Teorema principal de la teoría de eliminación

La imagen de una variedad proyectiva por una proyección es también una variedad

En geometría algebraica , el teorema principal de la teoría de eliminación establece que todo esquema proyectivo es propio . Una versión de este teorema es anterior a la existencia de la teoría de esquemas . Puede enunciarse, demostrarse y aplicarse en el siguiente contexto más clásico. Sea k un cuerpo , denotado por el espacio proyectivo n -dimensional sobre k . El teorema principal de la teoría de eliminación es el enunciado de que para cualquier n y cualquier variedad algebraica V definida sobre k , la función de proyección envía subconjuntos cerrados de Zariski a subconjuntos cerrados de Zariski. ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle V\times \mathbb {P} _{k}^{n}\to V}$

El teorema principal de la teoría de eliminación es un corolario y una generalización de la teoría de resultantes multivariantes de Macaulay . La resultante de n polinomios homogéneos en n variables es el valor de una función polinómica de los coeficientes, que toma el valor cero si y solo si los polinomios tienen un cero común no trivial sobre algún cuerpo que contenga los coeficientes.

Esto pertenece a la teoría de eliminación , ya que el cálculo de las cantidades resultantes elimina variables entre ecuaciones polinómicas. De hecho, dado un sistema de ecuaciones polinómicas , que es homogéneo en algunas variables, la resultante elimina estas variables homogéneas al proporcionar una ecuación en las otras variables, que tiene, como soluciones, los valores de estas otras variables en las soluciones del sistema original.

Un ejemplo sencillo y motivador

El plano afín sobre un cuerpo k es el producto directo de dos copias de k . Sea ${\displaystyle A_{2}=L_{x}\times L_{y}}$

${\displaystyle \pi \colon L_{x}\times L_{y}\to L_{x}}$

ser la proyección

${\displaystyle (x,y)\mapsto \pi (x,y)=x.}$

Esta proyección no es cerrada para la topología de Zariski (ni para la topología usual si o ), porque la imagen de de la hipérbola H de ecuación es que no es cerrada, aunque H sí lo es, siendo una variedad algebraica . ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle xy-1=0}$ ${\displaystyle L_{x}\setminus \{0\},}$

Si se extiende a una línea proyectiva la ecuación de la completitud proyectiva de la hipérbola se convierte en ${\displaystyle L_{y}}$ ${\displaystyle P_{y},}$

${\displaystyle xy_{1}-y_{0}=0,}$

y contiene

${\displaystyle {\overline {\pi }}(0,(1,0))=0,}$

¿Dónde está la prolongación de to? ${\displaystyle {\overline {\pi }}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle L_{x}\times P_{y}.}$

Esto se expresa comúnmente diciendo que el origen del plano afín es la proyección del punto de la hipérbola que está en el infinito, en la dirección del eje y .

De manera más general, la imagen de cada conjunto algebraico en es un número finito de puntos, o con un número finito de puntos eliminados, mientras que la imagen de cualquier conjunto algebraico en es un número finito de puntos o la línea completa. De ello se deduce que la imagen de cualquier conjunto algebraico es un conjunto algebraico, es decir, que es una función cerrada para la topología de Zariski. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle L_{x}\times L_{y}}$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle {\overline {\pi }}}$ ${\displaystyle L_{x}\times P_{y}}$ ${\displaystyle L_{y}.}$ ${\displaystyle {\overline {\pi }}}$ ${\displaystyle {\overline {\pi }}}$

El teorema principal de la teoría de eliminación es una amplia generalización de esta propiedad.

Formulación clásica

Para enunciar el teorema en términos de álgebra conmutativa , se debe considerar un anillo polinomial sobre un anillo noetheriano conmutativo R y un ideal homogéneo I generado por polinomios homogéneos (en la prueba original de Macaulay , k era igual a n y R era un anillo polinomial sobre los números enteros, cuyos indeterminados eran todos los coeficientes de ) ${\displaystyle R[\mathbf {x} ]=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}.}$ ${\displaystyle f_{i}\mathrm {s} .}$

Cualquier homomorfismo de anillo de R en un cuerpo K , define un homomorfismo de anillo (también denotado ), aplicándolo a los coeficientes de los polinomios. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle R[\mathbf {x} ]\to K[\mathbf {x} ]}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

