En física , un número cuántico topológico (también llamado carga topológica ) es cualquier cantidad, en una teoría física, que toma solo uno de un conjunto discreto de valores, debido a consideraciones topológicas . Más comúnmente, los números cuánticos topológicos son invariantes topológicos asociados con defectos topológicos o soluciones de tipo solitón de algún conjunto de ecuaciones diferenciales que modelan un sistema físico, ya que los propios solitones deben su estabilidad a consideraciones topológicas. Las "consideraciones topológicas" específicas generalmente se deben a la aparición del grupo fundamental o de un grupo de homotopía de dimensiones superiores en la descripción del problema, muy a menudo porque el límite en el que se especifican las condiciones de contorno tiene una homotopía no trivial. grupo que es preservado por las ecuaciones diferenciales. El número cuántico topológico de una solución a veces se denomina número de devanado de la solución o, más precisamente, es el grado de mapeo continuo .
Reciente [ ¿cuándo? ] Las ideas sobre la naturaleza de las transiciones de fase indican que los números cuánticos topológicos y sus soluciones asociadas pueden crearse o destruirse durante una transición de fase. [ cita necesaria ]
En física de partículas , un ejemplo lo da el Skyrmion , para el cual el número bariónico es un número cuántico topológico. El origen proviene del hecho de que el isospin está modelado por SU(2) , que es isomorfo a las 3 esferas y hereda la estructura de grupo de SU(2) a través de su asociación biyectiva, por lo que el isomorfismo está en la categoría de grupos topológicos. . Al tomar el espacio tridimensional real y cerrarlo con un punto en el infinito, también se obtiene una 3 esferas. Las soluciones a las ecuaciones de Skyrme en el espacio tridimensional real asignan un punto en el espacio "real" (físico; euclidiano) a un punto en la SU(2) de 3 variedades. Las soluciones topológicamente distintas "envuelven" una esfera alrededor de la otra, de modo que una solución, sin importar cómo se deforme, no puede "desenvolverse" sin crear una discontinuidad en la solución. En física, estas discontinuidades están asociadas con energía infinita y, por tanto, no están permitidas.
En el ejemplo anterior, la afirmación topológica es que el tercer grupo de homotopía de las tres esferas es
y por tanto el número bariónico sólo puede tomar valores enteros.
Una generalización de estas ideas se encuentra en el modelo de Wess-Zumino-Witten .
Se pueden encontrar ejemplos adicionales en el dominio de modelos que se pueden resolver exactamente , como la ecuación del seno-Gordon , la ecuación de Korteweg-de Vries y la ecuación de Ishimori . La ecuación unidimensional del seno de Gordon es un ejemplo particularmente simple, ya que el grupo fundamental en juego es
y también lo es literalmente un número sinuoso : un círculo se puede enrollar alrededor de un círculo un número entero de veces. "El modelo cuántico sinusoidal de Gordon es equivalente al modelo masivo de Thirring" . Las excitaciones fundamentales son los fermiones: el número cuántico topológico es el número de fermiones . Después de la cuantificación del modelo seno-Gordon, la carga topológica se vuelve "fraccionaria". Una consideración constante de la renormalización ultravioleta muestra que una fracción de fermiones se repelen por encima del límite ultravioleta. Entonces se multiplica por un número fraccionario dependiendo de la constante de Planck .
En física del estado sólido , ciertos tipos de dislocaciones cristalinas , como las dislocaciones de tornillo , pueden describirse mediante solitones topológicos. Un ejemplo incluye las dislocaciones de tipo tornillo asociadas con bigotes de germanio .
