Grado de mapeo continuo

Concepto en topología

Un mapa de grado dos de una esfera sobre sí misma.

En topología , el grado de un mapeo continuo entre dos variedades orientadas compactas de la misma dimensión es un número que representa el número de veces que la variedad de dominio envuelve la variedad de rango bajo el mapeo. El grado es siempre un número entero , pero puede ser positivo o negativo según las orientaciones.

El grado de una aplicación fue definido por primera vez por Brouwer , ^[1] quien demostró que el grado es invariante de homotopía ( invariante entre homotopías) y lo utilizó para demostrar el teorema del punto fijo de Brouwer . En las matemáticas modernas, el grado de un mapa juega un papel importante en topología y geometría . En física , el grado de un mapa continuo (por ejemplo, un mapa desde el espacio hasta algún conjunto de parámetros de orden) es un ejemplo de número cuántico topológico .

Definiciones del grado

De S n a S n

El caso más simple e importante es el grado de una aplicación continua desde la esfera hacia sí misma (en el caso , esto se llama número de bobinado ): ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n=1}$

Sea un mapa continuo. Luego induce un homomorfismo , donde está el grupo de homología . Teniendo en cuenta que , vemos que debe ser de forma fija . A esto se le llama entonces grado de . ${\displaystyle f\colon S^{n}\to S^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}\left(S^{n}\right)\to H_{n}\left(S^{n}\right)}$ ${\displaystyle H_{n}\left(\cdot \right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}\left(S^{n}\right)\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{*}\colon x\mapsto \alpha x}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$

Entre colectores

Topología algebraica

Sean X e Y variedades de m dimensiones orientadas y conectadas cerradas . La dualidad de Poincaré implica que el grupo de homología superior de la variedad es isomorfo a Z. Elegir una orientación significa elegir un generador del grupo de homología superior.

Un mapa continuo f  : X → Y induce un homomorfismo f _∗ de H _m ( X ) a H _m ( Y ). Sea [ X ], resp. [ Y ] sea el generador elegido de H _m ( X ), resp. H _m ( Y ) (o la clase fundamental de X , Y ). Entonces el grado de f se define como f _* ([ X ]). En otras palabras,

${\displaystyle f_{*}([X])=\deg(f)[Y]\,.}$

Si y en Y y f ⁻¹ ( y ) es un conjunto finito, el grado de f se puede calcular considerando los m -ésimos grupos de homología local de X en cada punto de f ⁻¹ ( y ). Es decir, si , entonces ${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x_{1},\dots ,x_{m}\}}$

${\displaystyle \deg(f)=\sum _{i=1}^{m}\deg(f|_{x_{i}})\,.}$

Topología diferencial

En el lenguaje de la topología diferencial, el grado de una aplicación suave se puede definir de la siguiente manera: si f es una aplicación suave cuyo dominio es una variedad compacta y p es un valor regular de f , considere el conjunto finito

${\displaystyle f^{-1}(p)=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\,.}$

Al ser p un valor regular, en una vecindad de cada x _i el mapa f es un difeomorfismo local . Los difeomorfismos pueden preservar la orientación o invertir la orientación. Sea r el número de puntos x _i en los que f conserva la orientación y s es el número en los que f invierte la orientación. Cuando el codominio de f es conexo, el número r  −  s es independiente de la elección de p (¡aunque n no lo es!) y se define el grado de f como r  −  s . Esta definición coincide con la definición topológica algebraica anterior.

La misma definición funciona para variedades compactas con límite , pero luego f debería enviar el límite de X al límite de Y.

También se puede definir el grado módulo 2 (grado ₂ ( f )) de la misma manera que antes, pero tomando la clase fundamental en la homología Z ₂ . En este caso, el grado ₂ ( f ) es un elemento de Z ₂ (el campo con dos elementos ), las variedades no necesitan ser orientables y si n es el número de preimágenes de p como antes, entonces el grado ₂ ( f ) es n módulo 2. .

La integración de formas diferenciales proporciona un emparejamiento entre (C ^∞ -) homología singular y cohomología de Rham : , donde es una clase de homología representada por un ciclo y una forma cerrada que representa una clase de cohomología de Rham. Para un mapa suave f  : X → Y entre m -variedades orientables , se tiene ${\textstyle \langle c,\omega \rangle =\int _{c}\omega }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \left\langle f_{*}[c],[\omega ]\right\rangle =\left\langle [c],f^{*}[\omega ]\right\rangle ,}$

donde f _∗ y f ^∗ son aplicaciones inducidas en cadenas y formas respectivamente. Como f _∗ [ X ] = grados f · [ Y ], tenemos

${\displaystyle \deg f\int _{Y}\omega =\int _{X}f^{*}\omega \,}$

para cualquier m -forma ω en Y .

