, se considera una curva plana C definida como el conjunto cero de un polinomio bivariado f ( x , y ) . Algunos de los resultados, pero no todos, pueden generalizarse a curvas no planas.

Los puntos singulares se clasifican mediante varias invariantes. La multiplicidad m se define como el número entero máximo tal que las derivadas de f para todos los órdenes hasta m – 1 desaparecen (también el número mínimo de intersección entre la curva y una línea recta en P ). Intuitivamente, un punto singular tieneinvariante delta δsi concentraδpuntos dobles ordinarios en P . Para hacer esto preciso, elde explosiónproduce los llamadospuntos infinitamente cercanos, y la suma de m ( m  − 1)/2sobre los puntos infinitamente cercanos, dondemes su multiplicidad, produceδ. Para una curva irreducible y reducida y un punto P podemos definirδalgebraicamente como la longitud dedondeestá el anillo local enPyes su cierre integral.^[1] ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {O}}}_{P}/{\mathcal {O}}_{P}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{P}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {O}}}_{P}}$

El número de Milnor μ de una singularidad es el grado de mapeograduación f ( x , y )/|graduado  f ( x , y )|en la pequeña esfera de radio ε, en el sentido del grado topológico de un mapeo continuo , donde grad  f es el campo vectorial gradiente (complejo) de f . Está relacionado con δ y r mediante la fórmula de Milnor-Jung,

µ = 2δ − r + 1.

Aquí, el número de ramificación r de P es el número de ramas localmente irreducibles en P. Por ejemplo, r = 1 en una cúspide ordinaria y r = 2 en un punto doble ordinario. La multiplicidad m es al menos r , y que P es singular si y sólo si m es al menos 2. Además, δ es al menos m ( m -1)/2.

Calcular las invariantes delta de todas las singularidades permite determinar el género g de la curva; si d es el grado, entonces

$${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},}$$

donde la suma se toma sobre todos los puntos singulares P de la curva plana proyectiva compleja. Se llama fórmula de género .

Asigne los invariantes [ m , δ, r ] a una singularidad, donde m es la multiplicidad, δ es la invariante delta y r es el número de ramificación. Entonces una cúspide ordinaria es un punto con invariantes [2,1,1] y un punto doble ordinario es un punto con invariantes [2,1,2], y un punto m -múltiple ordinario es un punto con invariantes [ m , m ( metro  − 1)/2, metro ].

Ejemplos de curvas

Curvas racionales

Una curva racional , también llamada curva unicursal, es cualquier curva que sea birracionalmente equivalente a una recta, que podemos tomar como una recta proyectiva; en consecuencia, podemos identificar el campo funcional de la curva con el campo de funciones racionales en una F ( x ) indeterminada. Si F es algebraicamente cerrada, esto equivale a una curva de género cero; sin embargo, el campo de todas las funciones algebraicas reales definidas en la variedad algebraica real x ²  +  y ²  = −1 es un campo de género cero que no es un campo de función racional.

Concretamente, una curva racional incrustada en un espacio afín de dimensión n sobre F puede parametrizarse (excepto en puntos excepcionales aislados) mediante n funciones racionales de un solo parámetro t ; Al reducir estas funciones racionales al mismo denominador, los n +1 polinomios resultantes definen una parametrización polinómica de la finalización proyectiva de la curva en el espacio proyectivo. Un ejemplo es la curva normal racional , donde todos estos polinomios son monomios .

Cualquier sección cónica definida sobre F con un punto racional en F es una curva racional. Se puede parametrizar trazando una recta con pendiente t que pase por el punto racional y una intersección con la curva cuadrática plana; esto da un polinomio con F -coeficientes racionales y una F -racional racional, por lo tanto, la otra raíz es F -racional (es decir, pertenece a F ) también.

x2 + xy + y2 ⁼ 1^​

Por ejemplo, considere la elipse x ²  +  xy  +  y ²  = 1, donde (−1, 0) es un punto racional. Dibujando una recta con pendiente t desde (−1,0), y  =  t ( x  + 1), sustituyéndola en la ecuación de la elipse, factorizando y resolviendo para  x , obtenemos

$${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}}.}$$

Entonces la ecuación para y es

$${\displaystyle y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}\,,}$$

que define una parametrización racional de la elipse y, por tanto, muestra que la elipse es una curva racional. Todos los puntos de la elipse están dados, excepto (−1,1), que corresponde a t  = ∞; toda la curva está por lo tanto parametrizada por la línea proyectiva real.

