Inmersión (matemáticas)

Mapa diferencial entre variedades cuya diferencial es en todas partes sobreyectiva

En matemáticas , una inmersión es una función diferenciable entre variedades diferenciables cuya diferencial es sobreyectiva en todas partes . Este es un concepto básico en topología diferencial . La noción de inmersión es dual a la noción de inmersión .

Definición

Sean M y N variedades diferenciables y una función diferenciable entre ellas. La función f es una inmersión en un punto si su diferencial ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ${\displaystyle p\in M}$

${\displaystyle Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N}$

es una función lineal sobreyectiva . ^[1] En este caso , p se denomina punto regular de la función f ; de lo contrario, p es un punto crítico . Un punto es un valor regular de f si todos los puntos p en la preimagen son puntos regulares. Una función diferenciable f que es una inmersión en cada punto se denomina inmersión . De manera equivalente, f es una inmersión si su diferencial tiene un rango constante igual a la dimensión de N . ${\displaystyle q\in N}$ ${\displaystyle f^{-1}(q)}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle Df_{p}}$

Una palabra de advertencia: algunos autores usan el término punto crítico para describir un punto donde el rango de la matriz jacobiana de f en p no es máximo. ^[2] De hecho, esta es la noción más útil en la teoría de singularidades . Si la dimensión de M es mayor o igual que la dimensión de N , entonces estas dos nociones de punto crítico coinciden. Pero si la dimensión de M es menor que la dimensión de N , todos los puntos son críticos de acuerdo con la definición anterior (la diferencial no puede ser sobreyectiva) pero el rango de la jacobiana aún puede ser máximo (si es igual a dim M ). La definición dada anteriormente es la más comúnmente utilizada; por ejemplo, en la formulación del teorema de Sard .

Teorema de inmersión

Dada una inmersión entre variedades lisas de dimensiones y , para cada una existen cartas sobreyectivas de alrededor de , y de alrededor de , tales que se restringe a una inmersión que, cuando se expresa en coordenadas como , se convierte en una proyección ortogonal ordinaria . Como aplicación, para cada una la fibra correspondiente de , denotada puede equiparse con la estructura de una subvariedad lisa de cuya dimensión es igual a la diferencia de las dimensiones de y . ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \phi :U\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi :V\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\colon U\to V}$ ${\displaystyle \psi \circ f\circ \phi ^{-1}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p\in N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M_{p}=f^{-1}(\{p\})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

El teorema es una consecuencia del teorema de la función inversa (ver Teorema de la función inversa#Dando una estructura de variedad ).

Por ejemplo, considere dado por La matriz jacobiana es ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}.}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.}$

Esto tiene un rango máximo en cada punto excepto en . Además, las fibras ${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$

están vacíos para , e iguales a un punto cuando . Por lo tanto, solo tenemos una inmersión suave y los subconjuntos son variedades suaves bidimensionales para . ${\displaystyle t<0}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\to \mathbb {R} _{>0},}$ ${\displaystyle M_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$ ${\displaystyle t>0}$

Ejemplos

• Cualquier proyección ${\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}}$
• Difeomorfismos locales
• Inmersiones de Riemann
• La proyección en un fibrado vectorial liso o una fibración lisa más general . La sobreyectividad de la diferencial es una condición necesaria para la existencia de una trivialización local .

Mapas entre esferas

Una gran clase de ejemplos de inmersiones son las inmersiones entre esferas de mayor dimensión, como

${\displaystyle f:S^{n+k}\to S^{k}}$

cuyas fibras tienen dimensión . Esto se debe a que las fibras (imágenes inversas de los elementos ) son variedades suaves de dimensión . Entonces, si tomamos un camino ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p\in S^{k}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \gamma :I\to S^{k}}$

y tomar el retroceso

${\displaystyle {\begin{matrix}M_{I}&\to &S^{n+k}\\\downarrow &&\downarrow f\\I&\xrightarrow {\gamma } &S^{k}\end{matrix}}}$

