Grado de una aplicación continua

Concepto en topología

Un mapa de grado dos de una esfera sobre sí misma.

En topología , el grado de una aplicación continua entre dos variedades orientadas compactas de la misma dimensión es un número que representa la cantidad de veces que la variedad de dominio envuelve a la variedad de rango bajo la aplicación. El grado es siempre un número entero , pero puede ser positivo o negativo según las orientaciones.

El grado de una función fue definido por primera vez por Brouwer ^[1] , quien demostró que el grado es invariante en homotopía ( invariante entre homotopías), y lo utilizó para demostrar el teorema del punto fijo de Brouwer . En las matemáticas modernas, el grado de una función juega un papel importante en la topología y la geometría . En física , el grado de una función continua (por ejemplo, una función del espacio a un conjunto de parámetros de cierto orden) es un ejemplo de un número cuántico topológico .

Definiciones del grado

DeSnorteaSnorte

El caso más simple e importante es el grado de un mapa continuo de la -esfera a sí misma (en el caso , esto se llama número de bobinado ): ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n=1}$

Sea una función continua. Entonces induce un homomorfismo , donde es el ésimo grupo de homología . Considerando el hecho de que , vemos que debe tener la forma para algún fijo . Esto se denomina entonces grado de . ${\displaystyle f\colon S^{n}\to S^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}\left(S^{n}\right)\to H_{n}\left(S^{n}\right)}$ ${\displaystyle H_{n}\left(\cdot \right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}\left(S^{n}\right)\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{*}\colon x\mapsto \alpha x}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$

Entre colectores

Topología algebraica

Sean X e Y variedades m -dimensionales orientadas, cerradas y conexas . La dualidad de Poincaré implica que el grupo de homología superior de la variedad es isomorfo a Z. Elegir una orientación significa elegir un generador del grupo de homología superior.

Una función continua f  : X → Y induce un homomorfismo f _∗ de H _m ( X ) a H _m ( Y ). Sea [ X ], resp. [ Y ] el generador elegido de H _m ( X ), resp. H _m ( Y ) (o la clase fundamental de X , Y ). Entonces el grado de f se define como f _* ([ X ]). En otras palabras,

${\displaystyle f_{*}([X])=\deg(f)[Y]\,.}$

Si y en Y y f ⁻¹ ( y ) es un conjunto finito, el grado de f se puede calcular considerando los m -ésimos grupos de homología local de X en cada punto en f ⁻¹ ( y ). Es decir, si , entonces ${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x_{1},\dots ,x_{m}\}}$

${\displaystyle \deg(f)=\sum _{i=1}^{m}\deg(f|_{x_{i}})\,.}$

Topología diferencial

En el lenguaje de la topología diferencial, el grado de una función suavizada se puede definir de la siguiente manera: Si f es una función suavizada cuyo dominio es una variedad compacta y p es un valor regular de f , considere el conjunto finito

${\displaystyle f^{-1}(p)=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\,.}$

Al ser p un valor regular, en un entorno de cada x _i la función f es un difeomorfismo local . Los difeomorfismos pueden ser de conservación o de inversión de la orientación. Sea r el número de puntos x _i en los que f conserva la orientación y s el número en el que f invierte la orientación. Cuando el codominio de f es conexo, el número r  −  s es independiente de la elección de p (¡aunque n no lo es!) y se define el grado de f como r  −  s . Esta definición coincide con la definición topológica algebraica anterior.

La misma definición funciona para variedades compactas con límite pero entonces f debe enviar el límite de X al límite de Y.

También se puede definir el grado módulo 2 (deg ₂ ( f )) de la misma manera que antes pero tomando la clase fundamental en homología Z _{2 . En este caso deg 2} ( f ) es un elemento de Z ₂ (el campo con dos elementos ), las variedades no necesitan ser orientables y si n es el número de preimágenes de p como antes, entonces deg ₂ ( f ) es n módulo 2.

La integración de formas diferenciales da un emparejamiento entre la homología singular (C ^∞ -) y la cohomología de De Rham : , donde es una clase de homología representada por un ciclo y una forma cerrada que representa una clase de cohomología de De Rham. Para una función suave f  : X → Y entre m -variedades orientables , se tiene ${\textstyle \langle c,\omega \rangle =\int _{c}\omega }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \left\langle f_{*}[c],[\omega ]\right\rangle =\left\langle [c],f^{*}[\omega ]\right\rangle ,}$

donde f _∗ y f ^∗ son funciones inducidas en cadenas y formas respectivamente. Como f _∗ [ X ] = deg f · [ Y ], tenemos

${\displaystyle \deg f\int _{Y}\omega =\int _{X}f^{*}\omega \,}$

para cualquier m -forma ω en Y .