Tal parametrización racional puede considerarse en el espacio proyectivo equiparando las primeras coordenadas proyectivas con los numeradores de la parametrización y la última con el denominador común. Como el parámetro se define en una línea proyectiva, los polinomios del parámetro deben homogeneizarse . Por ejemplo, la parametrización proyectiva de la elipse anterior es

$${\displaystyle X=U^{2}-T^{2},\quad Y=T\,(T+2\,U),\quad Z=T^{2}+TU+U^{2}.}$$

Eliminando T y U entre estas ecuaciones obtenemos nuevamente la ecuación proyectiva de la elipse

$${\displaystyle X^{2}+X\,Y+Y^{2}=Z^{2},}$$

Muchas de las curvas en la lista de curvas de Wikipedia son racionales y, por lo tanto, tienen parametrizaciones racionales similares.

Curvas planas racionales

Las curvas planas racionales son curvas racionales incrustadas en . Dadas secciones genéricas de polinomios homogéneos de grado en dos coordenadas, existe un mapa ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3}\in \Gamma (\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(d))}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x,y}$

$${\displaystyle s:\mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{2}}$$

$${\displaystyle s([x:y])=[s_{1}([x:y]):s_{2}([x:y]):s_{3}([x:y])]}$$

^[2]espacio de móduloscurvas establesla teoría de Gromov-Witten^[3] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}={\overline {\mathcal {M}}}_{0,0}(\mathbb {P} ^{2},d\cdot [H])}$ ${\displaystyle [H]}$ ${\displaystyle d+1}$ ${\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(d))}$ ${\displaystyle 3d+3}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle 3d+3-1-3=3d-1}$ ${\displaystyle N_{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 3d-1}$

$${\displaystyle N_{d}=\sum _{d_{A}+d_{B}=d}N_{d_{A}}N_{d_{B}}d_{A}^{2}d_{B}\left(d_{B}{\binom {3d-4}{3d_{A}-2}}-d_{A}{\binom {3d-4}{3d_{A}-1}}\right)}$$

${\displaystyle N_{1}=N_{2}=1}$

Curvas elípticas

Una curva elíptica puede definirse como cualquier curva de género uno con un punto racional : un modelo común es una curva cúbica no singular , que basta para modelar cualquier curva de género uno. En este modelo, el punto distinguido suele considerarse un punto de inflexión en el infinito; esto equivale a exigir que la curva pueda escribirse en forma de Tate-Weierstrass, que en su versión proyectiva es

$${\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}.}$$

Si la característica del campo es diferente de 2 y 3, entonces un cambio lineal de coordenadas permite poner lo que da la forma clásica de Weierstrass. ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=a_{3}=0,}$

$${\displaystyle y^{2}=x^{3}+px+q.}$$

Las curvas elípticas llevan la estructura de un grupo abeliano con el punto distinguido como identidad de la ley del grupo. En un modelo cúbico plano, tres puntos suman cero en el grupo si y sólo si son colineales . Para una curva elíptica definida sobre números complejos, el grupo es isomorfo al grupo aditivo del plano complejo módulo la red del período de las funciones elípticas correspondientes .

La intersección de dos superficies cuádricas es, en general, una curva no singular de género uno y grado cuatro y, por tanto, una curva elíptica, si tiene un punto racional. En casos especiales, la intersección puede ser una cuartica singular racional o se descompone en curvas de grados menores que no siempre son distintas (ya sea una curva cúbica y una recta, o dos cónicas, o una cónica y dos rectas, o cuatro rectas). .

Curvas de género mayor que uno.

Las curvas de género mayor que uno difieren notablemente de las curvas racionales y elípticas. Tales curvas definidas sobre los números racionales, según el teorema de Faltings , sólo pueden tener un número finito de puntos racionales y se puede considerar que tienen una estructura de geometría hiperbólica . Algunos ejemplos son las curvas hiperelípticas , la curva cuártica de Klein y la curva de Fermat x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ cuando n es mayor que tres. También las curvas del plano proyectivo in y las curvas in proporcionan muchos ejemplos útiles. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$