Mapas de región cerrada

Si es una región acotada , suave, un valor regular de y , entonces el grado está definido por la fórmula ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:{\bar {\Omega }}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\notin f(\partial \Omega )}$ ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)}$

${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p):=\sum _{y\in f^{-1}(p)}\operatorname {sgn} \det(Df(y))}$

¿Dónde está la matriz jacobiana de in ? ${\displaystyle Df(y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$

Esta definición del grado puede extenderse naturalmente a valores no regulares tales como donde es un punto cercano a . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)=\deg \left(f,\Omega ,p'\right)}$ ${\displaystyle p'}$ ${\displaystyle p}$

El título satisface las siguientes propiedades: ^[2]

• Si , entonces existe tal que . ${\displaystyle \deg \left(f,{\bar {\Omega }},p\right)\neq 0}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle f(x)=p}$
• ${\displaystyle \deg(\operatorname {id} ,\Omega ,y)=1}$para todos . ${\displaystyle y\in \Omega }$
• Propiedad de descomposición:
  $${\displaystyle \deg(f,\Omega ,y)=\deg(f,\Omega _{1},y)+\deg(f,\Omega _{2},y),}$$
  si son partes separadas de y . ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}$ ${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}}$ ${\displaystyle y\not \in f{\left({\overline {\Omega }}\setminus \left(\Omega _{1}\cup \Omega _{2}\right)\right)}}$
• Invariancia de homotopía : si y son equivalentes de homotopía a través de una homotopía tal que y , entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle F(0)=f,\,F(1)=g}$ ${\displaystyle p\notin F(t)(\partial \Omega )}$ ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)=\deg(g,\Omega ,p)}$
• La función es localmente constante en ${\displaystyle p\mapsto \deg(f,\Omega ,p)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-f(\partial \Omega )}$

Estas propiedades caracterizan el grado de manera única y el grado puede ser definido por ellas de manera axiomática.

De manera similar, podríamos definir el grado de una aplicación entre variedades compactas orientadas con límite .

Propiedades

El grado de un mapa es una invariante de homotopía ; además, para aplicaciones continuas desde la esfera a sí misma es una invariante de homotopía completa , es decir, dos aplicaciones son homotópicas si y sólo si . ${\displaystyle f,g:S^{n}\to S^{n}\,}$ ${\displaystyle \deg(f)=\deg(g)}$

En otras palabras, el grado es un isomorfismo entre y . ${\displaystyle \left[S^{n},S^{n}\right]=\pi _{n}S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$

Además, el teorema de Hopf establece que para cualquier variedad orientada cerrada de dimensión M , dos aplicaciones son homotópicas si y sólo si ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f,g:M\to S^{n}}$ ${\displaystyle \deg(f)=\deg(g).}$

Un automapa de la n -esfera es extensible a un mapa desde la n+1 -bola hasta la n -esfera si y sólo si . (Aquí la función F extiende f en el sentido de que f es la restricción de F a .) ${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n}}$ ${\displaystyle F:B_{n+1}\to S^{n}}$ ${\displaystyle \deg(f)=0}$ ${\displaystyle S^{n}}$

Calculando el grado

Existe un algoritmo para calcular el grado topológico grados ( f , B , 0) de una función continua f desde una caja B de n dimensiones (un producto de n intervalos) hasta , donde f se da en forma de expresiones aritméticas. ^[3] Una implementación del algoritmo está disponible en TopDeg, una herramienta de software para calcular el título (LGPL-3). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Ver también

• Número de cobertura , término con un nombre similar. Tenga en cuenta que no generaliza el número de bobinado pero describe cubiertas de un conjunto por bolas.
• Densidad (politopo) , un análogo poliédrico
• Teoría del grado topológico

Notas

1. Brouwer, LEJ (1911). "Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten". Annalen Matemáticas . 71 (1): 97-115. doi :10.1007/bf01456931. S2CID  177796823.
2. Bailarina, EN (2000). Cálculo de Variaciones y Ecuaciones Diferenciales Parciales . Springer-Verlag. págs. 185-225. ISBN 3-540-64803-8.
3. Franek, Pedro; Ratschan, Stefan (2015). "Cálculo efectivo del grado topológico basado en aritmética de intervalos". Matemáticas de la Computación . 84 (293): 1265-1290. arXiv : 1207.6331 . doi :10.1090/S0025-5718-2014-02877-9. ISSN  0025-5718. S2CID  17291092.

Referencias

• Flandes, H. (1989). Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas . Dover.
• Hirsch, M. (1976). Topología diferencial . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.
• Milnor, JW (1997). Topología desde el punto de vista diferenciable . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-04833-8.
• Outerelo, E.; Ruiz, JM (2009). Teoría del grado de mapeo . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-4915-6.

enlaces externos

• "Título de Brouwer", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Conozcamos el título de mapeo, de Rade T. Zivaljevic.