Mapas de regiones cerradas

Si es una región acotada , suave, un valor regular de y , entonces el grado se define mediante la fórmula ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:{\bar {\Omega }}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\notin f(\partial \Omega )}$ ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)}$

${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p):=\sum _{y\in f^{-1}(p)}\operatorname {sgn} \det(Df(y))}$

donde es la matriz jacobiana de en . ${\displaystyle Df(y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$

Esta definición del grado puede extenderse naturalmente para valores no regulares tales que donde es un punto cercano a . El grado topológico también puede calcularse utilizando una integral de superficie sobre el límite de , ^[2] y si es un n - politopo conexo , entonces el grado puede expresarse como una suma de determinantes sobre una cierta subdivisión de sus facetas . ^[3] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)=\deg \left(f,\Omega ,p'\right)}$ ${\displaystyle p'}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

El grado satisface las siguientes propiedades: ^[4]

• Si , entonces existe tal que . ${\displaystyle \deg \left(f,{\bar {\Omega }},p\right)\neq 0}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle f(x)=p}$
• ${\displaystyle \deg(\operatorname {id} ,\Omega ,y)=1}$Para todos . ${\displaystyle y\in \Omega }$
• Propiedad de descomposición: si son partes disjuntas de y . $${\displaystyle \deg(f,\Omega ,y)=\deg(f,\Omega _{1},y)+\deg(f,\Omega _{2},y),}$$ ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}$ ${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}}$ ${\displaystyle y\not \in f{\left({\overline {\Omega }}\setminus \left(\Omega _{1}\cup \Omega _{2}\right)\right)}}$
• Invariancia de homotopía : si y son homotópicamente equivalentes a través de una homotopía tal que y , entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle F(0)=f,\,F(1)=g}$ ${\displaystyle p\notin F(t)(\partial \Omega )}$ ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)=\deg(g,\Omega ,p)}$
• La función es constante localmente en ${\displaystyle p\mapsto \deg(f,\Omega ,p)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-f(\partial \Omega )}$

Estas propiedades caracterizan de forma única el grado y éste puede definirse por ellas de forma axiomática.

De manera similar, podríamos definir el grado de una función entre variedades orientadas compactas con borde .

Propiedades

El grado de una aplicación es un invariante de homotopía ; además, para aplicaciones continuas desde la esfera hacia sí misma, es un invariante de homotopía completo , es decir, dos aplicaciones son homotópicas si y sólo si . ${\displaystyle f,g:S^{n}\to S^{n}\,}$ ${\displaystyle \deg(f)=\deg(g)}$

En otras palabras, el grado es un isomorfismo entre y . ${\displaystyle \left[S^{n},S^{n}\right]=\pi _{n}S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$

Además, el teorema de Hopf establece que para cualquier variedad orientada cerrada M , dos mapas son homotópicos si y solo si ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f,g:M\to S^{n}}$ ${\displaystyle \deg(f)=\deg(g).}$

Una automapa de la n- esfera es extensible a una función desde la n+1 -esfera a la n -esfera si y sólo si . (Aquí la función F extiende f en el sentido de que f es la restricción de F a .) ${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n}}$ ${\displaystyle F:B_{n+1}\to S^{n}}$ ${\displaystyle \deg(f)=0}$ ${\displaystyle S^{n}}$

Calculando el grado

Existe un algoritmo para calcular el grado topológico deg( f , B , 0) de una función continua f desde una caja n -dimensional B (un producto de n intervalos) hasta , donde f se da en forma de expresiones aritméticas. ^[5] Una implementación del algoritmo está disponible en TopDeg, una herramienta de software para calcular el grado (LGPL-3). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Véase también

• Número de cobertura , un término con un nombre similar. Tenga en cuenta que no generaliza el número de bobinado, sino que describe las coberturas de un conjunto por bolas.
• Densidad (politopo) , un análogo poliédrico
• Teoría de grados topológicos

Notas

1. Brouwer, LEJ (1911). "Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten". Annalen Matemáticas . 71 (1): 97-115. doi :10.1007/bf01456931. S2CID  177796823.
2. Polymilis, C.; Servizi, G.; Turchetti, G.; Skokos, Ch.; Vrahatis, MN (mayo de 2003). "LOCALIZACIÓN DE ÓRBITAS PERIÓDICAS MEDIANTE LA TEORÍA DE GRADOS TOPOLÓGICOS". Libration Point Orbits and Applications : 665–676. arXiv : nlin/0211044 . doi :10.1142/9789812704849_0031.
3. Stynes, Martin (junio de 1979). "Una simplificación de la fórmula de grado topológico de Stenger" (PDF) . Numerische Mathematik . 33 (2): 147–155. doi :10.1007/BF01399550 . Consultado el 21 de septiembre de 2024 .
4. Dancer, EN (2000). Cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales . Springer-Verlag. pp. 185–225. ISBN. 3-540-64803-8.
5. Franek, Peter; Ratschan, Stefan (2015). "Cálculo efectivo de grados topológicos basado en aritmética de intervalos". Matemáticas de la computación . 84 (293): 1265–1290. arXiv : 1207.6331 . doi :10.1090/S0025-5718-2014-02877-9. ISSN  0025-5718. S2CID  17291092.

Referencias

• Flanders, H. (1989). Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas . Dover.
• Hirsch, M. (1976). Topología diferencial . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.
• Milnor, JW (1997). Topología desde el punto de vista diferenciable . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-04833-8.
• Outerelo, E.; Ruiz, JM (2009). Mapping Degree Theory . Sociedad Americana de Matemáticas. ISBN 978-0-8218-4915-6.

Enlaces externos

• "Grado de Brouwer", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Conozcamos el título de cartografía, de Rade T. Zivaljevic.