Curvas planas proyectivas

Las curvas planas de grado , que pueden construirse como el lugar de fuga de una sección genérica , tienen género ${\displaystyle C\subset \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(k))}$

$${\displaystyle {\frac {(k-1)(k-2)}{2}}}$$

la cohomología de gavilla coherente

Por ejemplo, la curva define una curva de género que es suave ya que los diferenciales no tienen ceros comunes con la curva. Un no ejemplo de sección genérica es la curva que, según el teorema de Bezout , debería cruzarse en la mayoría de los puntos, es la unión de dos curvas racionales que se cortan en dos puntos. La nota viene dada por el lugar de desaparición de y está dada por el lugar de desaparición de . Estos se pueden encontrar explícitamente: un punto reside en ambos si . Entonces las dos soluciones son los puntos tales que , que son y . ${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 4x^{3},4y^{3},4z^{3}}$ ${\displaystyle x(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle [0:y:z]}$ ${\displaystyle y^{2}+z^{2}=0}$ ${\displaystyle [0:1:-{\sqrt {-1}}]}$ ${\displaystyle [0:1:{\sqrt {-1}}]}$

Curvas en producto de líneas proyectivas.

Curva dada por el lugar geométrico de fuga de , para , dan curvas de género ${\displaystyle C\subset \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(a,b))}$ ${\displaystyle a,b\geq 2}$

$${\displaystyle ab-a-b+1}$$

la cohomología de gavilla coherente ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle 2b-2-b+1=b-1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$

y para , esto es ${\displaystyle a=3}$

Ver también

Geometría algebraica clásica

• acnódo
• Teorema de Bézout
• Teorema de Cramer (curvas algebraicas)
• Crunodo
• Curva
• Dibujo de curvas
• variedad jacobiana
• Cuartico de Klein
• Lista de curvas
• El decimosexto problema de Hilbert.
• Curva del plano cúbico
• Curva hiperelíptica

Geometría algebraica moderna

• Geometría biracional
• Sección cónica
• Curva elíptica
• ideal fraccionario
• Campo funcional de una variedad algebraica.
• Campo funcional (teoría de esquemas)
• Género (matemáticas)
• lemniscata polinómica
• Curva del plano cuartico
• Curva normal racional
• Teorema de Riemann-Roch para curvas algebraicas
• Teorema de Weber (curvas algebraicas)

Geometría de superficies de Riemann.

• Fórmula de Riemann-Hurwitz
• Teorema de Riemann-Roch para superficies de Riemann
• superficie de riemann

Notas

1. Hartshorne, Geometría algebraica, IV ej. 1.8.
2. Kazaryan, Maxim E.; Lando, Sergei K.; Prasolov, Víctor (2018). Curvas algebraicas: hacia espacios de módulo. Conferencias de Moscú. Publicaciones internacionales Springer. págs. 213-214. ISBN 978-3-030-02942-5.
3. "Fórmula de Kontsevich para curvas planas racionales" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 26 de febrero de 2020.

Referencias

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• Chevalley, Claude (1951). Introducción a la Teoría de Funciones Algebraicas de una Variable. Encuestas matemáticas. vol. 6. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-1506-9.
• Coolidge, Julián L. (2004) [1931]. Tratado sobre curvas planas algebraicas. Dover. ISBN 978-0-486-49576-7.
• Farkas, HM; Kra, I. (2012) [1980]. Superficies Riemann. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 71. Saltador. ISBN 978-1-4684-9930-8.
• Fulton, William (1989). Curvas algebraicas: una introducción a la geometría algebraica. Serie de notas de conferencias de matemáticas. vol. 30 (3ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-51010-2.
• Gibson, CG (1998). Geometría elemental de curvas algebraicas: una introducción de pregrado. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-64641-3.
• Griffiths, Phillip A. (1985). Introducción a las curvas algebraicas . Traducción de Monografías Matemáticas. vol. 70 (3ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 9780821845370.
• Hartshorne, Robin (2013) [1977]. Geometría algebraica. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 52. Saltador. ISBN 978-1-4757-3849-0.
• Iitaka, Shigeru (2011) [1982]. Geometría algebraica: introducción a la geometría biracional de variedades algebraicas. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 76. Springer Nueva York. ISBN 978-1-4613-8121-1.
• Milnor, Juan (1968). Puntos singulares de hipersuperficies complejas. Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-08065-8.
• Serre, Jean-Pierre (2012) [1988]. Grupos algebraicos y campos de clase. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 117. Saltador. ISBN 978-1-4612-1035-1.
• Kötter, Ernst (1887). "Grundzüge einer rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven" [Fundamentos de una teoría puramente geométrica de curvas planas algebraicas]. Transacciones de la Real Academia de Berlín .— ganó el premio de la Academia en 1886 ^[1]

1. Norman Fraser (febrero de 1888). "Geometría sintética de curvas algebraicas de Kötter". Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 7 : 46–61, consulte la pág. 46.