Rango (topología diferencial)

En matemáticas , el rango de una función diferenciable entre variedades diferenciables en un punto es el rango de la derivada de at . Recordemos que la derivada de at es una función lineal. ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle d_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N\,}$

del espacio tangente en p al espacio tangente en f ( p ). Como aplicación lineal entre espacios vectoriales tiene un rango bien definido, que es simplemente la dimensión de la imagen en T _{f ( p )} N :

${\displaystyle \operatorname {rank} (f)_{p}=\dim(\operatorname {im} (d_{p}f)).}$

Mapas de rango constante

Se dice que una función diferenciable f  : M → N tiene rango constante si el rango de f es el mismo para todos los p en M . Las funciones de rango constante tienen varias propiedades interesantes y son un concepto importante en la topología diferencial .

Existen tres casos especiales de funciones de rango constante. Una función de rango constante f  : M → N es

• una inmersión si el rango f = dim M (es decir, la derivada es en todas partes inyectiva ),
• una inmersión si el rango f = dim N (es decir, la derivada es en todas partes sobreyectiva ),
• un difeomorfismo local si el rango f = dim M = dim N (es decir, la derivada es biyectiva en todas partes ).

La función f en sí no necesita ser inyectiva, sobreyectiva o biyectiva para que se cumplan estas condiciones, sólo es importante el comportamiento de la derivada. Por ejemplo, hay funciones inyectivas que no son inmersiones e inmersiones que no son inyecciones. Sin embargo, si f  : M → N es una función suave de rango constante, entonces

• si f es inyectiva es una inmersión,
• Si f es sobreyectiva es una inmersión,
• Si f es biyectiva es un difeomorfismo .

Los mapas de rango constante tienen una buena descripción en términos de coordenadas locales . Supóngase que M y N son variedades suaves de dimensiones m y n respectivamente, y f  : M → N es un mapa suave con rango constante k . Entonces para todo p en M existen coordenadas ( x ¹ , ..., x ^m ) centradas en p y coordenadas ( y ¹ , ..., y ⁿ ) centradas en f ( p ) tales que f está dada por

${\displaystyle f(x^{1},\ldots ,x^{m})=(x^{1},\ldots ,x^{k},0,\ldots ,0)\,}$

en estas coordenadas.

Ejemplos

El bloqueo del cardán se produce porque el mapa T ³ → RP ³ no tiene rango 3 en todos los puntos. Esta animación muestra un conjunto de tres cardanes montados juntos para permitir tres grados de libertad de forma genérica (rango 3 en puntos regulares). Cuando los tres cardanes están alineados (en el mismo plano), el sistema solo puede moverse en dos dimensiones desde esta configuración, no en tres (tiene rango 2 en un punto tan singular) y está en bloqueo del cardán . En este caso, puede cabecear o guiñar, pero no rodar (rotar en el plano en el que se encuentran todos los ejes).

En los sistemas de coordenadas se dan con frecuencia funciones cuyo rango es genéricamente máximo, pero que desciende en ciertos puntos singulares . Por ejemplo, en coordenadas esféricas , el rango de la función desde los dos ángulos hasta un punto de la esfera (formalmente, una función T ² → S ² desde el toro hasta la esfera) es 2 en puntos regulares, pero es solo 1 en los polos norte y sur ( cenit y nadir ).

Un ejemplo más sutil se da en los gráficos de SO(3) , el grupo de rotación . Este grupo se da ampliamente en ingeniería, debido a que las rotaciones tridimensionales se utilizan mucho en navegación , ingeniería náutica e ingeniería aeroespacial , entre muchos otros usos. Topológicamente, SO(3) es el espacio proyectivo real RP3 , y a menudo es deseable representar rotaciones mediante un conjunto de tres números, conocidos como ángulos de Euler (en numerosas variantes), tanto porque esto es conceptualmente simple como porque se puede construir una combinación de tres ^cardanes para producir rotaciones en tres dimensiones. Topológicamente, esto corresponde a una función del 3-toro T3 de tres ^ángulos al espacio proyectivo real RP3 de ^rotaciones , pero esta función no tiene rango 3 en todos los puntos (formalmente porque no puede ser una función de cobertura , ya que el único espacio de cobertura (no trivial) es la hiperesfera S3 ), y el fenómeno de que el rango caiga a ² en ciertos puntos se conoce en ingeniería como bloqueo de cardán .

Referencias

• Lee, John (2003). Introducción a las variedades suaves . Textos de posgrado en matemáticas 218. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-95495-0.