Tenemos un ejemplo de un tipo especial de bordismo , llamado bordismo enmarcado. De hecho, los grupos de cobordismo enmarcado están íntimamente relacionados con los grupos de homotopía estable . ${\displaystyle \Omega _{n}^{fr}}$

Familias de variedades algebraicas

Otra gran clase de inmersiones está dada por familias de variedades algebraicas cuyas fibras son variedades algebraicas suaves. Si consideramos las variedades subyacentes de estas variedades, obtenemos variedades suaves. Por ejemplo, la familia Weierstrass de curvas elípticas es una inmersión ampliamente estudiada porque incluye muchas complejidades técnicas utilizadas para demostrar teorías más complejas, como la homología de intersección y los haces perversos . Esta familia está dada por ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {X}}\to S}$ ${\displaystyle \pi :{\mathcal {W}}\to \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{(t,x,y)\in \mathbb {A} ^{1}\times \mathbb {A} ^{2}:y^{2}=x(x-1)(x-t)\}}$

donde es la recta afín y es el plano afín. Dado que estamos considerando variedades complejas, estos son equivalentemente los espacios de la recta compleja y el plano complejo. Nótese que en realidad deberíamos eliminar los puntos porque hay singularidades (ya que hay una raíz doble). ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,\mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle t=0,1}$

Forma normal local

Si f : M → N es una inmersión en p y f ( p ) = q ∈ N , entonces existe un entorno abierto U de p en M , un entorno abierto V de q en N , y coordenadas locales ( x ₁ , …, x _m ) en p y ( x ₁ , …, x _n ) en q tales que f ( U ) = V , y la función f en estas coordenadas locales es la proyección estándar

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

De ello se deduce que la preimagen completa f ⁻¹ ( q ) en M de un valor regular q en N bajo una función diferenciable f : M → N está vacía o es una variedad diferenciable de dimensión dim M − dim N , posiblemente desconectada . Este es el contenido del teorema del valor regular (también conocido como teorema de inmersión ). En particular, la conclusión es válida para todo q en N si la función f es una inmersión.

Inmersiones de variedades topológicas

Las sumersiones también están bien definidas para variedades topológicas generales . ^[3] Una inmersión de variedad topológica es una sobreyección continua f  : M → N tal que para todo p en M , para algunas cartas continuas ψ en p y φ en f(p) , la función ψ ⁻¹ ∘ f ∘ φ es igual a la función de proyección de R ^m a R ⁿ , donde m = dim( M ) ≥ n = dim( N ) .

Véase también

• Teorema de fibración de Ehresmann

Notas

1. Crampin y Pirani 1994, pág. 243. do Carmo 1994, pág. 185. Frankel 1997, pág. 181. Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, pág. 12. Kosinski 2007, pág. 27. Lang 1999, pág. 27. Sternberg 2012, pág. 378.
2. Arnold, Gusein-Zade y Varchenko 1985.
3. Lang 1999, pág. 27.

Referencias

• Arnold, Vladimir I. ; Gusein-Zade, Sabir M. ; Varchenko, Alexander N. (1985). Singularidades de mapas diferenciables: Volumen 1 . Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9.
• Bruce, James W.; Giblin, Peter J. (1984). Curvas y singularidades . Cambridge University Press . ISBN 0-521-42999-4.Sr. 0774048  .
• Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994). Geometría diferencial aplicable . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-23190-9.
• do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Geometría de Riemann . ISBN 978-0-8176-3490-2.
• Frankel, Theodore (1997). La geometría de la física . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-38753-1.Señor 1481707  .
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique ; Lafontaine, Jacques (2004). Geometría de Riemann (3ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-20493-0.
• Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Variedades diferenciales . Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
• Lang, Serge (1999). Fundamentos de geometría diferencial . Textos de posgrado en matemáticas. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
• Sternberg, Shlomo Zvi (2012). Curvatura en matemáticas y física . Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47855-5.

Lectura adicional

• https://mathoverflow.net/questions/376129/cuáles-son-las-condiciones-suficientes-y-necesarias-para-submersiones-surjetivas-a-b?rq=1