En álgebra conmutativa y geometría algebraica , la teoría de eliminación es el nombre clásico de los enfoques algorítmicos para eliminar algunas variables entre polinomios de varias variables, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones polinómicas .
La teoría de eliminación clásica culminó con el trabajo de Francis Macaulay sobre las resultantes multivariantes , como se describe en el capítulo sobre la teoría de eliminación en las primeras ediciones (1930) de Moderne Algebra de Bartel van der Waerden . Después de eso, la teoría de eliminación fue ignorada por la mayoría de los geómetras algebraicos durante casi treinta años, hasta la introducción de nuevos métodos para resolver ecuaciones polinómicas, como las bases de Gröbner , que eran necesarias para el álgebra computacional .
El campo de la teoría de eliminación fue motivado por la necesidad de métodos para resolver sistemas de ecuaciones polinomiales .
Uno de los primeros resultados fue el teorema de Bézout , que limita el número de soluciones (en el caso de dos polinomios en dos variables en el momento de Bézout).
A excepción del teorema de Bézout, el enfoque general fue eliminar variables para reducir el problema a una sola ecuación en una variable.
El caso de las ecuaciones lineales se resolvió completamente mediante la eliminación gaussiana , mientras que el método más antiguo de la regla de Cramer no procede por eliminación, y funciona solo cuando el número de ecuaciones es igual al número de variables. En el siglo XIX, esto se extendió a las ecuaciones diofánticas lineales y al grupo abeliano con la forma normal de Hermite y la forma normal de Smith .
Antes del siglo XX se introdujeron distintos tipos de eliminantes , entre ellos los resultantes y varios tipos de discriminantes . En general, estos eliminantes también son invariantes ante diversos cambios de variables y también son fundamentales en la teoría de invariantes .
Todos estos conceptos son efectivos, en el sentido de que sus definiciones incluyen un método de cálculo. Alrededor de 1890, David Hilbert introdujo métodos no efectivos, y esto fue visto como una revolución, que llevó a la mayoría de los geómetras algebraicos de la primera mitad del siglo XX a intentar "eliminar la eliminación". Sin embargo, el Nullstellensatz de Hilbert puede considerarse parte de la teoría de la eliminación, ya que afirma que un sistema de ecuaciones polinómicas no tiene solución si y solo si se pueden eliminar todas las incógnitas para obtener la ecuación constante 1 = 0.
La teoría de eliminación culminó con el trabajo de Leopold Kronecker , y finalmente Macaulay , quien introdujo las resultantes multivariadas y las U-resultantes , proporcionando métodos de eliminación completos para sistemas de ecuaciones polinómicas, que se describen en el capítulo sobre teoría de eliminación en las primeras ediciones (1930) del Álgebra Moderna de van der Waerden .
Más tarde, la teoría de eliminación se consideró anticuada y se eliminó de las ediciones posteriores del Álgebra Moderna . En general, se ignoró hasta la introducción de las computadoras , y más específicamente del álgebra computacional , que volvió a hacer relevante el diseño de algoritmos de eliminación eficientes, en lugar de meramente la existencia y los resultados estructurales. Los principales métodos para esta renovación de la teoría de eliminación son las bases de Gröbner y la descomposición algebraica cilíndrica , introducidas alrededor de 1970.
La teoría de la eliminación también tiene una faceta lógica, como se ve en el problema de satisfacibilidad booleano . En el peor de los casos, es presumiblemente difícil eliminar variables computacionalmente. La eliminación de cuantificadores es un término utilizado en lógica matemática para explicar que, en algunas teorías, cada fórmula es equivalente a una fórmula sin cuantificador. Este es el caso de la teoría de polinomios sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , donde la teoría de la eliminación puede verse como la teoría de los métodos para hacer que la eliminación de cuantificadores sea algorítmicamente efectiva. La eliminación de cuantificadores sobre los números reales es otro ejemplo, que es fundamental en la geometría algebraica computacional .