El teorema es: hay un ideal en R , determinado únicamente por I , tal que, para cada homomorfismo de anillo de R en un cuerpo K , los polinomios homogéneos tienen un cero común no trivial (en un cierre algebraico de K ) si y solo si ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})}$ ${\displaystyle \varphi ({\mathfrak {r}})=\{0\}.}$

Además, si k < n , y es principal si k = n . En este último caso, un generador de se llama resultante de ${\displaystyle {\mathfrak {r}}=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}.}$

Consejos para una demostración y resultados relacionados

Utilizando la notación anterior, primero hay que caracterizar la condición de que no haya ningún cero común no trivial. Este es el caso si el ideal homogéneo máximo es el único ideal homogéneo primo que contiene el Nullstellensatz de Hilbert afirma que este es el caso si y solo si contiene una potencia de cada uno o, equivalentemente, que para algún entero positivo d . ${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$ ${\displaystyle \varphi (I)=\langle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})\rangle .}$ ${\displaystyle \varphi (I)}$ ${\displaystyle x_{i},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{d}\subseteq \varphi (I)}$

Para este estudio, Macaulay introdujo una matriz que ahora se llama matriz de Macaulay de grado d . Sus filas están indexadas por los monomios de grado d en y sus columnas son los vectores de los coeficientes sobre la base monomial de los polinomios de la forma donde m es un monomio de grado Uno se tiene si y solo si el rango de la matriz de Macaulay es igual al número de sus filas. ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ ${\displaystyle m\varphi (f_{i}),}$ ${\displaystyle d-\deg(f_{i}).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{d}\subseteq \varphi (I)}$

Si k < n , el rango de la matriz de Macaulay es menor que el número de sus filas para cada d y, por lo tanto, siempre tiene un cero común no trivial. ${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})}$

De lo contrario, sea el grado de y supongamos que los índices se eligen de manera que El grado ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle f_{i},}$ ${\displaystyle d_{2}\geq d_{3}\geq \cdots \geq d_{k}\geq d_{1}.}$

${\displaystyle D=d_{1}+d_{2}+\cdots +d_{n}-n+1=1+\sum _{i=1}^{n}(d_{i}-1)}$

se llama grado de Macaulay o límite de Macaulay porque Macaulay ha demostrado que tienen un cero común no trivial si y solo si el rango de la matriz de Macaulay en grado D es menor que el número de sus filas. En otras palabras, la d anterior puede elegirse de una vez por todas como igual a D . ${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})}$

Por lo tanto, el ideal cuya existencia afirma el teorema principal de la teoría de eliminación, es el ideal cero si k < n , y, en caso contrario, es generado por los menores máximos de la matriz de Macaulay en grado D . ${\displaystyle {\mathfrak {r}},}$

Si k = n , Macaulay también ha demostrado que es un ideal principal (aunque la matriz de Macaulay en grado D no es una matriz cuadrada cuando k > 2 ), que se genera por la resultante de Este ideal también es genéricamente un ideal primo , ya que es primo si R es el anillo de polinomios enteros con todos los coeficientes de como indeterminados. ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ ${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{n}).}$ ${\displaystyle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})}$

Interpretación geométrica

En la formulación anterior, el anillo polinomial define un morfismo de esquemas (que son variedades algebraicas si R se genera finitamente sobre un cuerpo) ${\displaystyle R[\mathbf {x} ]=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n-1}=\operatorname {Proj} (R[\mathbf {x} ])\to \operatorname {Spec} (R).}$

El teorema afirma que la imagen del conjunto cerrado de Zariski V ( I ) definido por I es el conjunto cerrado V ( r ) . Por lo tanto, el morfismo es cerrado.

Véase también

• Eliminación de cuantificadores
• Resultante de Macaulay
• Base de Gröbner

Referencias

• Mumford, David (1999). El libro rojo de variedades y esquemas . Springer. ISBN 9783540632931.
• Eisenbud, David (2013). Álgebra conmutativa: con una perspectiva hacia la geometría algebraica . Springer. ISBN 9781461253501.
• Milne, James S. (2014). "La obra de John Tate". Premio Abel 2008-2012 . Springer. ISBN 9783642394492.